Les nombres relatifs

[T] : Règne de Toutânkhamon, vers -1350 ;
[K] : Construction de la pyramide de Khéops, vers -2600 ;
[C] : Mort de Cléopâtre, en -30 ;
[R] : Règne de Ramsès II, vers -1250 ;
[S] : Début du culte d'Osiris, vers -2100 ;
[A] : Alexandre le Grand envahit l'Egypte, vers -350.

Solution

Pour s'exercer

La date -350 est antérieure à -200. On écrit alors : -350 < -200.

En utilisant la droite graduée, ranger dans l'ordre croissant les nombres suivants :

-1350 -2600 -30 -1250 -2100 -350

-2600 -2100 -1350 -1250 -350 -30

Pour s'exercer

Lire l'abscisse d'un point donné

Définition : Droite graduée ou axe gradué

Un axe gradué est une droite munie : d'une origine, d'une unité et d'un sens.

On repère chaque point sur l'axe par son abscisse : l'abscisse de A est (+2), ce qu'on note A (+2).

Pour pouvoir repérer les points situés à gauche de O, on utilise de nouveaux nombres appelés nombres négatifs. Les nombres à droite de O sont des nombres positifs.

L'abscisse de B est (-3).

Lire l'abscisse de points

Ranger par ordre croissant des nombres relatifs

Un nombre négatif est un nombre inférieur ou égal à 0 .

Comparer des nombres

Ranger des nombres par ordre croissant ou décroissant.

Placer un point, distance

Placer un point dont on connaît l'abscisse

Déterminer la distance de deux points dont on connaît l'abscisse. Que peut-on dire des distances AB et BA ?

On retient la règle suivante :

La distance AB est égale à la plus grande abscisse moins la plus petite abscisse.

Ainsi, la distance entre A (+13 ) et B (+1 ) est égale à 12.

On reviendra sur les techniques de calcul dans la partie activités numériques, opération : soustraction de deux nombres relatifs

Distance et position par rapport à l'origine

On donne le point A qui a pour abscisse 3, à quelle distance est-il du point O ?

A est à la distance 3 de O

Est-il à droite ou à gauche du point O ?

A est à droite de O

On donne le point D qui a pour abscisse -3, à quelle distance est-il du point O ?

D est à la distance 3 de O

Est-il à droite ou à gauche du point O ?

D est à gauche de O

Les nombres 3 et -3 sont dits opposés, ils ne diffèrent que par leur signe.

On retient la règle suivante :

Deux nombres qui ne diffèrent que par leur signe sont dits opposés.

Que peut-on dire de deux points qui ont des abscisses opposées ?

S'exercer :

Position par rapport à l'origine

Position par rapport à un autre point

Repérage des points d'une droite, faisons le point

Droite graduée : Pour repérer les points d'une droite, on choisit :
- une origine,
- un sens,
- une unité de longueur.
Abscisse d'un point : Chaque point d'une droite graduée est repéré par un nombre relatif appelé abscisse de ce point. L'origine a pour abscisse 0.
Relatif à : Quand on connaît l'abscisse d'un point, on connaît alors la distance de ce point au point O (qui a pour abscisse 0) et sa position relativement au point O.

Placer un point dont on connaît l'abscisse

Le plan

Lire les coordonnées d'un point donné
Placer un point dont on connaît les coordonnées
Repérage d'un point dans le plan muni d'un repère

Lire les coordonnées d'un point donné

Dans le plan muni d'un repère, lire les coordonnées d'un point.

Exercice : Chemin dans le plan

Placer un point dont on connaît les coordonnées

Dans le plan muni d'un repère, placer des points.

Repérage d'un point dans le plan muni d'un repère

Définition : Repère du plan
Deux droites graduées, perpendiculaires et de même origine O constituent un repère du plan.

Définition : Coordonnées, abscisses, ordonnées
On peut indiquer la position d'un point du plan à l'aide de deux nombres appelés coordonnées de ce point.
- Le premier nombre, qui sert au repérage horizontal, est appelé abscisse ;
- le deuxième nombre, qui sert au repérage vertical, est appelé ordonnée.

L'axe horizontal est appelé axe des abscisses , l'axe vertical est appelé axe des ordonnées.

Addition de deux nombres relatifs

On détermine d'abord le signe du résultat, puis sa partie sans signe comme le montrent les exemples qui suivent :

Addition de deux nombres relatifs de même signe
Exemple

(+9) + (+8) = +17, les deux termes " +9 " et " +8 " sont positifs, le résultat est positif " +17 ". 17 est obtenu en faisant la somme des nombres sans leur signe 17 = 9 + 8 ;

(-9) + (-8) = -17, les deux nombres " -9 " et " -8 " sont négatifs, le résultat est négatif " -17 ". 17 est obtenu en faisant la somme des nombres sans leur signe 17 = 9 + 8 ;

La somme de deux nombres positifs est un nombre positif, la somme de deux nombres négatifs est un nombre négatif.

Addition de deux nombres relatifs de signes contraires
Exemple

(-2) + (+4) = +2, le signe du résultat est positif " +2 ". La somme a le signe du plus grand des deux nombres sans leur signe. C'est le signe de " + 4 " car 4 > 2. Puis on fait la différence du plus grand des deux nombres sans son signe avec le plus petit des deux nombres sans son signe. Le nombre 2 est obtenu en faisant 4 - 2 ;

(+2) + (-4) = -2, le signe du résultat est négatif " -2 ". La somme a le signe du plus grand des deux nombres sans leur signe. C'est le signe de " -4 " car 4 > 2. Puis on fait la différence du plus grand des deux nombres sans son signe avec le plus petit des deux nombres sans son signe. 2 est obtenu en faisant 4 - 2 ;

Définition (nombres opposés) : L'opposé de (+a) est (-a) ; l'opposé de (-a) est (+a).

Théorème (somme de nombres opposés) : La somme de deux nombres opposés est égale à zéro. Par exemple : (-8) + (+8) = 0

Propriétés de l'addition

Si on change l'ordre des termes d'une somme, le résultat ne change pas (on dit que l'addition est commutative).
Exemple
Si on regroupe des termes d'une somme, le résultat ne change pas (on dit que l'addition est associative).
Exemple

Exercice sur les règles

Soustraction de deux nombres relatifs

Définition de la soustraction : a et b sont deux nombres relatifs. La différence a - b est le nombre qu'il faut ajouter à b pour obtenir a.

Théorème (Soustraction de deux nombres relatifs) : Soustraire un nombre relatif revient à ajouter l'opposé de ce nombre.

Autrement dit, a et b étant deux nombres relatifs, on a

a - b = a + opposé (b))

On "transforme" la soustraction en une addition. On est donc ramené aux techniques de calculs de l'addition.

Exemple :

Sur l'écriture simplifiée : Avec l'habitude on passe directement de la première à la troisième ligne de chaque calcul.

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Dernière modif. 20030325

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