OEF Fonctions dérivées --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 50 exercices sur la notion de nombre dérivé, le calcul de dérivées et les premières applications.

Approximation affine 1

Une fonction de courbe représentative est telle que
et

Quelle est l'approximation affine de en ?


Approximation affine 2

Donner une valeur approchée de sachant que
et

Approximation affine 3

Soit la fonction définie sur par .
Déterminer par approximation affine, une valeur approchée de .
  1. Donner l'expression de  :
  2. Puis calculer  : et  :
  3. En déduire une valeur approchée de  :

Approximation affine 4

Soit la fonction définie sur par .
Déterminer par approximation affine, une valeur approchée de .
  1. Donner l'expression de  :
  2. Puis calculer  : et  :
  3. En déduire une valeur approchée de  :

Approximation affine 5

Soit la fonction définie sur par .
Déterminer par approximation affine, une valeur approchée de .
  1. Donner l'expression de  :
  2. Puis calculer  : et  :
  3. En déduire une valeur approchée de  :

Dérivée produit ou inverse 1

Soit la fonction définie sue par:
Cocher la ou les bonnes réponses :



Dérivée produit ou inverse 2

Calculer pour  :

Dérivée produit ou inverse 3

Calculer pour  :

Dérivée produit ou inverse 4

Calculer pour  :

Dérivée produit ou inverse 5

Calculer pour  :

Dérivée d'un quotient 1

Soit la fonction définie sur par
Cocher les bonnes réponses :

Dérivée d'un quotient 2

Dans quels cas peut-on utiliser la formule ?


Dérivée d'un quotient 3

Calculer pour

Dérivée d'un quotient 4

Calculer pour

Dérivée d'un quotient 5

Soit la fonction définie sur par
  1. Calculer  :

  2. Vérifier que pour tout ,
    Déterminer les réels et  :
  3. Calculer à partir de cette nouvelle écriture de  :
    = + 


Dérivée somme ou produit par un réel 1

Calculer pour  :

Dérivée somme ou produit par un réel 2

Calculer pour  :

Dérivée somme ou produit par un réel 3

Calculer pour  :

Dérivée somme ou produit par un réel 4

Calculer pour  :

Dérivée somme ou produit par un réel 5

Calculer pour  :

Recherche d'extremum 1

Le plus grand cône
On construit un cône dans une sphère de centre O et de rayon R comme indiqué sur la figure.

On veut déterminer la distance pour que ce cône ait un volume maximal.

  1. On note .
    Donner l'expression algébrique de représentant le volume du cône en fonction de et de  :
    =
  2. Déterminer la hauteur en fonction de R pour laquelle le volume du cône est maximal :
    =
Dans un disque de rayon R, on découpe un secteur circulaire de radian.
En joignant les deux bords droits du secteur angulaire restant, on fabrique un cône.

On veut déterminer pour quelle valeur de le volume du cône est maximal.

  1. On note la hauteur du cône.
    Donner l'expression algébrique de représentant le volume du cône en fonction de et de  :
    =
  2. Calculer la hauteur pour laquelle le volume du cône est maximal :
    =
  3. Exprimer , rayon de la base du cône correspondant à cette hauteur  :
    =
  4. En exprimant que la circonférence du secteur angulaire de départ correspond
    =
Taper pi pour et sqrt(a) pour .

Recherche d'extremum 2

Un coffre à bijoux a la forme d'un parallélépipède rectangle à base carrée et a un volume imposé de L ( dm3).

Le matériau utilisé pour construire les bases coûte euros le mètre carré et celui utilisé pour construire la surface latérale coûte euros le mètre carré.

  1. Exprimer le prix de revient en fonction du côté (en dm) de la base carrée :
  2. En déduire les dimensions de la boîte pour que le prix de revient soit minimal.

Recherche d'extremum 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormal .

Une droite non parallèle aux axes et de pente négative passant par le point coupe l'axe des abscisses en et l'axe des ordonnées en .

Déterminer l'équation réduite pour que le triangle ait une aire minimale.


Recherche d'extremum 4

On considère un carré de côté .
On note le milieu de [A B] et celui de [A D].
Un point se déplace sur le segment [A I], on note .
Soit le point de [B C] tel que le triangle soit rectangle en .
  1. Déterminer en fonction de l'aire du triangle  :
    Aire =
  2. Quelle est la valeur de rendant cette aire minimale?
    =
Indication : on remarquera que les triangles et sont semblables!

Recherche d'extremum 5

Le parc d'attraction Totoland a ouvert en 2007 et a reçu visiteurs avec un billet d'entrée valant euros.
Une étude de marché a montré que si le prix du billet d'entrée augmentait de , le nombre de visiteurs baisserait de 10 %, et que si le prix baissait de , le nombre de visiteurs augmenterait de 10 %.

On fait l'hypothèse que cette étude de marché se prolonge ainsi à toute hausse ou baisse du prix du billet.

On veut déterminer quel prix du billet d'entrée en 2008 permettrait de réaliser une recette maximale.

  1. Exprimer la recette réalisée en fonction du prix du billet d'entrée :
    =
  2. En déduire le prix correspondant au maximum de cette recette :
    =

Dérivée de fonction de référence 1

Calculer pour et  :
Taper "sqrt(a)" pour .

Dérivée de fonction de référence 2

Calculer pour et  :
Taper "sqrt(a)" pour .

Dérivée de fonction de référence 3

Calculer pour et  :
Taper "sqrt(a)" pour .

Dérivée de fonction de référence 4

Calculer pour et  :
Taper "sqrt(a)" pour .

Dérivée de fonction de référence 5

Calculer pour et  :
Taper "sqrt(a)" pour .

Nombre Dérivé 1

Soit la fonction définie sur par .
On veut calculer le nombre dérivé de en , en utilisant la définition.
  1. Calculer =
  2. Exprimer en fonction de  :
  3. Calculer le rapport en fonction de  :
  4. En déduire la valeur du nombre dérivé de en  :

Nombre dérivé 2

Soit la fonction définie sur par .
On veut calculer le nombre dérivé de en , en utilisant la définition.
  1. Calculer =
  2. Exprimer en fonction de  :
  3. Calculer le rapport en fonction de  :
  4. En déduire la valeur du nombre dérivé de en  :

Nombre dérivé 3

Soit la fonction définie sur par .
On veut calculer le nombre dérivé de en , en utilisant la définition.
  1. Calculer =
  2. Exprimer en fonction de  :
  3. Calculer le rapport en fonction de  :
  4. En déduire la valeur du nombre dérivé de en  :
  5. Compléter :
    La tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse est la droite qui passe par A(; ) et qui a pour coefficient directeur .

Nombre dérivé 4

Soit la fonction définie sur par .
On veut calculer le nombre dérivé de en , en utilisant la définition.
  1. Calculer =
  2. Exprimer en fonction de  :
  3. Calculer le rapport en fonction de  :
  4. En déduire la valeur du nombre dérivé de en  :
  5. Compléter :
    La tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse est la droite qui passe par A(; ) et qui a pour coefficient directeur .

Nombre dérivé 5

On a tracé la courbe représentative d'une fonction et certaines de ses tangentes.
Lire graphiquement :
  1. =
  2. =
  3. =
On a tracé la courbe représentative d'une fonction .
Déplacer le point sur la courbe et lire graphiquement les valeurs de pour compléter le tableau suivant :
Donner des valeurs décimales avec 2 décimales ou bien des fractions irréductibles.

Nombre de solutions et encadrement 1

On considère la fonction définie sur par

On note et avec .

On veut déterminer sans calculatrice le nombre de solutions de l'équation

  1. Compléter le tableau des variations de  :
     
    sg     0 0  
      ? ?
  2. Soit la racine non nulle de . Quel est le signe de ?
  3. Encadrer par deux entiers consécutifs :
    < <
  4. En déduire une judicieuse de  :
  5. En déduire le nombre de solutions de l'équation  :
    Nombre de solutions =

Nombre de solutions et encadrement 2

On considère la fonction définie sur par

On note et avec .

On veut déterminer sans calculatrice le nombre de solutions de l'équation
  1. Compléter le tableau des variations de  :
     
    sg     0 0  
     
  2. En déduire le nombre de solutions de  :
    Nombre de solutions =

Nombre de solutions et encadrement 3

On considère la fonction définie sur par

On note et avec .

On veut déterminer sans calculatrice le nombre de solutions de l'équation.

  1. Compléter le tableau des variations de  :
     
    sg     0 0 0  
     
  2. En déduire le nombre de solutions de  :
    Nombre de solutions =

Nombre de solutions et encadrement 4

On considère la fonction définie sur par

On note et avec .

On veut déterminer sans calculatrice le nombre de solutions de l'équation.

  1. Compléter les deux premières lignes du tableau des variations de  :
    Taper sqrt(a) pour
     
    sg     0 0  
     
  2. On note et , avec les deux valeurs de annulant la dérivée .
    Encader et par deux entiers consécutifs :
  3. En déduire les signes de et et compléter la dernière ligne du tableau des variations.
  4. En déduire le nombre de solutions de  :
    Nombre de solutions =

Nombre de solutions et encadrement 5

On considère la fonction définie sur par

On note et avec .

On veut encadrer sur l'intervalle [;].
  1. Calculer = et =
  2. Compléter le tableau des variations de  :
     
    sg     0 0  
     
  3. En déduire l'encadrement cherché :

Signe de la dérivée et variations 1

On considère une fonction définie sur [ ; ], dont on connaît le tableau des variations
 
 
 
 

Quel est le signe de

  1. sur [;] :
  2. sur [;] :
  3. sur [;] :

Signe de la dérivée et variations 2

Compléter le tableau des variations d'une fonction dérivable sur sachant que
et
 
sg     0 0  
     

Signe de la dérivée et variations 3

Compléter le tableau des variations d'une fonction dérivable sur sachant que

et ,
 
sg      
 

Signe de la dérivée et variations 4

On a dessiné les courbes représentatives de 4 fonctions (en rouge) et de leurs dérivées (en bleu).

Associez à la courbe de chaque fonction, celle de sa dérivée.


Signe de la dérivée et variations 5

On conviendra que la partie visible du graphique respecte le tableau de variation de .

Cocher les bonnes propositions :








Equation de tangente 1

Une fonction de courbe représentative est telle que
et

Ecrire une équation de la tangente à au point d'abscisse  :

 :

Equation de tangente 2

Soit la fonction de courbe représentative , définie sur par
.
Ecrire une équation de la tangente à au point d'abscisse  :
 :

Equation de tangente 3

Soit la fonction définie sur par :

Combien existe-t-il de points de où la tangente a pour coefficient directeur ?

Il existe de où la tangente a pour coefficient directeur .

Indiquer l'abscisse de ce point:

Indiquer les abscisses et de ces points avec


Equation de tangente 4

Soit la fonction définie sur par et sa représentation graphique.

Déterminer les coordonnées des points suivants :

  1. , point en lequel admet une tangente horizontale :
    =( , )
  2. , point en lequel admet une tangente parallèle à la droite d'équation  :
    =( , )

Equation de tangente 5

Soit la fonction , de courbe représentative , définie sur par
.

On cherche à déterminer l'équation d'une droite de pente qui soit tangente à en deux points distincts.

  1. Quelle est l'équation de ?
     :
  2. Quelles sont les abscisses et avec des points de tangence?
    =
    =


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