Arithmétique modulaire

Guide

La première partie de ce document est une introduction de l'anneau ZZ/ nZZ à partir des congruences.
La deuxième partie met l'accent sur quelques résolutions de problèmes où l'utilisation des congruences est fondamentale ou simplement pratique. Ce document n'a aucune prétention à être complet ni même achevé. On espère qu'il peut être utile ainsi.

Définition et opérations algébriques

Définition

Une classe de congruence modulo n est un sous-ensemble de ZZ de la forme
a+n={a+nx,x}
avec a un entier. L'ensemble des classes de congruences modulo n est noté /n. On note aussi
a+nZZ = a mod n
Un entier b est appelé un représentant de la classe amodn si b et a sont congrus modulo n.


Exemple :

On choisit en général les représentants entre 0 et n1, ce qui est toujours possible.
Le reste de la division euclidienne de a par n est bien un représentant de a mod n qui est compris entre 0 et n1.

Mais il est quelquefois commode de prendre les représentants entre 12(n1) et 12(n1) et même de les prendre quelconques.
Exercice : Classes


Exemple pour plus tard : Il est quand même plus facile de calculer la puissance k-ième de la classe 515 mod 516 en utilisant le représentant de cette classe qu'est -1. Ainsi :

515 k=(1) k mod 516

515 5272=1 mod 516

Opérations

On définit les opérations algébriques d'addition, soustraction, multiplication par
(amodn)+(bmodn)=(a+bmodn)
(amodn)(bmodn)=(abmodn)
(amodn)×(bmodn)=(a×bmodn).

Mais nous écrirons souvent a+b mod n, par exemple

49 + 17 mod 99 = 66 mod 99 , 49 times 17 mod 99 = 41 mod 99
et même
49 + 17 equiv 66 mod 99 , 49 times 17 equiv 41 mod 99 .
On peut voir ici quelques tables d' addition ou de multiplication.
Théorème : ZZ/ nZZ est un anneau commutatif.

Exercices : Opérations , Carrés Somme et produit

Table d'addition




Voici la table d'addition dans ZZ/16ZZ :
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6
8 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
9 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
13 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
14 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
15 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Table de multiplication




Voici la table de multiplication dans ZZ/19ZZ :
times 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 3 5 7 9 11 13 15 17
3 0 3 6 9 12 15 18 2 5 8 11 14 17 1 4 7 10 13 16
4 0 4 8 12 16 1 5 9 13 17 2 6 10 14 18 3 7 11 15
5 0 5 10 15 1 6 11 16 2 7 12 17 3 8 13 18 4 9 14
6 0 6 12 18 5 11 17 4 10 16 3 9 15 2 8 14 1 7 13
7 0 7 14 2 9 16 4 11 18 6 13 1 8 15 3 10 17 5 12
8 0 8 16 5 13 2 10 18 7 15 4 12 1 9 17 6 14 3 11
9 0 9 18 8 17 7 16 6 15 5 14 4 13 3 12 2 11 1 10
10 0 10 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 9
11 0 11 3 14 6 17 9 1 12 4 15 7 18 10 2 13 5 16 8
12 0 12 5 17 10 3 15 8 1 13 6 18 11 4 16 9 2 14 7
13 0 13 7 1 14 8 2 15 9 3 16 10 4 17 11 5 18 12 6
14 0 14 9 4 18 13 8 3 17 12 7 2 16 11 6 1 15 10 5
15 0 15 11 7 3 18 14 10 6 2 17 13 9 5 1 16 12 8 4
16 0 16 13 10 7 4 1 17 14 11 8 5 2 18 15 12 9 6 3
17 0 17 15 13 11 9 7 5 3 1 18 16 14 12 10 8 6 4 2
18 0 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Les zéros ont été mis en rouge. Pouvez-vous comparer le nombre de zéros avec le nombre de facteurs premiers de 19 ?

Inverses et diviseurs de zéro

Existence d'un inverse pour la multiplication

Théorème : Soit un entier a premier à n. Alors a est inversible dans ZZ/ nZZ , c'est-à-dire qu'il existe b tel que
ab equiv 1 mod n .
En fait, il s'agit d'une équivalence :
Théorème : Soit un entier a. Alors a est inversible dans /n si et seulement si a est premier à n.
La démonstration donne aussi un moyen de calcul de cet inverse.
L'entier a est premier avec n si et seulement s'il existe u et v dans ZZ tels que

ua+vn=1

Donc,

Exemple : Prenons n=6 :
a = 0 0 times equiv 1 mod 6
a = 1 1 times equiv 1 mod 6
a = 2 2 times equiv 1 mod 6
a = 3 3 times equiv 1 mod 6
a = 4 4 times equiv 1 mod 6
a = 5 5 times equiv 1 mod 6

Exercice : Inverse : 1 2 3 Division : I II III

Exemples

Exemple: Prenons n=7 :
a=0 0×1mod7
a=1 1×1mod7
a=2 2×1mod7
a=3 3×1mod7
a=4 4×1mod7
a=5 5×1mod7
a=6 6×1mod7

Lorsque a n'a pas d'inverse, on voit qu'il est alors diviseur de zéro, c'est-à-dire que
a×b0modn pour un entier b.

Exemple : Pour n=12
a=0 0×0mod12 a=6 6×0mod12
a=1 1×1mod12 a=7 7×1mod12
a=2 2×0mod12 a=8 8×0mod12
a=3 3×0mod12 a=9 9×0mod12
a=4 4×0mod12 a=10 10×0mod12
a=5 5×1mod12 a=11 11×1mod12

Cas où n est premier

Théorème. Si n=p est un nombre premier, tout nombre non nul dans /p a un inverse.

Démonstration Comme p est premier, il est premier avec tout nombre qu'il ne divise pas, c'est-à-dire avec tout nombre dont la classe de congruence modulo p n'est pas nul. On applique alors le théorème.
Théorème : Soit un entier a. Alors a est inversible dans /n si et seulement si a est premier à n.

Exercices : Puissance Calcul de puissances : I II

Diviseurs de 0

Lorsque a n'a pas d'inverse, on voit qu'il est alors diviseur de zéro, c'est-à-dire que

a times b equiv 0 mod n pour un entier b.


Proposition : Dans ZZ/ nZZ, a est un diviseur de zéro si et seulement si a n'est pas premier avec n.

Démonstration.
  • Si a est diviseur de zéro, il n'est pas inversible donc d'après le théorème,
    Théorème : Soit un entier a. Alors a est inversible dans /n si et seulement si a est premier à n.
    il n'est pas premier avec n.
  • Si a n'est pas premier avec n, soit d le pgcd de a et de n. Soit b le quotient de n par d; on a

    a=da , n=db et ab=dab=na.

    Donc ab=0 mod n. La classe de b modulo n est non nulle, car b est un diviseur strict de n.
Exemple : Pour n=12
a = 0 0 times equiv 0 mod 12 a = 6 6 times equiv 0 mod 12
a = 1 1 times equiv 1 mod 12 a = 7 7 times equiv 1 mod 12
a = 2 2 times equiv 0 mod 12 a = 8 8 times equiv 0 mod 12
a = 3 3 times equiv 0 mod 12 a = 9 9 times equiv 0 mod 12
a = 4 4 times equiv 0 mod 12 a = 10 10 times equiv 0 mod 12
a = 5 5 times equiv 1 mod 12 a = 11 11 times equiv 1 mod 12

Exercice : Diviseurs de zéro 1 2 3

Résolution de quelques problèmes

Résolution de l'équation linéaire a x = b mod n

La question est de trouver tous les entiers x vérifiant l'équation

ax equiv b mod n


On peut adopter plusieurs points de vue selon qu'on est à l'aise ou non dans l'anneau ZZ/ nZZ.
Première étape :
L'équation ax equiv b mod n a une solution si et seulement si le pgcd d de a et de n divise b.

Dans ce cas, on divise l'équation par d (y compris n) et on est ramené au cas où a et n sont premiers entre eux.

Deuxième étape :


L'avantage sur la première méthode : on n'a pas besoin de demander l'existence de k tel que ... Il est caché dans le a mod n : on se souvient que a mod n signifie en fait a+n.
Exercices rapides : Equation linéaire modulaire

Exercice : Equation linéaire

Petit théorème de Fermat

Théorème Soit p un nombre premier impair. Alors pour tout entier n,
n p equiv n mod p.

On en déduit le théorème de Fermat :
Théorème : Soit p un nombre premier impair. Alors pour tout entier n premier à p,
n p1 equiv 1 mod p.

Théorème Soit p un nombre premier impair. Soit n un entier premier à p. Alors,

Par le petit théorème de Fermat, l'ensemble des entiers r strictement positifs vérifiant n r equiv 1 mod p est non vide car il contient p1. Il admet donc un plus petit élément. Notons-le r 0. Faisons la division euclidienne de p1 par r 0 : p1=qr 0+s avec s entier positif <r 0. On a
n p1 equiv (n r 0) qn s mod p
d'où
1 equiv n s mod p
Donc, par minimalité de r 0, s est soit plus grand que r 0, soit nul. Donc s est nul, et r 0 divise p1.

Résolution d'équations du type a^b=c mod n

Il faut quand même préciser qui est l'inconnue ! Cela peut être a ou b.
On prend n=p un nombre premier.
Exercice : Equation multiplicative

Exercice : Equation multiplicative II

Equation diophantienne linéaire à 3 inconnues

Soient a, b, c et d quatre entiers. On désire résoudre l'équation
ax+by+cz=d

en entiers. Les étapes de résolution peuvent être les suivantes :

Une équation diophantienne non linéaire sans solution

On désire montrer que l'équation x 2+y 3=7 n'a pas de solutions entières.
  1. Soit p un nombre premier impair. Montrer que si l'équation x 2+1 equiv 0 mod p a une solution, alors p est congru à 1 mod 4.
    Solution
    Ici, p est impair, donc p1 est divisible par 2.

    Si -1 equiv a 2 mod p, alors

    (1) 12(p1) equiv (a 2) 12(p1) equiv a p1 equiv 1 mod p.
    La dernière congruence est le petit théorème de Fermat.
    Théorème : Soit p un nombre premier impair. Alors pour tout entier n premier à p,
    n p1 equiv 1 mod p.
    Donc 12(p1) est pair, ce qui signifie que p equiv 1 mod 4.
  2. Supposons qu'il existe des entiers x et y tels que x 2+y 3=7.
    • Montrer que y est impair.
      Solution
      Si y est pair, x 2 equiv 7 mod 8, ce qui est impossible car tout carré est pair ou congru à 1 mod 8.
    • Montrer que le produit d'entiers congrus à 1 mod 4 est congru à 1 mod 4.
      Solution
      Si les nombres a 1,...,a n sont congrus à 1 mod 4, on a
      a 1...a n equiv 1 ... 1 = 1 mod 4.
    • Factoriser 8y 3 sous la forme (2y)B. Montrer qu'il existe un nombre premier p congru à 3 mod 4 divisant B. En déduire qu'il existe un nombre premier congru à 3 mod 4 et divisant x 2+1.
      Solution
      On a 8y 3=(2y)(4+2y+y 2), donc B=4+2y+y 2. Comme y est impair,
      y 2 equiv 1 mod 8, 2y equiv 2 mod 4,
      donc B est congru à 3 mod 4. D'après la question précédente, il existe un nombre premier p divisant B et congru à 3 mod 4. Comme il divise B, il divise aussi (2y)B=8y 3=x 2+1.
  3. Conclure.
    Solution
    Soit des entiers x et y tels que x 2+y 3=7. On a trouvé un nombre premier p divisant y 38 et congru à 3 mod 4. Pour ce nombre premier,
    x 2+1=8y 3 equiv 0 mod p.
    Donc 1 est un carré modulo p, ce qui est absurde, car p est congru à 3 mod 4.

Pour aller plus loin

Factorisation par la méthode de Pollard

Définition : Soit B un entier positif. Un entier n est dit B-friable si tous ses facteurs premiers sont inférieurs à B. On appelle B une base de friabilité.

Soit Q le ppcm de toutes les puissances de nombres premiers inférieurs ou égaux à B qui sont inférieurs à n. Pour qu'une puissance p r d'un nombre premier soit inférieure à B, il faut et il suffit que r soit inférieur à [ln(n)ln(q)] et on a donc

Q= qBq ln(n)/ln(q)

où le produit est pris sur tous les nombres premiers inférieurs à B.

Soit N un entier que l'on désire factoriser. On va chercher ses facteurs premiers p tels que p1 soit B-friable. Pour un tel facteur premier, p1 divise Q et par le théorème de Fermat,

Théorème : Soit p un nombre premier impair. Alors pour tout entier n premier à p,
n p1 equiv 1 mod p.
on a

a Q equiv 1 mod p

pour tout entier a premier à p et en particulier pour tout entier a premier à N (d'ailleurs si on tombe un entier a non premier avec N, on a déjà gagné).

L'algorithme consiste donc à

Des exemples

Des exemples


Prenons l'entier N= et B=35 comme base de friabilité. On part d'un entier a=. Voici le résultat des opérations :
aqsa q s mod Npgcd(a q s1,N)

document sur les classes de congruence.
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