Ensembles
Objectifs et conseils
Ce module est consacré à la théorie des ensembles. Nous revenons aussi sur les propriétés des applications.
Références
- F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG, Algèbre 1ère Année (Dunod), chapitre 1
- Annick Auzimour et Frédérique Petit, Travaux dirigés d'algèbre (Vuibert).
- Anne Denmat et Françis Héaulme, Algèbre générale (Dunod).
Guide
Les trois opérations de la théorie des ensembles sont
On a donc
Il est important de bien comprendre graphiquement de quoi il s'agit.
Par exemple, si on vous donne trois sous-ensembles
A,
B et
C, savez-vous reconnaître
ou
?
Jean s'occupe des livres politiques et des romans étrangers reliés ;
Pierre s'occupe des livres politiques reliés et des romans anglais,
sauf ceux qui sont
politiques ;
Henri s'occupe des livres anglais et des romans politiques non reliés.
Quels sont les livres qui sont de la compétence des trois employés ?
de deux ? d'aucun ?
Mettre le problème sous forme mathématique. On peut aussi faire un
dessin !
Démonstration
Donner un majorant de Card (
A
Donner un minorant de Card (A
Solution
Union, intersection, complémentaire
Union, intersection, complémentaire : définitions
Inclusion : Un
ensemble
E est inclus (contenu) dans un ensemble
F
si tout élément de
E est un élément de
F. Cela est noté E
F.
Ce sont les notions
essentielles dans la manipulation
d'ensembles.
F :
F
F.
F = (
E
F) - (
E
F) = (
E -
F) (
F -
E)
Il y a plusieurs niveaux. N'hésitez pas à retourner à
Intro/configuration
et à prendre plus simple ou plus compliqué...Associativité et distributivité
Il faut savoir manipuler les expressions contenant des symboles union, réunion, complémentaire. Les lois
essentielles sont
Quelques problèmes concrets
Cardinal
Cardinal
On ne considère que des ensembles finis et on note Card
A le
cardinal de
A, c'est-à-dire le nombre d'éléments de
A. La formule
fondamentale pour le calcul des cardinaux est :
B) = Card (
A ) + Card (
B) - Card (
A
B) B )= card(A) + card(B) - card(A B)
B) en fonction de
a,
b
et
n. Même question pour Card (
A
B).
B) en fonction de
a,
b
et
n. Même question pour Card (
A
B).
B) 
Inf(a+b,n) B) b B) 
a B) Sup(0,a+b-n)
B
C)
Cardinaux : exercices pratiques
Applications
Bijectivité, injectivité, surjectivité (ensembles finis)
Bijectivité sur R
dans , que peut-on dire de
l'image d'un ensemble borné, de son image réciproque ? Attention aux
pièges
!