L'essentiel sur les puissances
L'essentiel sur les puissances
Dans un premier temps, nous allons nous intéresser à la puissance d'un nombre
quelconque.
Vous savez que
, ce qui est une écriture bien pratique. La même idée existe quand on veut multiplier les nombres, ainsi
Remarque :
Votre sens de l'observation vous pousse ainsi à remarquer que dans le cas de l'addition, le nombre 3 est placé avant le nombre
, alors que pour la multiplication, il est placé après, est écrit plus petit et un peu en hauteur. On dit qu'il est écrit en exposant.
I Puissance d'un nombre
Quand nous saurons ce qu'est la puissance d'un nombre, nous nous intéresserons au cas particulier où notre nombre
du départ prend la valeur particulière 10. Cela est très pratique et très utilisé en physique.
II Puissance de 10
Les bases essentielles ont été données dans le cours, et les premiers exercices vous ont permis de faire tourner les définitions.
Maintenant, nous allons vous proposer d'autres exercices, afin de bien se préparer... au brevet.
III Exercices
I Puissance d'un nombre
Découvrons cette notion plus précisément en commençant à nous intéresser au cas naturel où l'exposant est un entier positif.
I-1 Puissance avec un exposant entier positif
On sait bien, depuis la classe de cinquième, qu'il existe des nombres relatifs, voir le cours
wims sur nombres négatifs.
On étend alors la notation précédente au cas où l'exposant est négatif.
I-2 Puissance avec un exposant entier négatif
Nos nouvelles notions sont belles certes, mais en l'état elles sont un peu inutiles... Il faut arriver à faire en sorte de pouvoir les utiliser simplement dans des calculs. C'est le but de la partie ci-dessous.
I-3 Opérations sur les puissances
I-1 Puissance avec un exposant entier positif
Définition : [Puissance avec un exposant entier positif]
Si
est un entier supérieur ou égal à 2 (
) et si
est un nombre quelconque, alors :
De plus, on a :
, et pour tout
on a
.
Exemples :
A |
= |
|
|
B |
= |
|
|
C |
= |
|
|
D |
= |
|
A |
= |
|
|
B |
= |
|
|
C |
= |
|
|
D |
= |
|
Remarques :
- L'expression
n'a pas de sens. Elle n'est pas définie ;
- Bien remarquer l'application de la règle des signes.
Vocabulaire :
On parle de
puissance
ou de
exposant
.
Réfléchir à la deuxième remarque puis cliquer pour une remarque sur chacun des calculs.
-
Le calcul de , ne pose pas de problème.
-
Pour le calcul de il faut remarquer que le nombre de la définition est négatif. Le signe du résultat dépend alors de l'exposant. Si l'exposant est pair le résultat sera positif. Si l'exposant est impair, le résultat sera négatif.
-
Pour le calcul de il faut remarquer que le de la définition est positif. Le signe moins que l'on voit devant ne va pas être affecté par l'exposant, ainsi le résultat est toujours négatif.
-
Pour le on remarque que le de la définition est négatif. La même remarque que pour le s'applique, puis comme il y a un signe moins devant ...
Exercice :
Calculer les puissances données
I-2 Puissance avec un exposant entier négatif
Définition : [Puissance avec un exposant entier négatif]
Si
alors le nombre
est l'inverse de
,
i.e. pour
, on a :
Remarque :
Pourquoi doit-on avoir toujours
?
Exemple :
A |
= |
|
A |
= |
|
( A |
= |
) |
Exercices :
-
Calculer les puissances données
-
Déterminer le bon exposant
I-3 Opérations sur les puissances
Théorème :
Si
et si
et
sont deux entiers relatifs, alors on a :
Exemples :
A |
= |
|
|
B |
= |
|
|
C |
= |
|
A |
= |
|
|
B |
= |
|
|
C |
= |
|
A |
= |
|
|
B |
= |
|
|
C |
= |
|
(A |
= |
) |
|
( B |
= |
) |
|
( C |
= |
) |
Exercices :
-
Produit de puissance
-
Quotient de puissance
-
Puissance de puissance
-
Une des règles au hasard
Théorème :
Si
et
, et si
est un entier relatif, alors :
Exemples :
A |
= |
|
|
B |
= |
|
A |
= |
|
|
B |
= |
|
(A |
= |
) |
|
( B |
= |
) |
Remarque :
Pourquoi doit-on avoir
?
Exercices :
-
Appliquer la première formule
-
Appliquer la deuxième formule
II Puissance de 10
Comme nous l'avons dit en présentation, les puissances de 10 jouent un rôle important. Cette valeur 10 est à rapprocher du fait que notre système de nombre est à base décimale (base 10).
II-1 Écriture décimale
La notation scientifique est bien pratique et très utilisée en physique. À maîtriser absolument !
II-2 Notation scientifique
L'ordre de grandeur est à rapprocher de la notation scientifique.
Il est assez naturel pour des choses quotidiennes ; par exemple, nous dirons volontiers qu'un bureau mesure 1 mètre 50. Tout le monde se moque de savoir si en fait une meilleure mesure dit que ce même bureau mesure 1 mètre 48centimètres et 8 millimètres !
C'est cette même idée que l'on développe pour des mesures qui elles ne sont pas du quotidien, c'est-à-dire de l'infiniment grand ou de l'infiniment petit, afin de mieux s'approprier ces nouvelles notions.
Le physicien (et donc l'élève qui apprend) doit avoir une idée des ordres de grandeur des objets sur lesquels il travaille.
II-3 Ordre de grandeur
Comme pour les puissances d'un nombre, cette nouvelle notion de puissance de 10, ainsi que la notation scientifique et l'ordre de grandeur qui lui sont attachées, n'est utile que parce qu'elle permet de faire des calculs facilement.
Ce sont ces règles de calcul qui sont expliquées dans le paragraphe suivant.
II-4 Opérations sur les puissances de 10
II-1 Écriture décimale
Théorème :
Pour tout entier naturel
(et donc
), on a :
Exemples :
A |
= |
|
|
B |
= |
|
A |
= |
|
|
B |
= |
|
Exercice :
Tester sa compréhension de la définition
II-2 Notation scientifique
Définition : [Notation scientifique]
Écrire un nombre en notation scientifique, c'est l'écrire sous la forme d'un produit d'une puissance de 10 et d'un nombre décimal ayant un seul chiffre, autre que zéro, avant la virgule.
Exemple :
A |
= |
|
A |
= |
|
Exercices :
Beaucoup d'exercices pour cette partie, elle est très importante !
-
Donner l'écriture scientifique d'un nombre
-
Retrouver le nombre quand on change l'exposant
-
Retrouver l'exposant quand on change le nombre
-
Donner l'écriture décimale
-
Nombre décimal et puissance de 10
II-3 Ordre de grandeur
Lorsqu'on dit que la vitesse de la lumière est de 300 000 000 m/s on utilise un ordre de grandeur car elle est en réalité de 299 792,458 km/s
Souvent on utilise comme ordre de grandeur, le produit de l'entier le plus proche du décimal de l'écriture scientifique par la puissance de 10 de cette écriture scientifique, comme le montre l'exemple ci-dessous.
Exemple :
Soit le nombre : | |
|
En notation scientifique on a : | |
|
Son ordre de grandeur est : | |
|
Exercices :
-
Encadrement de nombres décimaux
-
Donner un ordre de grandeur des nombres
II-4 Opérations sur les puissances de 10
Théorème :
Si
et
sont des entiers relatifs, alors :
Exemples :
A |
= |
|
|
B |
= |
|
|
C |
= |
|
A |
= |
|
|
B |
= |
|
|
C |
= |
|
A |
= |
|
|
B |
= |
|
|
C |
= |
|
(A |
= |
) |
|
( B |
= |
) |
|
( C |
= |
) |
Exercices :
-
Première formule
-
Deuxième formule
-
Troisième formule
-
Quatrième formule
-
Une formule au hasard
III Exercices
Faites ces exercices plusieurs fois, jusqu'à les maîtriser parfaitement.
Exercices :
- Exercices de base.
-
Travail sur les signes
dans un produit avec plusieurs facteurs.
-
Revoir les quatre règles
- Exercices sur les puissances de 10.
-
Écrire sous la forme 10p.
- Exercices sur les opérations.
-
Travailler sur un produit de nombres
-
Quelques sommes.
<- Important
-
Travailler sur produit et quotient !
<- Très important !
-
Comme au brevet
,avec des sommes.
- Des conversions en notations scientifiques. C'est un excellent moyen d'utiliser, à travers le cours de physique et les changements d'unité, la notation scientifique.
-
Conversion 1
-
Conversion 2
-
Conversion 3
-
Conversion 4
cours sur les puissances pour les quatrièmes. (et les troisièmes) .
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Description: cours sur les puissances pour les quatrièmes. (et les troisièmes) . This is the main site of WIMS (WWW Interactive Multipurpose Server): interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
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