DOC Etude de signes
Etude de signes
Ce document regroupe les principales techniques d'étude de signes utiles en classe de BTS.
1. Pourquoi a-t-on besoin d'étudier le signe d'une expression ?
2. Signe d'une expression de la forme ax + b
3. Signe d'une expression de la forme ax2 + bx + c
4. Signe d'une expression comportant des fractions où x figure au dénominateur
5. Signe d'une expression avec la fonction exponentielle
6. Signe d'une expression avec la fonction logarithme népérien
Exercice QCM
Exercice avec réponses libres
où (*) désigne la solution de l'équation
ax + b = 0.
Exercice
.
Le signe de
est donc toujours le signe du coefficient de
x2, c'est-à-dire le signe +.
.
s'annule pour
Pour tout
x différent de , le signe de
est le signe du coefficient de
x2, c'est-à-dire le signe -.
.
s'annule pour les deux nombres :
et
Les deux racines, en ordre croissant sont donc et .
On étudie ensuite séparément le signe du numérateur et le signe du dénominateur, puis on utilise la règle des signes, comme précédemment.
Si
P(x) est de degré 1 ou 2, on est donc ramené aux cas étudiés dans les § 2 et 3.
Exercice
Cette expression est strictement positive pour toutes les valeurs de
x.
La résolution de cette inéquation se fait en "débobinant" la formule construite à partir de
x.
on devra alors utiliser les formules valables pour tout
B strictement positif :
1. Pourquoi a-t-on besoin d'étudier le signe d'une expression ?
Il est donc très important, avant de commencer l'étude du signe, de bien choisir l'expression dont on va étudier le signe.
Si
f'(x) a le signe + sur un intervalle, alors
f est croissante sur cet intervalle.
Si
f'(x) a le signe - sur un intervalle, alors
f est décroissante sur cet intervalle.
Si
f(x) a le signe +, alors la courbe de
f est au dessus de l'axe des abscisses.
Si
f(x) a le signe -, alors la courbe de
f est en dessous de l'axe des abscisses.
Si
f(x) - g(x) a le signe +, alors la courbe de
f est au dessus de celle de
g.
Si
f(x) - g(x) a le signe -, alors la courbe de
f est en dessous de celle de
g.
2. Signe d'une expression de la forme ax + b
Autrement dit :
x
(*)
ax + b Signe contraire
au signe de
a 0 Signe de
a
Le coefficient de
x est -2. Il a le signe -.
Le tableau de signes de
est donc :
x
+ 0 -
3. Signe d'une expression de la forme ax2 + bx + c
=
b2 - 4ac.
< 0,
ax2 + bx + c ne s'annule jamais et garde toujours le signe de
a.
x
ax2 + bx +c Signe de
a
= 0,
ax2 + bx + c s'annule pour une valeur :
et est toujours du signe de
a en dehors de cette valeur.
x
ax2 + bx +c Signe de
a 0 Signe de
a
> 0,
ax2 + bx + c s'annule pour deux valeurs de
x:
et
.
ax2 + bx + c est du signe de
a sauf entre ces deux valeurs.
On note
x1 et
x2 ces deux valeurs, ordonnées en ordre croissant.
x
x1
x2
ax2 + bx +c Signe de
a 0 Signe contraire
au signe de
a 0 Signe de
a
On calcule donc son discriminant :
x
+
Exemple dans le cas où le discriminant est nul
On calcule donc son discriminant :
x
- 0 -
Exemple dans le cas où le discriminant est positif
On calcule donc son discriminant :
Pour
x extérieur à l'intervalle des racines, le signe de
est le signe du coefficient de
x2, c'est-à-dire le signe +.
Pour
x compris entre et , le signe de
est le signe contraire au signe de
a, c'est-à-dire -.
x
+ 0 - 0 +
Exercice
4. Signe d'une expression comportant des produits et quotients
Ceci se fait souvent sous forme de tableau.5. Signe d'une expression avec la fonction exponentielle
Signe du produit d'une exponentielle par un polynôme
Exemples
Pour tout
x, on sait que
> 0.
Donc
a le même signe que
.
On doit étudier le signe d'une expression de la forme
ax + b.
L'équation :
= 0 a comme solution
x =.
Le tableau de signes de
est donc :
x
- 0 +
Signe d'une expression de la forme
a ecx + d + b
10 e-6x -3 et
3 sont donc tous les deux strictement positifs .
10 e() + 3 est la somme de deux nombres strictement positifs .
x
10 e() + 3 +
(*** >0 pour savoir quand *** a le signe + )
-4 ex + 2 > -1
[.
ln(
4x+4) <
