OEF Exercices de synthèse sur les complexes en TS
--- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 15 exercices sur les complexes en Terminales S. Les exercices proposés constituent une synthèse du programme du baccalauréat dans la filière S.

Angle et quotient de complexes

On considère les points , et d'affixes respectives :
 ;   ; 

Image par composée d'homothétie et trans

Cet exercice est en cinq étapes. On considère successivement plusieurs transformations du plan complexe, dont on va déterminer l'écriture complexe.

Module et argument remarquable

Soit le complexe tel que .
  • On cherche le module de .
    Bien !
    Le module de est bien
  • On cherche maintenant un argument de .

Lieux de points (1)

Soient A( )  et  B( ) deux points distincts du plan complexe. On appelle C( ) le milieu de [AB].
On pose :
 et 
On appelle (E) l'ensemble des points M(z) tels que :

  • ETAPE 1 : L'ensemble (E) est tout ou partie de :

    • ! ... L'ensemble (E) est tout ou partie d'.
  • ETAPE 2 : L'ensemble (E) est plus précisément :

    • ! ...(E) est
  • ETAPE 3 : Cocher dans la liste suivante tous les points appartenant à (E) :

    • ! ... Le(s) point(s) appartenant à (E) sont :
  • ETAPE 4: On rappelle que les points A et B ont pour affixe :
     et 
    La droite support de (E) a pour équation : Le cercle support de (E) a pour :

    Lieux de points (2)

    Soient A( )  et  B( ) deux points distincts du plan complexe. On appelle C( ) le milieu de [AB].
    On pose :
     et 
    On appelle (E) l'ensemble des points M(z) tels que :

  • ETAPE 1 : L'ensemble (E) est tout ou partie de :

    • ! ... L'ensemble (E) est tout ou partie d'.
  • ETAPE 2 : L'ensemble (E) est plus précisément :

    • ! ...(E) est
  • ETAPE 3 : Cocher dans la liste suivante tous les points appartenant à (E) :

    • ! ... Le(s) point(s) appartenant à (E) sont :
  • ETAPE 4: On rappelle que les points A et B ont pour affixe :
     et 
    La droite support de (E) a pour équation : Le cercle support de (E) a pour :

    Lieux de points (3)

    Soient A( )  et  B( ) deux points distincts du plan complexe. On appelle C( ) le milieu de [AB].
    On pose :
     et 
    On appelle (E) l'ensemble des points M(z) tels que :

  • ETAPE 1 : L'ensemble (E) est tout ou partie de :

    • ! ... L'ensemble (E) est tout ou partie d'.
  • ETAPE 2 : L'ensemble (E) est plus précisément :

    • ! ...(E) est
  • ETAPE 3 : Cocher dans la liste suivante tous les points appartenant à (E) :

    • ! ... Le(s) point(s) appartenant à (E) sont :
  • ETAPE 4: On rappelle que les points A et B ont pour affixe :
     et 
    La droite support de (E) a pour équation : Le cercle support de (E) a pour :

    Lieux de points (4)

    Soient A( )  et  B( ) deux points distincts du plan complexe. On appelle C( ) le milieu de [AB].
    On pose :
     et 
    On appelle (E) l'ensemble des points M(z) tels que :

  • ETAPE 1 : L'ensemble (E) est tout ou partie de :

    • ! ... L'ensemble (E) est tout ou partie d'.
  • ETAPE 2 : L'ensemble (E) est plus précisément :

    • ! ...(E) est
  • ETAPE 3 : Cocher dans la liste suivante tous les points appartenant à (E) :

    • ! ... Le(s) point(s) appartenant à (E) sont :
  • ETAPE 4: On rappelle que les points A et B ont pour affixe :
     et 
    La droite support de (E) a pour équation : Le cercle support de (E) a pour :

    Lieux de points (conditions aléatoires)

    Soient A( )  et  B( ) deux points distincts du plan complexe. On appelle C( ) le milieu de [AB].
    On pose :
     et 
    On appelle (E) l'ensemble des points M(z) tels que :

  • ETAPE 1 : L'ensemble (E) est tout ou partie de :

    • ! ... L'ensemble (E) est tout ou partie d'.
  • ETAPE 2 : L'ensemble (E) est plus précisément :

    • ! ...(E) est
  • ETAPE 3 : Cocher dans la liste suivante tous les points appartenant à (E) :

    • ! ... Le(s) point(s) appartenant à (E) sont :
  • ETAPE 4: On rappelle que les points A et B ont pour affixe :
     et 
    La droite support de (E) a pour équation : Le cercle support de (E) a pour :

    Polynômes à coefficients complexes

    Soit .
    Le but de l'exercice est de trouver les racines de P.
    • ETAPE 1 : P possède une racine . Calculer .

      • Bien ! Erreur... La bonne réponse est : .
    • ETAPE 2 : Déterminer les complexes et tels que, pour tout complexe , on ait :
      •   avec   = et =

      Bien ! Erreur... Les bonnes réponses sont : et .
    • ETAPE 3 : Déterminer alors les deux autres racines de P (éventuellement identiques).
      Donner comme première racine celle possédant la plus grande partie réelle, et en cas d'égalité, celle possédant la plus grande partie imaginaire. On donnera des valeurs réelles décimales approchées à 0.01 près.
      • r2= et r3 =

      Produit de deux complexes

      On pose et .
      Calculer .
      = + i

      Quotient de deux complexes

      On pose et .
      Calculer .
      = + i

      Image par une rotation

      Soit la rotation de centre A( ) et d'angle
      L'écriture complexe de est où est un point quelconque du plan complexe et est son image par .

      • Quelle est la forme algébrique de ?
        = + i

        Bien ! = Non ... =
      • Quelle est la forme algébrique de ?
        = + i

        Bien ! = Non ... =
      • On considère le point B( ). Quelle est l'affixe de (B) ?
        L'affixe de (B) est : + i

      Image par homothétie ou translation

      Soit le vecteur ( ) et le point . Soit la translation de vecteur . Soit le point et le point . Soit l'homothétie de centre C et de rapport .

      • Donner l'écriture complexe de .
        +

        Bien ! Erreur...
        Nous avons donc
      • Soit l'image du point par . Quel est l'affixe du point ?
        ( )

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