Ensembles --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 18 exercices sur les ensembles, le cardinal d'un ensemble, la représentation d'événements par des ensembles et les applications entre deux ensembles finis.
Le paramètre "Complexité des ensembles" sert uniquement pour les exercices Positions de points aléatoires, Cardinal d'un ensemble classique, Cardinal d'un sous-ensemble du plan et Description d'un sous-ensemble du plan.

Distance de Manhattan

Une personne se trouve au numéro de la ème avenue. Il désire prendre un taxi pour se rendre au numéro de la ème avenue.
On suppose que les avenues de Manhattan sont quadrillées de telle sorte que le taxi peut changer d'avenue tous les 10 numéros et on suppose que le compteur du taxi avance d'un dollar à chaque croisement.
  1. Combien coûtera la course si le taxi est honnête ?
  2. Bonne réponse ! La course coûtera dollars.
  3. Combien de fois le taxi peut-il faire cette course sans emprunter le même trajet (en supposant toujours que le chauffeur est honnête) ?

Répartition d'élèves dans des options

Sur les élèves d'un lycée, suivent des cours d'anglais, ceux d'allemand, ceux d'espagnol. Parmi eux, apprennent au moins l'anglais et l'espagnol, apprennent au moins l'anglais et l'allemand et apprennent au moins l'allemand et l'espagnol. Enfin, d'entre eux apprennent les trois langues.
  1. Combien n'apprennent aucune de ces trois langues ?
  2. Combien d'élèves font uniquement de l'anglais et de l'espagnol ?

Comparer deux ensembles

On considère les deux ensembles suivants :
Cochez toutes les propriétés satisfaites par ces ensembles :

Dénombrabilité

L'ensemble est-il dénombrable ?


Description d'un sous-ensemble du plan

On note l'ensemble
E =
  1. Comme sous-ensemble du plan, les éléments de constituent tous les points à coordonnées entières inclus dans . .
  2. Une autre façon d'écrire l'ensemble est :
    = (x, ) tel que x
    (x,y) tel que x et x
    y =
  3. Pour tout entier vérifiant , l'ensemble
    (x,y) tel que x et x
    a éléments. Le cardinal de est .
  4. Le cardinal de est .

Ecriture ensembliste d'événements

On effectue une expérience aléatoire dont l'ensemble des résultats est noté . On désigne par et deux événements qui peuvent se réaliser au cours de cette expérience. Par abus de notations, et désignent aussi les parties de qui décrivent ces événements : par exemple, si est le résultat de l'expérience, il est équivalent de dire que est réalisé et que .

Quelle est l'écriture ensembliste de l'événement suivant ?

= .

Théorie des ensembles 1

Soit un ensemble et , et trois sous-ensembles de . Traduire en termes mathématiques la phrase suivante :

L'ensemble des éléments de qui qui .


Points à coordonnées entières

On considère l'ensemble des couples tels que et et tels que

.

Cliquer sur le dessin représentant l'ensemble , ,


Evénements et ensembles

On effectue une expérience aléatoire dont l'ensemble des résultats est noté . On désigne par , et trois événements qui peuvent se réaliser au cours de cette expérience. Par abus de notations, , et désignent aussi les parties de qui décrivent ces événements : par exemple, si est le résultat de l'expérience, il est équivalent de dire que est réalisé et que .
  1. Quelle est l'écriture ensembliste de l'événement suivant :
  2. Bonne réponse, l'événement est représenté par l'ensemble .
  3. Quel est l'événement complémentaire ?
  4. Bonne réponse, l'événement complémentaire est
  5. Quelle est l'écriture ensembliste de l'événement complémentaire ?

Fonctions indicatrices

. Donner l'expression de la fonction indicatrice de l'ensemble au point , en notant et .

=


Injectivité, surjectivité

Soient et deux ensembles finis tels que card card . .

(La réponse autre signifie qu'aucune des propositions n'est possible.)


Positions de points aléatoires

On a choisi au hasard à l'intérieur du dessiné en marron, centré en 0 et dont le mesure mm. l'événement
.
line 221,100,241,100,blue line 221,99,221,101,blue line 231,99,231,101,blue line 241,99,241,101,blue text navy,220,85,medium, 20 mm arrow 0,110,220,110,10,gray arrow 110,220,110,0,10,gray text gray, 100,110,,0 linewidth 3 points navy,

L'événement est-il réalisé ?


Cardinal d'un ensemble classique

Quel est le cardinal de l'ensemble E suivant ?
E =

Cardinal d'un sous-ensemble du plan

Quel est le cardinal de l'ensemble E suivant ?
E =

Associer événements et ensembles

On effectue une expérience aléatoire dont l'ensemble des résultats est noté . On désigne par , et trois événements qui peuvent se réaliser au cours de cette expérience. Par abus de notations, , et désignent aussi les parties de Omega qui décrivent ces événements : par exemple, si est le résultat de l'expérience, il est équivalent de dire que est réalisé et que .
Mettre en correspondance les formulations probabilistes équivalentes.


Ensembles : description mathématique

Soit , et trois ensembles. La colonne de droite contient les descriptions des éléments de quatre ensembles différents. Lesquels ?
Associer l'ensemble correspondant à chaque description.


Description des éléments d'un ensemble

Soit , et trois ensembles. Faire correspondre les affirmations équivalentes.


Ensembles de multiples

Soit l'ensemble des entiers de 1 à multiples de . Soit le sous-ensemble de formé des multiples de et le sous-ensemble de formé des multiples de .
Donner explicitement la liste des éléments (si est vide, écrire 0).


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