OEF Dérivation --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 11 exercices sur la dérivation (niveau Lycée, classe de Première, programme 2010).

Dérivée d'une composée de fonction affine

Calculer la dérivée de la fonction , définie sur par   =

NB : Ecrire "sqrt(ax+b)" pour


Dérivée d'une fonction polynôme

Soit la fonction polynôme définie sur RR par .

est dérivable sur RR. Calculer sa fonction dérivée.

Pour tout réel ,   =

Dérivée d'un produit

Calculez la dérivée de la fonction définie sur RR par avec :


Les fonctions et sont dérivables sur et :
=
=

On applique la formule de dérivation :

La dérivée mise sous forme polynomiale développée est :

=


Dérivée d'un quotient

On donne la fonction définie sur RR par   .

Nous allons calculer par étapes :

  • On peut écrire comme un quotient , où les fonctions et sont définies sur RR par :
    =   et  
  • Les fonctions et sont dérivables sur RR :
    =   et  
  • = avec :

      et  

      et  

  • La fonction quotient est dérivable sur
  • On applique la formule de dérivation :
  • est dérivable sur RR .
  • On applique la formule de dérivation :
  • On obtient alors :
    =

Tangente et nombre dérivé

Le plan est rapporté au repère .

La courbe C représente la fonction définie sur .

La droite est la tangente à C au point de coordonnées ( , ).

Sachant que passe aussi par le point de coordonnées ( , ), calculer la valeur de arrondie au dixième.

=
xrange -, yrange -, parallel -,-,-,,1,0, 2*+1, grey parallel -,-,,-,0,1, 2*+1, grey hline 0,0,black vline 0,0,black arrow 0,0,1,0,8, black arrow 0,0,0,1,8, black text black , -0.5,-0.3,small , O text black , 1,-0.3,small , I text black , -0.5,1,small , J text blue , -+0.5 , , medium, y=f(x) linewidth 1.5 plot blue, plot green,

Tangente et nombre dérivé (2)

Le plan est rapporté au repère .

La courbe C représente la fonction définie sur .

La droite est la tangente à C au point de coordonnées ( , ).

On sait de plus que passe aussi par le point de coordonnées ( , ).
Quelle valeur de la fonction dérivée peut-on en déduire ? Donner cette valeur arrondie au dixième.

( ) =
xrange -, yrange -, parallel -,-,-,,1,0, 2*+1, grey parallel -,-,,-,0,1, 2*+1, grey hline 0,0,black vline 0,0,black arrow 0,0,1,0,8, black arrow 0,0,0,1,8, black text black , -0.5,-0.3,small , O text black , 1,-0.3,small , I text black , -0.5,1,small , J text blue , -+0.5 , , medium, y=f(x) linewidth 1.5 plot blue, plot green,

Etude guidée d'un polynôme (deg.3)

Soit la fonction définie par sur l'intervalle [ ; ].
1. Calculer (sous forme développée).

Réponse à la question 1 : Le calcul de dérivée donne : .

Question 2 : On admet que s'écrit sous forme factorisée (produit) comme suit :

Complétez alors le tableau de signes de

| |
0 |
| 0
0 0

Réponse à la question 2 : L'étude de signes de la dérivée donne les résultats consignés dans le tableau ci-dessous.
Question 3 : Complétez ce tableau pour indiquer le sens de variation de la fonction .
(sélectionner une icône dans la liste ci-dessous et la glisser-coller dans une case)

0 0
var. de f

Réponse à la question 3 : Le tableau complet des variations de la fonction est rapporté ci-dessous.

var. de f

Question 4 : D'après ce tableau, le de la fonction est et ce est atteint pour = .

Variation d'un polynôme du second degré

Soit la fonction définie sur RR par   .

Etudier le sens de variation de . Déterminer le(s) extremum(a) de .

  1. La fonction est dérivable sur RR :
    Pour tous réel ,   =
  2. Signe de s'annule en =
  1. Dérivée de
  2. Signe de - + 0
  3. Sens de variation de est strictement sur l'intervalle
  4. est strictement sur l'intervalle
  5. Extremum de atteint en un dont la valeur est


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