OEF application linéaire --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 24 exercices sur les applications linéaires.

Il comporte deux QCM présentés chacun en deux versions :

Les deux versions utilisent la même liste de questions et chaque question peut exister en plusieurs versions. Pour cette raison, ils peuvent être renouvelés plusieurs fois.

Image et noyau

Cet exercice comporte trois étapes.
Soient une base de et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est
.

1. Donnez le rang de . 2. Le rang de est . Donnez une base de l'image de . 3. Donnez une base du noyau de .

Entrez les composantes des vecteurs d'une base en colonnes séparées par des virgules.

Base de l'image

Soient une base de et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est

Donnez une base de l'image de .

Entrez les composantes des vecteurs de la base de l'image en colonnes séparées par des virgules.

Base du noyau

Soient une base de et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est

Donnez une base du noyau de .

Entrez les composantes des vecteurs de la base du noyau en colonnes séparées par des virgules.

Décomposition sur des supplémentaires

Soient une base de . On considère le plan d'équation et la droite engendrée par le vecteur . Décomposez le vecteur comme somme d'un vecteur de et d'un vecteur de .
Entrez les composantes de et dans la base .

Décomposition sur des supplémentaires (bis)

Dans , on considère les sous-espaces vectoriels

Vect et Vect .

Vérifier que et sont supplémentaires et décomposer le vecteur comme somme d'un vecteur de et d'un vecteur de .


Endomorphisme du plan

Il existe endomorphisme(s) du -espace vectoriel tel que

   et   

Endomorphisme de l'espace

Il existe endomorphisme(s) de vérifiant

,     et  

Image d'un plan

Soit l'endomorphisme de donné par

et soit le sous-espace vectoriel engendré par les deux vecteurs et .

L'image de par est . Vous avez trouvé que l'image de par est . Que signifie ce résultat ?

Image d'un plan (avec paramètres)

Soit l'endomorphisme de donné par

Pour quelles valeurs du paramètre l'application linéaire n'est-elle pas un isomorphisme ? (les réponses toujours ou jamais sont admises).

On suppose que . Soit le sous-espace vectoriel engendré par les deux vecteurs

et .

Pour quelles valeurs de , l'image de par est-elle contenue dans une droite ? (les réponses toujours ou jamais sont admises)

Vous avez répondu que l'image de par n'est jamais contenue dans une droite. Pourquoi ?

Vous avez répondu que l'image de par est toujours contenue dans une droite. Pourquoi ?

Vous avez répondu que l'image de par est contenue dans une droite si et seulement si . Pour , qu'est-ce qui est vrai parmi les affirmations suivantes?

Choisissez toujours la réponse la plus complète.

Projection vectorielle

Soient une base de . On considère le plan d'équation et la droite engendrée par le vecteur . Donner la matrice dans la base de la projection vectorielle sur parallèlement à .

Prolongement d'un endomorphisme

On considère les vecteurs de suivants :

Il existe endomorphisme(s) de qui envoi(en)t sur , sur et sur .


Noyau, Image : QCM I

Ce QCM comporte question questions . Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.

Question k : Votre réponse :

La bonne réponse :


Noyau, Image bis : QCM I

Ce QCM comporte question questions . Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.

Question k : Votre réponse :

La bonne réponse :


Noyau, Image : QCM II

Ce QCM comporte questions. Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.

Question k : Votre réponse :

La bonne réponse :


Noyau, Image bis : QCM II

Ce QCM comporte questions. Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.

Question k : Votre réponse :

La bonne réponse :


Injectivité, surjectivité : QCM I

Ce QCM comporte question questions . Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.

Question k : Votre réponse :

r[k]

La bonne réponse :


Injectivité, surjectivité bis : QCM I

Ce QCM comporte question questions . Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.

Question k : Votre réponse :

r[k]

La bonne réponse :


Injectivité, surjectivité : QCM II

Ce QCM comporte questions. Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.

Question k : Votre réponse :

r[k]

La bonne réponse :


Injectivité, surjectivité bis : QCM II

Ce QCM comporte questions. Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.

Question k : Votre réponse :

r[k]

La bonne réponse :


Linéarité : QCM I

Ce QCM comporte question questions . Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.

Question k : Votre réponse :

style="color:green;text-align:center;">
La bonne réponse :


Linéarité bis : QCM I

Ce QCM comporte question questions . Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.

Question k : Votre réponse :

style="color:green;text-align:center;">
La bonne réponse :


Linéarité : QCM II

Ce QCM comporte question questions . Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.

Question k : Votre réponse :

style="color:green;text-align:center;">
La bonne réponse :


Linéarité bis : QCM II

Ce QCM comporte question questions . Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.

Question k : Votre réponse :

style="color:green;text-align:center;">
La bonne réponse :


Symétrie vectorielle

Soient une base de . On considère le plan d'équation et la droite engendrée par le vecteur . Donner la matrice dans la base de la symétrie vectorielle par rapport à parallèlement à .

D'autres exercices sur : espaces vectoriels   algèbre linéaire  


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