Nombres complexes II

Objectifs

Documents

Voici les documents où vous pourrez travailler le cours.
  1. F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG, Algèbre 1ère Année (Dunod), chapitre 2
  2. A. Denmat et F. Héaulme, Algèbre générale (Dunod), TD 3 et 5

Guide

Histoire

d'Alembert est le premier à avoir énoncé, sous une forme complète, le théorème fondamental de l'algèbre, souvent nommé simplement de d'Alembert, déjà avancé par Viète et Girard mais qu'ils n'arrivèrent pas à démontrer de façon précise :
Tout polynôme d'une variable complexe, de degré n, admet n racines complexes (éventuellement égales).
(Tiré de ChronoMath )

Equations dans les nombres complexes

Racines carrées d'un nombre complexe


Exercice : Racine carrée
On désire trouver la racine carrée d'un nombre complexe donné de manière algébrique, par exemple c=210i . On cherche donc un nombre complexe z=x+iy tel que z 2=210i avec x et y appartenant à RR.
  1. On écrit ce que signifie l'équation z 2=c en termes de x et de y.
    Comme z 2=(x 2y 2)+2ixy, l'équation est équivalente au système d'équations

    {x 2y 2 =2 2xy =10

    On peut a priori résoudre à partir de ces deux équations. Mais on va en utiliser une autre qui va simplifier la résolution
  2. On traduit donc le fait que z 2=2+10i ce qui donne

    (x 2+y 2) 2=104
    x 2+y 2=104 1/210.198039.

  3. Et quand on a la valeur de x 2+y 2 et celle de x 2y 2, que voulez-vous faire d'autre que d'en déduire la valeur de x 2 et de y 2 en ajoutant et retranchant ces deux équations :

    {x 2 =(2+104 1/2)/26.0990195 y 2 =(2+104 1/2)/24.0990195

    Au fait, voyez-vous une raison a priori pour que ces valeurs soient positives ?
  4. Donc, x=±(2+104 1/2)/2 et y=±(2+104 1/2)/2
    Mais cela ferait 4 solutions !

    (2+104 1/2)/2+i(2+104 1/2)/2,(2+104 1/2)/2+i(2+104 1/2)/2
    (2+104 1/2)/2i(2+104 1/2)/2,(2+104 1/2)/2i(2+104 1/2)/2

    Ce qui en fait vraiment beaucoup trop, puisque l'équation z 2=210i a deux solutions.
  5. Cela vient du fait que l'on n'a pas raisonné par conditions équivalentes. Quelle condition n'a-t-on pas utilisée ? 2xy=10. Ainsi x et y sont de signe contraire. Donc les solutions sont

    (2+104 1/2)/2i(2+104 1/2)/2,(2+104 1/2)/2+i(2+104 1/2)/2

    et en approchant et .

Equation du second degré dans C


La résolution des équations du second degré est maintenant très simple, une fois que l'on sait trouver les racines carrées d'un nombre complexe. Par exemple, résolvons l'équation

()z 2+()z+=0

Le discriminant est Delta = () 24()()=. On calcule les racines carrées de Delta par la méthode précédente : d ou d. Les racines de l'équation sont alors


En particulier, comme dans le cas réel, l'équation a une racine "double" lorsque le discriminant Delta est nul.

Exercices sur les racines d'une équation de degré 2

Exercice : Racines d'un polynôme quadratique

Exercices sur les racines doubles

Racines et coefficients


Il est important de connaître la relation entre les racines d'une équation de degré 2 et ses racines :
Si u et v sont les racines de l'équation a x2 + b x + c=0 avec a non nul, alors


Exercice : lien entre racines et coefficients
Exercice : Que peut-on dire de la différence des racines.
Exercices : Ici, vous devez trouver le polynôme de degré 2 dont les racines sont dessinées : le polynôme à trouver est à coefficients complexes ou à coefficients réels
Profitez-en pour remarquer comment sont placées les deux racines complexes d'un polynôme à coefficients réels et faites le mélange suivant coefficients réels ou complexes

Racines cubiques et plus

Exercice : Placer les racines cubiques dans le plan complexe.

Exercice : Calculer les racines cubiques

Exercice : Placer les racines quatrièmes ou cinquièmes dans le plan complexe.

Exercice

Exercice : Calculer les racines carrées de . En déduire les valeurs de

et .

Géométrie

Nombres complexes et géométrie

Exercice : Résoudre dans CC l'équation z3 - u (1+i) z2+i u 2 z = 0 où u est un nombre complexe donné non nul. Montrer que les racines de cette équation sont les affixes des sommets d'un triangle rectangle isocèle. Aide
Une des racines est facile à trouver : c'est donc en fait une équation du second degré que vous avez à résoudre !

Exercice : Trouver l'ensemble des nombres complexes z tels que les points d'affixe

1, z et 1 + z2

soient alignés. Aide
Ecrire que est réel.

Exercice : triangle équilatéral et nombres complexes

Racines n-ièmes de l'unité

Voici les racines 9-ièmes de l'unité dans le plan complexe : avec , vous pouvez changer la valeur aléatoirement ou la choisir vous-même en haut (inférieure à 50). et interpréter ce que vous remarquez.

n = 9

Racines de l'unité

Dans les exercices suivants, n'oubliez pas que si u est une racine de l'unité d'ordre n, par exemple

,

elle vérifie la relation

Exercices sur les racines cubiques de l'unité et sur les racines cinquièmes de l'unité
Exercices sur des sommes de racines de l'unité

Pentagone

Exercice : Dans le plan complexe, on considère le pentagone régulier standard dont les sommets sont les racines cinquièmes de l'unité

1, et .

  1. Montrer que zeta, , et sont les racines du polynôme X4+X3+X2+X+1.
    Utiliser l'identité : X^5 - 1=(X-1)(X^4 + X^3 + X^2 + X + 1)
  2. On pose et . Montrer que alpha et beta sont les racines du polynôme X2 + X - 1. En déduire les valeurs de et .
    Calculer la somme \alpha + \beta et le produit \alpha \beta à l'aide de la question 1 .
  3. On trace le cercle C de centre passant par le point . Montrer que C coupe l'axe des réels aux points et . En déduire une construction du pentagone régulier à la règle et au compas. Faites-la avec le module Règles et compas et proposez votre solution dans le forum si vous participez à une classe (vous pouvez dans ce module sauver le script que vous aurez fait ).
    Ecrire l'équation de C en terme d'affixes.

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