DOC Théorèmes d'incidence et sections de cube

Sommaire

Ce document rédigé pour les étudiants de la licence scientifique générale (L3 pour des futurs professeurs des écoles à l'université Paris-Sud) accompagne une partie du cours de géométrie basé sur l'ouvrage de Daniel Perrin : Mathématiques d'école : nombres, mesures et géométrie publié par Editions Cassini (402 p. ISBN 978-2-84225-158-1) . On y fait référence par ME.

ME exercice 187, 185 renvoie à l'exercice 187 de la nouvelle édition, 185 de la première. De même pour les pages ou les propositions.
ME VI.1. renvoie à la partie 1 du chapitre 6.

Théorèmes d'incidence

Cette partie s'appuie sur [ME.VIII.1 et 2], l'illustre et l'applique systématiquement aux sections de cube.
  1. Propriétés fondamentales , Quelques clés pour comprendre les figures
  2. Positions relatives de deux droites
  3. Positions relatives d'une droite et d'un plan
  4. Positions relatives de deux plans
  5. Droites parallèles et plan
  6. Droite perpendiculaire à un plan
  7. Intersection de plans

Section d'un cube par un plan

Cette partie traite en détail du problème de la section d'un cube par un plan et renvoie à des exercices interactifs.
  1. Problème
  2. Exemples où (MN) est parallèle à une arête du cube.
  3. Exemples où (MN) non parallèle à une arête du cube.

Volume de pyramides

Cette partie établit les formules du volume d'une pyramide et d'un tronc de pyramide en vue de calculer le volume d'une portion de cube obtenue après section par un plan.
  1. Volume d'un tétraèdre
  2. Volume d'un tronc de pyramide , pyramide et théorème de Thalès
  3. Calcul du volume d'une portion de cube

Propriétés fondamentales

Les propriétés fondamentales de l'espace euclidien calE sur lesquelles nous nous appuyons sont les suivantes :

Quelques clés pour comprendre les figures

Quelques clés pour comprendre les figures

Dans les figures de ce document, on utilise une perspective cavalière pour représenter sur un plan un objet de l'espace : En perspective cavalière, on projette l'objet sur un plan P parallèlement à une droite D donnée (Perspective cavalière et ombre). Un cube en perspective cavalière.

Faux point

Sur la figure, les arêtes [DD] et [AB] semblent être sécantes au point marqué d'un croix rouge. Ce point n'a pas d'existence dans l'espace sinon la face ABCD contiendrait deux points de l'arête [DD] et le cube serait aplati. Les arêtes [DD] et [AB] sont dans deux plans strictement parallèles, (ABB) et (DCC).

Vrai point, faux point

Les droites (MN) et (BC) sont coplanaires dans le plan de la face supérieure donc soit elles sont parallèles et leurs projections restent parallèles (donc sans point d'intersection), soit elles sont sécantes (ce qui est le cas dans la figure) et le point Q est leur point d'intersection. C'est un vrai point.
La droite (CC) rencontre le plan de la face supérieure en C donc elle ne rencontre pas la droite (MN) qui est dans ce plan mais ne passe pas par C. Le point marqué par la croix est un faux point dû à la projection.

Un cube en perspective cavalière.

Pour l'étude des sections d'un cube, il est très utile de représenter un cube en perspective. Voici une représentation assez claire sans superposition. La face du dessous est ABCD, celle du dessus ABCD ; les arêtes [AA], [BB], [CC] et [DD] sont "verticales". Les instructions de construction sont données pour le logiciel GeoGebra.
  1. Construire un carré ABBA avec l'outil polygone régulier,
  2. le milieu O de [AC] (outil milieu sans tracer la diagonale) est le centre du cercle Gamma circonscrit au carré (outil cercle (centre-point)).
  3. M est le milieu de [AB],
  4. D est l'autre intersection de (BM) et du cercle Gamma.
  5. Définir le vecteur AD avec l'outil vecteur (boîte à outil droite) puis utiliser l'outil translation (boîte à outil transformation) pour construire les sommets des parallélogrammes ABCD , BBCC et ABCD.
  6. On mettra en pointillé (dans propriétés, choisir style) les arêtes [AD], [DD] et [DC].
Pour obtenir une figure utilisable dans les exercices, cacher les objets auxiliaires de construction. On peut sélectionner la figure et l'exporter en différents formats (voir le menu fichier).

Positions relatives de deux droites

L'intersection de deux droites distinctes est soit vide soit réduite à un point ( axiome A1 )
Proposition et définitions.
  1. On dit que deux droites sont sécantes si leur intersection est réduite à un point. Elles sont alors coplanaires. Les droites (AB) et (AC) sont sécantes en A et coplanaires dans le plan (ABC).
  2. On dit que deux droites sécantes sont perpendiculaires si elles font un angle droit dans le plan qui les contient.
  3. Deux droites sont dites parallèles quand elles sont coplanaires et que soit elles sont confondues soit leur intersection est vide.
  4. Si un plan contient un point A et une droite D, il contient l'unique parallèle à D passant par A.
  5. Deux droites non-coplanaires, c'est-à-dire non contenues dans un même plan ne sont ni sécantes, ni parallèles et leur intersection est vide. On dit qu'elles sont orthogonales si elles ont parallèles à des droites perpendiculaires.

La relation " D est parallèle à D" est transitive. ici

Exemples dans un cube : Figure

  1. Dans le plan (ABC), (AB) et (DB) sont sécantes en B, (AB) et (CD) sont parallèles.
  2. Le plan (BBD) contient la parallèle à (BB) passant par D c'est-à-dire (DD).
  3. Les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires dans le plan (ABC).
  4. Les droites (AC) et (BC) ne sont pas coplanaires sinon A serait dans le plan de la face BCCB.
  5. Les droites (AB) et (BC) ne sont pas coplanaires, elles sont orthogonales car parallèles aux droites perpendiculaires (AB) et (BC).

Exercices

Positions relatives d'une droite et d'un plan

Soient une droite D et un plan P dans l'espace. D'après l' axiome 3 , soit D ne rencontre pas P, soit D rencontre P en un unique point, soit D est contenu dans P. On donne alors les définitions suivantes :

Définitions. Soient une droite D et un plan P dans l'espace.
  1. Soit D rencontre P en un unique point. On dit que D et P sont sécants.
  2. Soit on dit que D est parallèle à P :
    • Si D rencontre P en au moins deux points, elle est contenue dans P.
    • Si D ne rencontre pas P, elle est strictement parallèle à P

Exemples dans un cube : Figure

  1. Les droites (AB) et (AD) sont contenues dans (ABC).
  2. Les droites (DB) et (BB) rencontrent (ABC) en un seul point B.
  3. La droite (AB) est (strictement) parallèle à (ABC)
Exercices

Positions relatives de deux plans

Proposition et définition. Soient P et Q deux plans distincts de l'espace. Il y a deux possibilités :

Par extension, on dit aussi qu'un plan est parallèle à lui-même. Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre deux ; ceci résulte d'un des axiomes d'Euclide.

Exemples dans un cube : Figure

  1. Les plans (ABC) et (ABC) sont sécants.
  2. Les plans (ABC) et (ABC) sont parallèles.

Droites parallèles et plan

Proposition.
  1. Si D 1 et D 2 sont des droites parallèles, tout plan sécant à D 1 est sécant à D 2.
  2. Si D est une droite parallèle à un plan P, elle est parallèle à une droite de P (et même à une infinité de droites de P).
  3. Si deux droites sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.

Droite perpendiculaire à un plan

Définition. Soient une droite D et un plan P dans l'espace. On dit que D est perpendiculaire à P en A si D coupe P en A et est perpendiculaire à toutes les droites de P passant par A. On note DP.

Théorème. Soient une droite D et un plan P dans l'espace. Les conditions suivantes sont équivalentes :
  1. D est perpendiculaire à P
  2. D n'est pas contenue dans P et il existe deux droites distinctes de P perpendiculaires à D.
  3. D est orthogonale à deux droites non parallèles de P.
  4. D est orthogonale à toutes les droites de P.

Définition. On dit que deux plans sont perpendiculaires si chacun contient une droite perpendiculaire à l'autre. il suffit que l'un des deux contienne une droite perpendiculaire à l'autre.

Exemples dans un cube : Figure

  1. Comme ABBA et BBCC sont des carrés, par (2), la droite "verticale" (BB) est perpendiculaire en B au plan "horizontal" (ABC). Donc, par définition, (BB) est perpendiculaire à (BD) et, par (4), orthogonale à (AD).
  2. Les plans (ABC) et (BBC) sont perpendiculaires. De même, (ABC) et (DBB).
  3. Application à la section rectangulaire d'un cube .
Exercice : triangles dans le cube

Théorème des plans parallèles

Théorème des plans parallèles. Soient P 1 et P 2 deux plans parallèles et un plan Q non parallèle à P 1. Le plan Q coupe P 1 et P 2 selon des droites parallèles.
Exemples dans un cube :
  1. Le plan (ABC) coupe (ABC) et (ABC) selon les parallèles (AD) et (BC).
  2. Soit M un point de [AB]. Le plan (MBC) coupe (ABC) selon la parallèle à (BC) (et donc à (BC)) passant par M et (DCC) selon la parallèle à (MB) passant par C. Quelle est la nature de la section MBCN ?
  3. La section est un parallélogramme .

Théorème du toit

Application du théorème du toit à une section de cube

Théorème du toit.
Soient P 1 et P 2 deux plans sécants selon la droite Delta. Soient D 1 une droite de P 1 et D 2 une droite de P 2. Si D 1 et D 2 sont parallèles, elles sont parallèles à Delta.

Exemple dans un cube. Figure

Une droite de (ABB) est parallèle à une droite de (BCC) si et seulement si elle est parallèle à (BB). Par exemple (AA) est parallèle à (CC).

Problème

Etant donné un cube calK et trois points M, N et P, non alignés sur des arêtes de ce cube, il s'agit de construire le polygone calS intersection de calK et du plan (MNP). Les côtés de calS sont les intersections de (MNP) avec les faces du cube. Ce sont ces segments qu'il faut construire. Le polygone calS peut être un triangle, un quadrilatère (parallélogramme, rectangle, carré), un pentagone ou un hexagone.

On peut appliquer le Théorème des plans parallèles , le Théorème du toit , une méthode de prolongement des arêtes ou utiliser un plan auxilaire .

La section est un parallélogramme

On suppose que M appartient à [AB], N à [AB], P à [DC] et que la section du cube par (MNP) est un quadrilatère NMPQ ; alors c'est un parallélogramme en effet le plan (MNP) coupe les faces parallèles (ABB) et (DCC) (respectivement (ABC) et (ABC)) selon des droites parallèles (MN) et (PQ) (respectivement (MP) et (NQ)).(Voir le Théorème des plans parallèles )

Dans quel cas NMQP est-il un rectangle ? Réponse

Sur la figure, vous pouvez déplacer les points M, N et P.

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Version imprimable de la figure

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La section est un rectangle

Le parallélogramme NMQP est un rectangle si et seulement si (MN) est perpendiculaire à (MP). Comme (BC) est perpendiculaire à (ABB), elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à (MN) par le théorème concernant une droite perpendiculaire à un plan.
En résumé, NMPQ est un rectangle si et seulement si
(MN) est perpendiculaire à (ABC) ou (MP) est perpendiculaire à (ABB)

ce qui est équivalent à
(MN) est parallèle à (BB) ou (MP) parallèle à (BC).

Sur la figure, vous pouvez déplacer les points M, N et P.

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Application du théorème du toit à une section de cube

On utilise ici le théorème du toit pour déterminer l'intersection de deux plans.

Soient M un point de [AB], N un point de [AB] et P un point de [BC]. On suppose que (MN) est parallèle à (BC). L'intersection Delta des plans (MNP) et (BBC) contient P et par le théorème du toit c'est une droite parallèle à (BB). La droite Delta est donc la parallèle à (BB) passant par P. Soit Q le point d'intersection de Delta et de (BC), sécantes dans le plan (BBC). Par le théorème des plans parallèles , (MQ) est parallèle à (NP), donc MNPQ est un parallélogramme et comme (MN) est perpendiculaire à (ABC), MNPQ est un rectangle. Le rectangle MNPQ peut-il être un carré ?

Sur la figure, vous pouvez déplacer les points M et P.

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Version imprimable de la figure

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Méthode

Il s'agit de construire la section du cube K par le plan (MNP) lorsque (MN) n'est pas parallèle à une arête.
On suppose que M appartient à [AB], N à [AB] et que (MN) n'est pas parallèle à (AA).
  1. Dans le plan (ABB) (celui de la face de devant), les droites (MN) et (AA) sont sécantes en un point Q qui appartient à la droite (MN) donc au plan (MNP) et à la droite (AA) donc au plan (AA'D') (celui de la face de gauche). Nous avons ainsi déterminé un point de (MNP) dans une autre face que celle de M et N.
  2. Si, par exemple, P appartient à (DD), la droite (PQ) rencontre la face AADD selon un segment [PR] qui est un côté de la section calS puisque (PQ) est contenue dans (MNP).
Exercices : facile , difficile , expert .

Exemple rédigé

Il s'agit de construire la trace, sur les faces du cube, du plan défini par A, M et N.

1. Le segment [AN] est la trace du plan (AMN) sur la face de devant. Dans le plan (ABB) (de la face de devant), la droite (AN) rencontre (BB) en P qui appartient donc à (AMN) mais aussi au plan (BBC) (de la face de droite). 2. Dans le plan (BBC) (de la face de droite), (PM), droite du plan (AMN), rencontre rencontre (BC) en un point Q de (AMN). Alors le segment [MQ] est la trace du plan (AMN) sur la face de droite.
3. La section du cube par le plan (AMN) est donc le trapèze ANQM.
En effet, par exemple, [NQ] est l'intersection de (AMN) et de la face du bas et par le théorème des plans parallèles, (NQ) est parallèle à (AM).

Calcul du volume de la partie AMBBQN du cube.

Section de cube (cas expert)

Le cas difficile est la section du cube par un plan (MNP)M, N et P sont sur des arêtes deux à deux non coplanaires. La méthode du plan auxiliaire est décrite dans le livre page 386, 372, ligne 8 lire "R et P".
  1. Un plan auxiliaire Pi contient un point, par exemple M, et l'arête contenant un autre point, par exemple N.
  2. Soit D la droite intersection de Pi et d'une face contenant le troisième point P.
  3. Les droites (MN) et D sont coplanaires dans Pi. Leur point d'intersection Q, s'il existe, est à la fois dans (MNP) et dans le plan d'une face contenant P.
  4. La droite (PQ) permet de construire la trace de (MNP) sur cette face contenant P.
  5. On termine comme dans le cas facile ...

Exercice

Volume d'un tétraèdre

Le volume d'un tétraèdre est calculé en [ME.X.3.D] de façon différente selon l'édition de ME. Voici une variante signalée à D. Perrin par Daniel Meyer , en trois étapes, basée sur l'homogénéité du volume.

Volume du tétraèdre (1)

On calcule le volume du tétraèdre vert en le comparant à celui d'un parallélépipède de base double et de même hauteur. On utilise pour cela un tétraèdre homothétique.

Dans chaque figure, la mobilité du point A permet de modifier la figure et ainsi d'améliorer la vision 3D. Pour la suite du calcul faire suiv

Sur la figure 1, voici, en vert, le tétraèdre dont on va calculer le volume.

Sa base BCD a pour aire la moitié de celle de A BCD, base du parallélépipède rose.

On a complété ABC en un parallélogramme ABCD, de même BCD en un parallélogramme A BCD, ABD en un parallélogramme ABC D, ACD en un parallélogramme AB CD et D complète le parallélépipède.

Figure 1

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Volume du tétraèdre : figure 1 imprimable

Volume du tétraèdre : figure 1 imprimable

Volume du tétraèdre (2)

Sur la figure 2, le tétraèdre saumon ABCD est symétrique de ABCD par rapport à O.
En effet, toutes les diagonales du type [MM] sont des diagonales de parallélogramme, elles se coupent donc en leur milieu.

Figure 2

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Volume du tétraèdre : figure 2 imprimable

Volume du tétraèdre : figure 2 imprimable

Volume du tétraèdre (3)

  1. Le tétraèdre ABCD est homothétique de ABCD par l'homothétie de centre D et de rapport 2. Donc si t est le volume de ABCD, le volume de ABCD est 8t.
  2. Le tétraèdre ABCD est la réunion d'une partie du parallélépipède (le tétraèdre A B C D n'est pas contenu dans ABCD) et de trois tétraèdres de volume t donc le volume du parallélépipède est 6t.
  3. Or le volume du parallélépipède est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur et l'aire de la base du petit tétraèdre est la moitié de celle de la base du parallélépipède.
On a donc montré :
Proposition.
Le volume du tétraèdre est le tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur.

Figure 3

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Volume du tétraèdre : figure 3 imprimable

Volume du tétraèdre : figure 3 imprimable

Volume d'un tronc de pyramide

Soit P une pyramide de base A 1A 2...A n (avec n3) et de sommet O. Soit A 1 (resp. A 2, A 3) un point de (OA 1) (resp. (OA 2), (OA 3)). On suppose que le plan (A 1A 2A 3) est parallèle au plan (A 1A 2A 3) de la base.

On note A i l'intersection de (A 1A 2A 3) avec (OA i) pour i=4,...,n dans le cas n>3. On convient que A n+1 est le point A 1 et A n+1 le point A 1. On appelle P une pyramide de base A 1A 2...A n (avec n3) et de sommet O.

Alors

  1. Pour i=1,...,n, la droite (A iA i+1) est parallèle à (A iA i+1).
  2. Il existe une homothétie h de centre O et de rapport lambda qui envoie A i sur A i pour tout i=1,...,n.
  3. On a : λ=OA iOA i=A iA i+1A iA i+1 pour tout i=1,...,n.
  4. Le volume de P est égal à λ 3.V(P).
  5. Si A 1 est entre A 1 et O, le volume du tronc de la pyramide P compris entre les plans (A 1A 2A 3) et (A 1A 2A 3) est égal à (1λ 3).V(P).
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Figure imprimable du tronc de pyramide

Figure imprimable du tronc de pyramide

Calcul du volume d'une portion de cube

Nous reprenons l' exemple rédigé : le cube de côté a est coupé par le plan (AMN) et nous avons vu que la section est le quadrilatère ANQM. Nous allons calculer le volume v de la partie ANBQMB du cube située devant ce quadrilatère. Pour ce faire, nous utilisons les pyramides construites pour établir la section.

Considérons le grand tétraèdre calT de base ABM et de sommet P et le petit tétraèdre t de même sommet et de base NBQ. D'après le théorème Volume d'un tronc de pyramide , comme les deux pyramides ont même sommet et que leurs bases sont parallèles, il existe une homothétie h de sommet P et de rapport k (que nous allons déterminer) qui envoie P sur P, A sur N, B sur B et M sur Q avec :
k=PNPA=PBPB=PQPM=NBAB=QBMB=NQAM
Si on suppose les égalités BN=CM=a3, on obtient k=13. On en tire BP=3a2.

Alors le volume de calT vaut BP.BA.BM6=a 36. Le volume v du tronc de pyramide est donc égal à a 36(113 3) soit 13a 381.

droites et plans dans l'espace, sections de cube, volume de troncs de pyramide.
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