Ensembles

Objectifs et conseils

Ce module est consacré à la théorie des ensembles. Nous revenons aussi sur les propriétés des applications.

Références

Guide

Union, intersection, complémentaire

Union, intersection, complémentaire : définitions

Inclusion : Un ensemble E est inclus (contenu) dans un ensemble F si tout élément de E est un élément de F. Cela est noté Esubset F.

Les trois opérations de la théorie des ensembles sont

Ce sont les notions essentielles dans la manipulation d'ensembles.

Il est important de bien comprendre graphiquement de quoi il s'agit. Par exemple, si on vous donne trois sous-ensembles A, B et C, savez-vous reconnaître (AB)C ou ( cAB)(C cA)?

Exercice : Cet exercice en ligne vous permet de vous entraîner graphiquement aux notions de sous-ensembles : union, intersection, complémentaire. Il peut Il y a plusieurs niveaux. N'hésitez pas à retourner à Intro/configuration et à prendre plus simple ou plus compliqué...

Associativité et distributivité

Il faut savoir manipuler les expressions contenant des symboles union, réunion, complémentaire. Les lois essentielles sont

Exercice : Union, intersection, complémentaire sur des ensembles explicites

Exercice : Manipulation

Quelques problèmes concrets

Exercice de modélisation (et distributivité): Dans une grande librairie, trois employés ont les attributions suivantes :

Jean s'occupe des livres politiques et des romans étrangers reliés ;

Pierre s'occupe des livres politiques reliés et des romans anglais, sauf ceux qui sont politiques ;

Henri s'occupe des livres anglais et des romans politiques non reliés.

Quels sont les livres qui sont de la compétence des trois employés ? de deux ? d'aucun ? Mettre le problème sous forme mathématique. On peut aussi faire un dessin !

Cardinal

Cardinal

On ne considère que des ensembles finis et on note Card A le cardinal de A, c'est-à-dire le nombre d'éléments de A. La formule fondamentale pour le calcul des cardinaux est :

Card ( A cup B) = Card ( A ) + Card ( B) - Card ( A cap B)

Démonstration

= + = +

= + -

card(Acup B )= card(A) + card(B) - card(Acap B)

Exercice : On considère A et B deux sous-ensembles d'un ensemble fini E. On note n (resp. a, b) le cardinal de E (resp. A, B). On suppose de plus que a est plus grand que b.

Donner un majorant de Card ( A cup B) en fonction de a, b et n. Même question pour Card ( A cap B).

Donner un minorant de Card (A cup B) en fonction de a, b et n. Même question pour Card ( A cap B).

Solution

Card (A cup B) leq Inf(a+b,n)
Card (A cap B) leq b
Card (A cup B) geq a

Card (A cap B) geq Sup(0,a+b-n)

Exercice : Utiliser la formule fondamentale deux fois pour donner une formule pour Card( A cup B cup C)

Solution

Card (A cup B cup C) = Card( A )+ Card (B) + Card (C) - Card (A cap B)
- Card (A cap C)-Card (C cap B) +Card (A cap B cap C)

Cardinaux : exercices pratiques

Exercice : Un étudiant avoue passer 2/3 de son temps à jouer et la moitié à faire des maths. Cet étudiant fait-il des jeux mathématiques ?

Appliquer un résultat théorique précédent.

Exercice : Effectifs des classes de langues
Exercice (le lemme des tiroirs) : Montrer que dans le groupe des étudiants du deug, il y au moins deux étudiants qui ont le même nombre d'amis dans ce groupe. On considère qu'on est ami avec soi-même et que si Jean est ami avec Pierre, Pierre est ami avec Jean.

Applications

Bijectivité, injectivité, surjectivité (ensembles finis)

Exercice sur la définition d'application, injectivité, surjectivité, bijectivité : Correspondances . Il s'agit de décider si une correspondance d'un ensemble fini vers un autre est une application, est injective, surjective...

Exercice sur les relations entre les notions d'injectivité, surjectivité et les cardinaux

Bijectivité sur R

Exercice : Si f est une fonction de RR dans RR, que peut-on dire de l'image d'un ensemble borné, de son image réciproque ? Attention aux pièges !

Exercices :

Image réciproque d'un intervalle

Les situations qui peuvent apparaître sont les suivantes pour une parabole :

L'image réciproque de l' intervalle bleu (vertical) est l'ensemble orange (horizontal). Il est donc selon les cas vide, un intervalle, la réunion disjointe de deux intervalles. En particulier, ce n'est pas toujours un intervalle.

Pour faire l'exercice en ligne, utilisez la calculette graphique ou votre calculette.

un document introductif à la théorie des ensembles.
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Description: un document introductif à la théorie des ensembles. This is the main site of WIMS (WWW Interactive Multipurpose Server): interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games

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