Systèmes linéaires

Sommaire

Ce document ne saurait remplacer un cours car il ne comporte aucune démonstration. Il peut permettre de revenir sur la théorie des systèmes linéaires avec recul sans être uniquement occupé par les calculs. Réfléchir aux données avant de calculer et aux résultats après avoir calculé doit permettre de calculer plus intelligemment et d'interpréter avec pertinence les solutions.

Pour les étudiants préparant le CAPES, il propose de voir les systèmes linéaires comme une approche essentielle des sous-espaces affines : l'ensemble des solutions d'un système linéaire, s'il n'est pas vide, est un sous-espace affine de direction le sous-espace vectoriel des solutions du système homogène associé. Une solution particulière est un point de ce sous-espace affine.


Ce document mis en ligne par Marie-Claude David a pour base essentielle le résumé de cours du S2 MIAS rédigé par Myriam Déchamps. Les remarques sur les algorithmes sont dues à Karim Belabas.

Définitions et propriétés

Système linéaire

Soient p1 et n1 deux nombres entiers. On appelle système linéaire de p équations (scalaires) à n inconnues à coefficients dans un corps K un ensemble d'équations de la forme (S) :
(S){a 1,1x 1 + + a 1,nx n = b 1 a 2,1x 1 + + a 2,nx n = b 2 a p,1x 1 + + a p,nx n = b p
où :

Solution et compatibilité


Propriétés

On peut considérer chaque équation du système comme l'équation d'un hyperplan affine, l'ensemble des solutions du système est alors l'intersection des p hyperplans affines. La question de la compatiblité d'un système linéaire est donc fondamentale. Un système homogène est toujours compatible, en effet une intersection de sous-espaces vectoriels n'est jamais vide. Si le système n'est pas homogène, il représente une intersection de sous-espaces affines qui peut être vide dans le cas d'un système incompatible.

Exercices

Exercices simples de modélisation

Résolution des systèmes linéaires échelonnés

Matrice échelonnée


Une matrice A=(a i,j) 1ip,1jnM p,n(K) est dite échelonnée ou en échelons s'il existe un entier r, 1rmin(p,n) et une suite d'entiers 1j 1<j 2<<j rn tels que :

Exemple.
Considérons les matrices de M 4,n(K) :

A=(2 a 1,2 a 1,3 a 1,n 0 0 5 a 2,3 a 2,n 0 0 0 7 a 3,n 0 0 0 0 0 )B=(1 a 1,2 a 1,3 a 1,n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 2 0 0 0 )

La matrice A est échelonnée, la matrice B ne l'est pas.

Autre exemple de matrice échelonnnée :

Exercice. Cette matrice est-elle échelonnée ?

Système linéaire échelonné


Un système linéaire A X=B possédant une matrice échelonnée est dit échelonné ; l'entier r s'appelle le rang du système (ou de la matrice A du système), les inconnues sont les inconnues principales et les autres inconnues sont dites non principales ou secondaires . Enfin, les coefficients non nuls , sont les pivots du système.

Compatibilité

Exercice. Questions sur le rang et la compatibilité

Résolution

Si le système n'est pas compatible, par définition son ensemble de solutions est vide. S'il est compatible, on fait passer les inconnues secondaires dans le second membre et on les considère comme des paramètres (on a donc n-r paramètres) et on résoud le système en commençant par calculer xr dans la dernière équation et en remontant.

Bien sûr si on a l'égalité n=r, alors la solution, quand elle existe , est unique. Dans le cas particulier : r=p=n, le système est dit de Cramer, il a une et une solution.

Exercice. Inconnues principales, secondaires

En résumé, l'ensemble des solutions peut être vide (système incompatible), contenir un unique élément (système compatible et r=n) ou une infinité.

Conseils pour la résolution d'un système linéaire échelonné

On commence par déterminer r, p et n puis on dresse la liste des cas possibles :


Avant de se lancer dans des calculs, il est important d'avoir une idée sur le type possible de l'ensemble des solutions.

A la fin des calculs, on présente l'ensemble des solutions sous la forme de la somme d'une solution particulière et de l'ensemble des solutions du système homogène (présentées comme combinaison linéaire de n-r solutions indépendantes).


A vous de travailler : Résolution d'un système échelonné

Parfois, on peut trouver l'ensemble des solutions sans résoudre le système.

Méthode de Gauss

La méthode de Gauss permet d'obtenir un système linéaire échelonné (donc qu'on sait résoudre) équivalent à un système donné.

Définitions


Deux systèmes linéaires sont équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions.

Dans toute la suite, (S) est un système linéaire de p équations, n inconnues, à coefficients dans K.


On appelle tableau complet du système linéaire (S) le tableau de nombres suivant :

(à la gauche de la barre il y a les coefficients de la matrice du système, à la droite la matrice colonne du second membre)

On appelle opération élémentaire sur (S) (ou sur les lignes de son tableau complet) une des opérations suivantes :

Proposition

La méthode du pivot de Gauss de résolution d'un système linéaire (S) consiste à :

Remarques


Exercices


Exemple.

Résoudre dans le système :

Solution : Le tableau du système se transforme ainsi par les opérations élémentaires indiquées (tous les systèmes représentés par les tableaux suivants sont équivalents):

Le système est de rang 2, il est compatible puisqu'il est équivalent à un système dont le rang est égal au nombre d'équations. Les inconnues principales sont x et z. Les inconnues secondaires y et t sont des paramètres alpha et beta.
On trouve facilement une solution particulière de (S') en annulant alpha et beta : . On vérifie que s est solution de (S).
La solution générale de (S'0) est

On vérifie que et sont solutions de (S0).


La conclusion s'écrit : L'ensemble des solutions de (S) est :

Mise en oeuvre de la méthode de Gauss : Les exercices de "Gauss visuel" proposent de résoudre des systèmes linéaires par la méthode de Gauss. L'étudiant choisit les opérations élémentaires à effectuer et la machine les fait pour lui.
Analyse des solutions d'un système linéaire à paramètre : Il s'agit de répondre à des questions sur l'ensemble des solutions d'un système après l'avoir échelonné.

Utilisation des déterminants

La méthode de Gauss est la plus efficace en particulier pour la programmation mais l'utilisation des déterminants peut avoir son intérêt pour les petits systèmes ou les questions théoriques.

D'un point de vue algorithmique, la méthode de Gauss est plus générale puisque elle permet de résoudre les systèmes non carrés ou singuliers. Elle est aussi plus rapide dès que les déterminants ne se calculent pas de tête : elle résoud un système linéaire n x n en Cn3 opérations dans le corps K (additions, multiplications, divisions), pour une petite constante C. Celle de Cramer requiert le calcul de n + 1 déterminants, qu'un algorithme naïf calculera à l'aide de la ... méthode de Gauss, en Cn4 opérations donc. Par exemple pour n=50, un ordinateur qui effectue un milliard d'opérations par seconde mettra environ années pour faire le calcul avec la méthode de Cramer et seconde avec une méthode mieux adaptée. (D'après Algèbre linéaire numérique de G. Allaire et S.M.Kaber Ellipses)

Rang

Le rang r du système est aussi l'ordre des plus grands déterminants non nuls extraits de sa matrice.

On garde les notations précédentes ; quitte à changer l'ordre des équations et des inconnues, on peut supposer que le déterminant n'est pas nul. En termes de vecteurs colonnes, ceci signifie que les les vecteurs u1, u2,ldots, ur sont linéairement indépendants alors que pour j = r+1,..., n, uj est combinaison linéaire des vecteurs u1, u2, ... , ur.

Compatibilité

Le système est compatible si et seulement si le vecteur second membre b est combinaison linéaire des u1, u2,..., un. Les coefficients d'une telle combinaison forment une solution du système.

On peut traduire cette condition de plusieurs façons équivalentes : exercice

Formules de Cramer


On peut exprimer les solutions d'un système de Cramer à l'aide des formules de Cramer :
On note D le déterminant de la matrice du système (on rappelle qu'un système de Cramer est carré) et Dj le déterminant calculé en remplaçant dans D la j-ème colonne par le second membre :

L'unique solution du sytème est où sj vaut .

Ces formules peuvent être efficaces pour conserver les symétries d'un système linéaire.
Exemple
Soient a, b, c, et des réels tels que a, b et c ne soient pas nuls ensemble. Résoudre le système . (On traitera un seul cas pour chaque valeur du rang de .)


Solution Le déterminant de ce système est un déterminant de Vandermonde qui vaut D=(c-a)(c-b)(b-a).

Les autres cas se traitent de même puisque les trois paramètres jouent des rôles symétriques.

Remarque : Ces formules peuvent être utilisées pour résoudre n'importe quel système compatible, par exemple pour calculer une solution particulière. En effet on a vu que tout système linéaire compatible peut être considéré comme un système de Cramer pour peu qu'on passe les inconnues secondaires dans le second membre et qu'on les considère comme des paramètres. Une solution particulière est obtenue en annulant tous ces paramètres.

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