OEF Polynômes --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 32 exercices sur les polynômes à une variables (avec coefficients réels ou complexes) : racines, degrés, composition, division euclidienne, ...

Degré du pgcd avec dérivée

Soit un polynôme de degré et à coefficients , ayant racines réelles et racines complexes différentes (non comptées avec multiplicités). Soit la dérivée de . Quel est le degré de pgcd( ) ?

Min. deg racines multiples

Quel est le degré minimum d'un polynôme P(x) à coefficients admettant  : Répondez -1 si vous pensez qu'un tel polynôme n'existe pas.

Degré de somme

Soient () et () deux polynômes. Complétez :

Si deg()= et deg()=, alors est un polynôme de degré ________.


Equation de différence

Trouver le polynôme () tel que

()-() = 2

et que ()=.

Tapez x^3 pour 3, etc.


Trouver racine multiple degré 3

Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.


Trouver racine multiple degré 4

Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.


Trouver racine multiple degré 5

Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.


Trouver racine multiple degré 6

Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.


pgcd donné avec dérivée

Trouver le polynôme tel que : Vous pouvez entrer le polynôme sous forme développée ou factorisée. Tapez x^3 pour , etc.

Racine donnée deg 3

Déterminez le polynôme

P() = 32 ,

sachant que et sont réels, et que en est une racine.


Min. deg pgcd avec dérivée 2

Soit P(x) un polynôme de degré et à coefficients , ayant racines réelles et racines complexes différentes (non comptées avec multiplicités). Soit P''(x) la dérivée seconde de P(x). Quel est le minimum du degré de pgcd(P(x),P''(x)) ?

Min. deg pgcd avec dérivée n

Soit P(x) un polynôme de degré et à coefficients , ayant racines réelles et racines complexes différentes (non comptées avec multiplicités). Soit P()(x) la dérivée d'ordre de P(x). Quel est le minimum du degré de pgcd(P(x),P()(x)) ?

Multiplicité d'une racine degré 3

Le nombre est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.


Multiplicité d'une racine degré 4

Le nombre est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.


Multiplicité d'une racine degré 5

Le nombre est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.


Multiplicité d'une racine degré 6

Le nombre est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.


Multiplicité paramétrée degré 3

Trouver une valeur de pour que le polynôme suivant ait une racine multiple, et trouver cette racine multiple.

ATTENTION. Cet exercice n'accepte pas les réponses approximatives ! Il y a toujours une solution entière. Trouvez-la.

Multiplicité paramétrée degré 4

Trouver une valeur de pour que le polynôme suivant ait une racine multiple, et trouver cette racine multiple.

ATTENTION. Cet exercice n'accepte pas les réponses approximatives ! Il y a toujours une solution entière. Trouvez-la.

Paramétré deg 2

Pour quelles valeurs réelles du paramètre le polynôme

()2 + (2) +

a  ? ( )


Paramétré deg 2 II

Pour quelle valeur réelle du paramètre le polynôme

()2 + () + ()

a une racine égale à  ? (Sous condition que ne 0.)


Racines polynome complexe deg 2

Calculer les deux racines du polynôme

P() = 2 + () + ().

Vous pouvez entrer les deux racines , dans n'importe quel ordre.


Fonction de racines deg 2

Soient , les deux racines du polynôme

où est un coefficient réel. Quelle est la valeur de  ? (Cette valeur est une fonction de .)


Fonction de racines deg 3

Soient , , les trois racines du polynôme

 ,

où est un coefficient réel non nul. Quelle est la valeur de  ? (Cette valeur est une fonction de a.)


Re(racine) deg 2

Soit P() = 2 + un polynôme à coefficients réels, ayant deux racines complexes conjuguées. Quelle est la partie réelle d'une racine r ?

Compte racines avec dérivée

Soit un polynôme de degré et à coefficients , et soit le polynôme dérivé de . On sait que pgcd( ) est un polynôme de degré . Quel est le nombre de racines distinctes de  ? (racines réelles et complexes confondues)

Racine de polynôme composé

Soient () un polynôme, et () = 2 un autre polynôme. Considérons les polynômes composés (()) et (()). Complétez :

Si est une racine de , alors .


Racines réelles deg 2

Trouver les deux racines r1, r2 du polynôme

2  .

(Les racines sont réelles, et l'ordre des racines est sans importance.)

Multiplicité racine de somme

Soient () et () deux polynômes. Complétez :

Si est une racine de multiplicité de () et aussi une racine de multiplicité de (), alors est une racine de multiplicité ________ de .


Statut racines deg 2

Quel est le type de racines du polynôme de degré 2 suivant ?

2


Factorisation de trinôme

Factoriser .

Etape 1. Mettons les termes de en un carré complet :

= ( )2.
Nous avons .

Etape 2. Donc

-
= - 2 .
Donc

-
=

Etape 3. Maintenant on applique la formule ( )( ).

Résultat : . (Il faut entrer les expressions simplifiées.)


Racine triple deg 3

Pour quelles valeurs réelles des paramètres et le polynôme

P() = 3 + 2 + + (-)

a une racine triple ?


Racine triple deg 3 II

Pour quelles valeurs réelles des paramètres et le polynôme

P() = 3 2 +(++)

a une racine triple ? (La solution n'est pas forcément unique.)

D'autres exercices sur : polynômes   racines   nombres complexes  


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