L'essentiel sur les puissances
L'essentiel sur les puissances
I Puissance d'un nombre
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Dans un premier temps, nous allons nous intéresser à la puissance d'un nombre a quelconque. Vous savez que a + a + a = 3a, ce qui est une écriture bien pratique. La même idée existe quand on veut multiplier les nombres, ainsi
Votre sens de l'observation vous pousse ainsi à remarquer que dans le cas de l'addition, le nombre 3 est placé avant le nombre a, alors que pour la multiplication, il est placé après, est écrit plus petit et un peu en hauteur. On dit qu'il est écrit en exposant . Quand nous saurons ce qu'est la puissance d'un nombre, nous nous intéresserons au cas particulier où notre nombre a du départ prend la valeur particulière 10. Cela est très pratique et très utilisé en physique. Les bases essentielles ont été données dans le cours, et les premiers exercices vous ont permis de faire tourner les définitions. Maintenant, nous allons vous proposer d'autres exercices, afin de bien se préparer... au brevet. |
Découvrons cette notion plus précisément en commençant à nous intéresser au cas naturel où l'exposant est un entier positif. I-1 Puissance avec un exposant entier positif On sait bien, depuis la classe de cinquième, qu'il existe des nombres négatifs . On étend alors la notation précédente au cas ou l'exposant est négatif. I-2 Puissance avec un exposant entier négatif Nos nouvelles notions sont belles certes, mais en l'état elles sont un peu inutiles... Il faut arriver à faire en sorte de pouvoir les utiliser simplement dans des calculs. C'est le but de la partie ci-dessous.
L'essentiel sur les puissances
 I Puissance d'un nombre |
I-1 Puissance avec un exposant entier positif
Définition [Puissance avec un exposant entier positif]
Si
n est un entier supérieur ou égal à 2 (
), et
a un nombre quelconque alors :
De plus, on a : , et pour tout on a .
Remarque
Vocabulaire : On parle de a puissance n ou de a exposant n .
Exercice
Calculer les puissances données
L'essentiel sur les puissances
I Puissance d'un nombre
I-1 Puissance avec un exposant entier positif |
I-2 Puissance avec un exposant entier négatif
Définition [Puissance avec un exposant entier négatif]
Si
alors le nombre
est l'inverse de
an, i.e.
pour
, on a :
Remarque
Pourquoi doit-on avoir toujours
?
Exercice
L'essentiel sur les puissances
I Puissance d'un nombre
I-2 Puissance avec un exposant entier négatif |
I-3 Opérations sur les puissances
Théorème
Si
et si
m et
n sont deux entiers relatifs, alors on a :
Exercice
Théorème
Si
et
, et si
n est un entier relatif, alors :
Remarque
Pourquoi doit-on avoir
?
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I Puissance d'un nombre
| Comme nous l'avons dit en présentation, les puissances de 10 jouent un rôle important. Cette valeur 10 est à rapprocher du fait que notre système de nombre est à base décimale (base 10). La notation scientifique est bien pratique et très utilisée en physique. À maîtriser absolument ! L'ordre de grandeur est à rapprocher de la notation scientifique. Il est assez naturel pour des choses quotidiennes ; par exemple, nous dirons volontiers qu'un bureau mesure 1 mètre 50. Tout le monde se moque de savoir si en fait une meilleure mesure dit que ce même bureau mesure 1 mètre 48centimètres et 8 millimètres ! C'est cette même idée que l'on développe pour des mesures qui elles ne sont pas du quotidien, c'est-à-dire de l'infiniment grand ou de l'infiniment petit, afin de mieux s'approprier ces nouvelles notions. Le physicien (et donc l'élève qui apprend) doit avoir une idée des ordres de grandeur des objets sur lesquels il travaille. Comme pour les puissances d'un nombre, cette nouvelle notion de puissance de 10, ainsi que la notation scientifique et l'ordre de grandeur qui lui sont attachées, n'est utile que parce qu'elle permet de faire des calculs facilement. C'est ces règles de calcul qui sont expliquées dans le paragraphe suivant.
L'essentiel sur les puissances
II Puissance de 10 |
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I Puissance d'un nombre
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Théorème
Pour tout entier naturel
n (et donc
), on a :
Exercice
Tester sa compréhension de la définition
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I Puissance d'un nombre
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Définition [Notation scientifique]
Écrire un nombre en notation scientifique, c'est l'écrire sous la forme d'un produit d'une puissance de 10 et d'un nombre décimal ayant un seul chiffre, autre que zéro, avant la virgule.
Exercice
Beaucoup d'exercices pour cette partie, elle est très importante !
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I Puissance d'un nombre
| Lorsqu'on dit que la vitesse de la lumière est de 300 000 000 m/s on utilise un ordre de grandeur car elle est en réalité de 299 792,458 km/s Souvent on utilise comme ordre de grandeur, le produit de l'entier le plus proche du décimal de l'écriture scientifique par la puissance de 10 de cette écriture scientifique, comme le montre l'exemple ci-dessous.
Exemple
Exercice
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II-4 Opérations sur les puissances de 10
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I Puissance d'un nombre
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Théorème
Si
m et
n sont des entiers relatifs, alors :
Exercice
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I Puissance d'un nombre
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Faites ces exercices plusieurs fois, jusqu'à les maîtriser parfaitement.
Exercice
L'essentiel sur les puissances
III Exercices |