Sur les expressions numériques

Sur les expressions numériques

I Expression sans parenthèses

Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses

I-1 Avec des additions et des soustractions

Le but de ce chapitre est de se rappeler les règles essentielles pour calculer des expressions numériques.

Proposition [Enchaînement d'opérations, additions, soustractions]

Dans un enchaînement d'additions et de soustractions sans parenthèses, on effectue les calculs de gauche à droite.

Exemple [Calculons l'expression A]

A = 68.935.8+16.2+33.3
A = 33.1+16.2+33.3
A = 49.3+33.3
A = 82.6
Sur les expressions numériquesI Expression sans parenthèses → I-1 Avec des additions et des soustractions

I-2 Priorité de la multiplication

Proposition [Priorité de la multiplication]

Dans un enchaînement sans parenthèses, d'additions, de soustractions et de multiplications, on commence par effectuer les multiplications.

Exemple [Calculons l'expression A]

A = 21+6×2
A = 21+12
A = 33

Exemple [Calculons l'expression A]

A = 147×79×11
A = 102999
A = 930

Théorème

La multiplication est prioritaire sur l'addition et sur la soustraction.
Sur les expressions numériquesI Expression sans parenthèses → I-2 Priorité de la multiplication

II Expression avec parenthèses

Proposition [Priorité des parenthèses]

Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

Quelques exemples commentés pour bien comprendre la propriété !

Exemple [Calculons l'expression A]

A = 284+(26+10)×7
A = 284+36×7
A = 284+252
A = 536

Remarque

Comme pour le calcul de A, lorsqu'on retrouve une expression sans parenthèses, on applique la règle de priorité de la multiplication ;

Exemple [Calculons l'expression B]

B = 2×(23(101))
B = 2×(239)
B = 2×14
B = 28

Remarque

Comme pour le calcul de B, remarquer que l'on commence par les parenthèses les plus intérieures ;

Exemple [Calculons l'expression C]

C = 1011+(131+11×11)×4
C = 1011+(131+121)×4
C = 1011+(252)×4
C = 1011+1008
C = 2019

Remarque

Comme pour le calcul de C, même à l'intérieur des parenthèses les règles 1 et 2 restent valables.
Sur les expressions numériques → II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

Proposition [Absence du signe de la multiplication]

Le signe de multiplication ( times) peut être supprimé devant une lettre ou devant une parenthèse.

Exemples

  1. Le produit 11×i peut s'écrire 11i ;
  2. le produit i×w peut s'écrire iw ;
  3. le produit 15×(w+11) peut s'écrire 15(w+11). On dit 15 facteur de w+11 ;
  4. le produit 11×(i15) peut s'écrire 11(i15). On dit 11 facteur de i15;
  5. le produit i×i peut s'écrire i 2. On dit i au carré. De même on a 11×11=11 2 ce qui vaut 121.

Remarque [Attention]

Le signe times est obligatoire lorsque son absence entraîne une confusion. En effet, 11×15 ne s'écrit pas 1115ldots puisque cela vaut 165.
Sur les expressions numériques → III Simplification d'écriture

IV Distributivité

Sur les expressions numériques → IV Distributivité

IV-1 Égalités de la distributivité

Proposition [Distributivité]

Les égalités ci-dessous sont vraies pour tous les nombres k, a et b. On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.
k(a+b) = ka+kb k(ab) = kakb
(a+b)k = ak+bk (ab)k = akbk

Voyons sur quelques exemples comment utiliser ces propriétés.

Exemple [Calculer A]

A = 15×(5+2)
A = 15×5+15×2
A = 75+30
A = 105
     
A = 15×(5+2)
A = 15×7
A = 105

Exemple [Calculer B]

B = 19×3+14×3
B = (19+14)×3
B = 33×3
B = 99
     
B = 19×3+14×3
B = 57+42
B = 99

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Un côté du rectangle rouge mesure a. Le côté commun avec le rectangle bleu mesure k. L'autre côté du rectangle bleu mesure b.
Si on détermine l'aire du grand rectangle (formé par les deux rectangles colorés) de deux manières différentes, on démontre l'égalité. On peut considérer que les côtés du grand rectangle sont k et a+b.
Sur les expressions numériquesIV Distributivité → IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer, factoriser

On peut appliquer les égalités de la distributivité de deux façons :
  1. pour développer :
    8×(82) = 8×88×2
  2. pour factoriser :
    4×144×4=4×(144)
Sur les expressions numériquesIV Distributivité → IV-2 Développer, factoriser

V Distributivité et calcul mental

Quand on sait bien appliquer les règles de distributivité et de factorisation, on peut les utiliser pour simplifier certains calculs comme le montrent les exemples ci-après.

Exemple [Calculons A]

A = 323×11
A = 323×(10+1)
A = 323×10+323×1
A = 3230+323
A = 3553

Exemple [Calculons B]

B = 9×1449+1×1449
B = 1449×(1+9)
B = 1449×10
B = 14490
Sur les expressions numériques → V Distributivité et calcul mental

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