Tableaux de signes - Inéquations
--- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 12 exercices sur les études de signe et la résolution d'inéquations (niveau Seconde, Lycée).

Associer tableau et expressions

De quelle(s) expression(s) le tableau suivant est-il le tableau de signes ?

Il y peut y avoir plusieurs réponses ou aucune.

Inéquation particulière

On peut résoudre l'inéquation (I)     sans tableau de signes, car le signe de est évident.

L'ensemble des solutions de l'inéquation (I) est alors :

.

Inéquation avec quotient

Résoudre algébriquement sur l'inéquation (1) :
  1. L'inéquation (1) équivaut à l'inéquation     avec et les binômes du premier degré suivants :

    = et =

    On a montré que résoudre (1) équivaut à résoudre l'inéquation (2) :  
  2. On étudie le signe du quotient     en fonction de . On obtient le tableau suivant :

  3. On définit les ensembles suivants :
    = =
    = =
    = =
    = =
    D'après le tableau de signe, l'ensemble des solutions de (1) et (2) est :

Inéquation évidente

On peut résoudre l'inéquation (I)     sans tableau de signe, car le signe de est évident. L'ensemble des solutions de (I) est alors :

.

Vérifier un tableau de signes (1)

Un élève a dressé le tableau suivant pour étudier le signe de la fonction définie par :


Ce tableau est-il correct ? Sinon, quelle erreur a été commise ?

Vérifier un tableau de signes (2)

Un élève a dressé le tableau suivant pour étudier le signe de la fonction définie par :


A-t-il raison ? Sinon, cochez toutes les erreurs qu'il a commises.

Signe d'un binôme \(ax+b)

Complétez le tableau de signes du binôme du premier degré .

Expression de signe évident

L'expression a un signe évident quel que soit le réel est toujours .

Lecture graphique

La représentation graphique d'une fonction , définie sur calD = [- ,] [- ,[ cup ] , ] , est donnée dans le repère (O ; I, J) ci-contre. On admet que la fonction ne change pas de sens de variation en dehors du graphique.
Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

  1. Combien l'équation a-t-elle de solutions dans calD ?
  2. L'équation n'a aucune solution dans calD.

  3. Compléter le tableau de signes de :

    4. -

  4. L'équation n'admet aucune solution dans calD.
    La fonction n'est pas définie en .

  5. Compléter le tableau de signes de :

    6. -
    ||

  6. L'équation a une unique solution 1 dans calD.
    La valeur arrondie au dixième de 1 est .

  7. Compléter le tableau de signes de :

    8. -
    0

  8. L'équation a une unique solution 1 dans calD. La fonction n'est pas définie en .
    La valeur arrondie au dizième de 1 est : .

  9. Compléter le tableau de signes de :

    10. -  
    0 ||

  10. L'équation a une unique solution 1 dans calD. La fonction n'est pas définie en .
    La valeur arrondie au dizième de 1 est : .

  11. Compléter le tableau de signes de :

    12. -  
    || 0

  12. L'équation a deux solutions 1 et 2 dans calD.
    Les valeurs arrondies de 1 et 2 sont respectivement : et .

  13. Compléter le tableau de signes de :

    14. -  
    0 0

  14. L'équation a trois solutions 1, 2 et 3 dans calD.
    Les valeurs arrondies au dixième de 1, 2 et 3 sont respectivement : , et .

  15. Compléter le tableau de signes de :

    16. -    
    0 0 0

xrange -, yrange , parallel -,,-,,1,0, 2*+1, grey parallel -,,,,0,1, (-)++1, grey hline 0,0,black vline 0,0,black arrow 0,0,1,0,8, black arrow 0,0,0,1,8, black text black , -0.5,-0.2,small , O text black , 1,-0.3,small , I text black , -0.5,1,small , J linewidth 1.5 plot blue,

Signe d'un produit ou quotient

Etudier en fonction de le signe du produit quotient .

Signe d'une fonction produit ou quotient

Construire le tableau de signes de la fonction définie sur RR , pour tout réel tel que , par .

Signe d'une expression a + u(x)/v(x)

Etudier en fonction de le signe de l'expression .
Compléter le tableau ci-dessous.

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