OEF Calculs algébriques avec logarithmes ou exponentielles --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 19 exercices de classe Terminale, sur les calculs algébriques avec des logarithmes et des exponentielles.

Réécriture avec des exponentielles (1)

On donne    , où exp désigne la fonction exponentielle.

Réécrire sous la forme exp( ), où est un entier relatif.

= exp ( ).

Réécriture avec des exponentielles (2)

On donne    , où exp désigne la fonction exponentielle.

Réécrire sous la forme exp( ) , où est une expression sans exponentielle.

= exp ( ).

Exponentielles et Notation Puissance

exp désigne la fonction exponentielle de base e.
On considère l'expression    .

Réécrire sous la forme exp( ).

= exp ( ).

Réécrire avec une seule exponentielle

Ecrire sous la forme , où l'exposant est développé :

=  


Inéquation du type ce ax+b+d>0

On veut étudier en fonction de le signe de :   .
Pour ce faire, on commence par résoudre l'inéquation   .

Résolvez l'inéquation sur papier libre puis complétez les affirmations suivantes.


Inéquation du type ce ax+b>d

On veut résoudre dans RR l'inéquation (I) :   .

Résolvez (I) sur papier libre, en complétant les affirmations suivantes.


Inéquation avec logarithmes (1)

On veut résoudre dans RR l'inéquation (I) :   .

Résolvez (I) sur papier libre, puis complétez les affirmations suivantes.

  1. Le premier membre de (I) est défini à condition que .

  2. Le second membre de (I) est défini à condition que .

  3. Pour tout réel vérifiant les conditions 1. et 2. , on a :

       

  4. On en déduit que l'ensemble des solutions de (I) est


Inéquation avec logarithmes (2)

On veut résoudre dans RR l'inéquation (I) :   .

Résolvez (I) sur papier libre, puis complétez les affirmations suivantes.

Pour écrire vous devez entrer exp(a) ou e^(a).

  1. Le premier membre de (I) est défini si et seulement si .

  2. La condition 1. étant vérifiée, on peut écrire les équivalences suivantes :

    (I)     ln( )

    (I)    

  3. L'ensemble des solutions de (I) est


Inéquation avec logarithmes (3)

On veut résoudre dans RR l'inéquation (I) :   .

Résolvez (I) sur papier libre, puis écrivez son ensemble de solutions à l'aide des menus déroulants ci-dessous.

Pour écrire l'ensemble vide, saisir ] 0 , 0 [.

L'ensemble des solutions de (I) est l'intervalle :

] , [


Inéquation résolue en ln

Résoudre dans RR l'inéquation (I) :   .

Il s'agit de répondre aux questions suivantes :
  1. A quelle condition sur le premier membre de (I) est-il défini ?

  2. A quelle condition sur le second membre de (I) est-il défini ?

  3. Pour vérifiant les conditions 1. et 2. , on peut simplifier (I) en une inéquation (I') du premier degré.
    Poser l'inéquation (I'). Quelles sont les solutions de (I') ?

  4. En déduire l'ensemble des solutions de (I).
    (il faut tenir compte des conditions obtenues en 1., 2. et 3.)


Voici une résolution détaillée de (I) : ) est défini à condition que , c'est à dire que .

ln( ) est défini à condition que , c'est à dire que .

Pour tout réel vérifiant ces deux conditions, on peut ramener (I) à une inéquation du premier degré en appliquant la règle            

Les réels solutions de (I) doivent donc vérifier les trois inégalités :

   et   et 

Chaque inégalité définit un intervalle ; l'ensemble des solutions est l'intersection des trois intervalles.

∈    avec   =
∈    avec   =
∈    avec   =
solution de (I) si et seulement si ∈ cap cap

Formons d'abord l'intersection des deux premiers intervalles :

= cap =

Cet ensemble est vide, donc a fortiori l'intersection est vide aussi.
Conclusion : L'inéquation (I) n'a aucune solution.

L'intersection de avec est vide.
Conclusion
: L'inéquation (I) n'a aucune solution.

Formons ensuite l'intersection avec le troisième intervalle :

= cap =

Conclusion : L'ensemble des solutions de (I) est .



Réécriture avec des logarithmes (1)

On donne , où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Réécrire sous la forme ln( ), où est un nombre rationnel.

= ln ( ).
Réécrire sous la forme où et sont des entiers relatifs.

= .

Réécriture avec des logarithmes (2)

On donne , où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Réécrire comme le logarithme d'un produit :

avec n = et m = .
Réécrire comme une somme de logarithmes :

= n ln( ) + m ln( ) avec n = et m = .

Logarithme et suites géométriques

On considère la suite géométrique ( ) de premier terme et de raison .
On cherche pour quelles valeurs de l'entier on a .
Il s'agit donc de résoudre dans NN l'inéquation (I) :    

Résolvez (I) sur papier libre, puis complétez les affirmations suivantes.

  1. La suite géométrique est et .

  2. L'inéquation (I) équivaut à ln( ) / ln(q) .

  3. Les solutions de l'inéquation (I) sont tous les entiers naturels à l'entier = .


Etude d'une fonction logarithme (QCM)

On considère la fonction définie par la formule .
Faites-en l'étude sur papier libre, puis remplissez le questionnaire suivant.


Signe d'une expression avec exp (1)

Etudier, en fonction de le signe de l'expression .


Signe d'une expression avec exp (2)

On veut étudier en fonction de le signe de :   .

Pour ce faire, on commence par regarder si ce signe peut être déterminé de manière immédiate.


Signe d'une expression avec ln (1)

L'expression est définie si , c'est à dire si appartient à l'intervalle .

On veut étudier dans le signe de l'expression :   .

On doit donc résoudre l'inéquation

Compléter les étapes suivantes ; pour écrire vous devez entrer exp(a) ou e^(a).


Signe d'une expression avec ln (2)

L'expression est définie si , c'est à dire si appartient à l'intervalle .

On veut étudier dans le signe de l'expression :   .

Résoudre sur papier libre l'inéquation puis compléter le tableau de signes.

Pour écrire vous devez entrer exp(a) ou e^(a).

0


Simplifications de base

Simplifier l'expression suivante sous forme d'un entier relatif.

= .


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