Comment construire des sous-espaces vectoriels

Objectifs

Soit E un K-espace vectoriel. Est-ce que E possède "peu" ou "beaucoup" de sous-espaces vectoriels ? Y a-t-il toujours un sev contenant un certain nombre de vecteurs donnés ? A-t-on dans E l'équivalent des droites et plans de 3 ? A partir de deux (ou plus) sev de E peut-on en construire d'autres, par des opérations usuelles sur les ensembles, comme la réunion et l'intersection ?

Guide

Sous-espaces vectoriels engendrés

Proposition et définition : Soient E un K-espace vectoriel, p * et u 1,...,u p des vecteurs de E.
  1. L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs u 1,...,u p est un sous-espace vectoriel de E, noté Vect(u 1,...,u p) et appelé le sous-espace vectoriel de E engendré par la suite de vecteurs (u 1,...,u p) .
  2. Vect(u 1,...,u p) est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant l'ensemble des vecteurs u 1,...,u p.

Exercice :

Droites

Soit u 1E. Si u 1=0 E, Vect(u 1)={0 E}. Sinon :

Définition : Soit E un K-espace vectoriel. Une droite de E est un sous-espace vectoriel de E engendré par un vecteur non nul. Si D est une droite de E, il existe u 1E,u 10, tel que D=Vect(u 1)={tu 1,tK}:=Ku 1.

Exercice : Si D est une droite d'un K-espace vectoriel E, alors tout vecteur non nul de D engendre D.

Plans

Soient u 1 et u 2 dans E. Si u 1=u 2=0 E alors Vect(u 1,u 2)={0 E}. Si u 2=αu 1 ou u 1=βu 2, où α,βK, alors Vect(u 1,u 2) est une droite. Sinon :

Définition : Soit E un K-espace vectoriel.
  1. Deux vecteurs u 1 et u 2 de E sont dits colinéaires s'il existe αK tel que u 2=αu 1 ou s'il existe βK tel que u 1=βu 2.
  2. Un plan de E est un sous-espace vectoriel de E engendré par deux vecteurs non colinéaires.

Exercice :
  1. Les vecteurs u=(a,c) et v=(b,d) de 2 sont colinéaires si et seulement si adbc=0 (on rappelle que adbc est l'aire algébrique du parallélogramme défini par les vecteurs u et v).
  2. Montrer que si u et v sont deux vecteurs non colinéaires de 2, alors (u,v) est une suite génératrice de 2. En déduire que les seuls sous-espaces vectoriels de 2 sont {0}, 2 et les droites vectorielles.

Espaces affines

Les droites et plans que nous venons de définir sont des sous-espaces vectoriels de E, donc contiennent 0 E, ou, en langage géométrique, passent par l'origine. Parfois on le précise en disant qu'ils sont des droites et plans vectoriels . Nous appellerons droite affine ou plan affine le translaté par un vecteur fixe d'une droite ou plan vectoriels. Plus généralement :

Définition : Soit E un K-espace vectoriel. Si u 0E, la translation par le vecteur u 0 est l'application de E dans E, uu 0+u. Si V est un sous-espace vectoriel de E, on dit que u 0+V:={u 0+u,uV} est un sous-espace affine de E, dont la direction est V.

Exemples de la droite et du plan

Exemple : Si u 1 est non nul, les équations paramétriques (calP D) de la droite D=Ku 1 sont :

(E D){x 1=ta 11 x 2=ta 21 x n=ta n1tK

Exemple : Si u 1 est non nul et si u 1 et u 2 ne sont pas colinéaires, les équations paramétriques (E P) du plan P=Vect(u 1,u 2) de K n sont

(E P){x 1=ta 11+sa 12 x 2=ta 21+sa 22 x n=ta n1+sa n2t,sK

Equations paramétriques et équations cartésiennes

Nous connaissons maintenant deux façons d'obtenir un sev de K n :

L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène (S) de p équations, n inconnues et à coefficients dans K est un sev F de K n. On dit alors que (S) est un système d'équations cartésiennes de F.

Considérons p vecteurs de K n,
u 1=(a 11,...,a n1),u 2=(a 12,...,a n2),...,u p=(a 1p,...,a np).
Alors F=Vect(u 1,u 2,...,u p) est un sous-espace de K n, et les coordonnées d'un vecteur quelconque u=(x 1,...,x n) de F vérifient les équations suivantes
(E){x 1=t 1a 11+t 2a 12+...+t pa 1p x 2=t 1a 21+t 2a 22+...+t pa 2p x n=t 1a n1+t 2a n2+...+t pa np
t 1,t 2,...t p sont des scalaires dans K

On dit alors que (calP) est un système d'équations paramétriques du sous-espace F.

Passage des équations cartésiennes aux équations paramétriques

Pour passer d'un système (S) d'équations cartésiennes d'un sev F de K n à un système d'équations paramétriques de F ??
on résout le système linéaire (S), qui a p équations et n inconnues ; si (S) est de rang r, la solution générale s'écrit en fonction de nr paramètres arbitraires (les inconnues secondaires) et on obtient un système d'équations paramétriques de F comportant nr paramètres.

Pour passer d'un système (E) d'équations paramétriques d'un sev F de K n à un système d'équations cartésiennes de F ??

le système d'équations paramétriques de F fournit une suite génératrice (u 1,...,u p) de F ; soit AM np(K) la matrice dont les vecteurs colonnes sont u 1,...,u p ; soient T=(t j) 1jpM 1,p(K), X=(x i) 1inM n,1(K), on considère le système linéaire AT=X ; on échelonne le tableau complet de ce système, si on a r inconnues principales, on a nr conditions de compatibilité du système AT=X ; ces nr équations linéaires scalaires (où les inconnues sont les coordonnées x 1,x 2,...,x n du vecteur second membre X) constituent un système d'équations cartésiennes de F.

Equations cartésiennes des plans et droites affines

Proposition : Si a, b et c sont des scalaires dans K non tous nuls, alors pour tout d dans K l'équation linéaire :

ax+by+cz=d
représente un plan affine P de K 3 ; P est un plan vectoriel si et seulement si d=0.

Proposition : Si les vecteurs (a,b,c) et (a,b,c) de K 3 ne sont pas colinéaires, alors pour tous d et d dans K, l'ensemble des solutions du système linéaire :

{ax+by+cz=d ax+by+cz=d

est une droite affine D de K 3 ; D est une droite vectorielle si et seulement si d=d=0.

Hyperplans de Kn

Définition : Soient a 1,a 2,...,a n,bK, (a 1,...,a n)(0,...,0), considérons l'équation linéaire scalaire :

a 1x 1+a 2x 2++a nx n=b(1)

L'ensemble H des solutions de (2) est un sous-espace affine H de K n appelé hyperplan affine , dont (1) est une équation cartésienne et H est un hyperplan vectoriel si et seulement si b=0 (il admet alors une suite génératrice composée de n1 vecteurs).

Un hyperplan de K 2 est une droite, un hyperplan de K 3 est un plan.

Intersection, réunion et somme de sev

Proposition : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels du K-espace vectoriel E.

  1. FG est un sous-espace vectoriel de E.
  2. FG n'est pas en général un sous-espace vectoriel de E ; FG est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si FG ou GF.
  3. Le complémentaire E\F de F dans E n'est pas un sous-espace vectoriel de E.

Proposition et définition : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels du K-espace vectoriel E. On note :

F+G={u+v,uFetvG}={wEuF,vG,w=u+v}
Alors F+G est un sous-espace vectoriel de E, appelé le sous-espace somme de F et G. C'est le plus petit sous-espace de E contenant FG.

Equations de l'intersection et de la somme

Soient F et G deux sev de K n. Comment déterminer des systèmes d'équations cartésiennes ou paramétriques de FG et de F+G ?

Exemple : Intersection d'hyperplans affines

L'intersection d'hyperplans affines de K n est

L'interprétation géométrique de la résolution d'un système linéaire le montre : les lignes L 1,...,L p d'un système linéaire (S) de p équations, n inconnues et à coefficients dans K, représentent des hyperplans affines P 1,...,P p de K n. L'ensemble des solutions représente donc l'intersection P 1...P p de ces hyperplans affines. Si (S) est incompatible, l'intersection est vide, si (S) est compatible, l'intersection est un sous-espace affine de K n.

Exercices

Attention : les exercices suivants concernent surtout pour l'instant des espaces affines.

Exercices : Voici quelques exercices de changement de types d'équations :

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