OEF Systèmes linéaires et modélisation --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 25 exercices sur la modélisation de problèmes divers par l'algèbre linéaire.

Il est possible d'utiliser ces exercices dès l'introduction de l'algèbre linéaire.


A - Questions de régime

Charlotte consomme chaque jour trois sortes d'aliments A, B et C. Le tableau des quantités en grammes fournis pour 100 g d'aliments se trouve dans le tableau suivant
Quantités fournies pour 100 g d'aliments Quantités quotidiennes requises
NutrimentsABC
Protéines
Lipides
Hydrates de carbone
  1. Donner le vecteur représentant la quantité de nutriments par unité d'aliment A : en respectant l'ordre du tableau.
    =
  2. Donner le vecteur représentant la quantité de nutriments par unité d'aliment B : en respectant l'ordre du tableau.
    =
  3. Donner le vecteur représentant la quantité de nutriments par unité d'aliment C : en respectant l'ordre du tableau.
    =
  • Un régime alimentaire demande les quantités de protéines, lipides et hydrates de carbone par jour indiquées dans le tableau (les nombres sont fantaisistes ou presque). On désire calculer les quantités d'aliments A, B et C à consommer par jour pour respecter les quantités conseillés de nutriments e nombre de jours de production de chaque site (on les note , , et ).
    Ecrire l'équation vectorielle à résoudre :

    * + * + * =

  • L'équation vectorielle à résoudre est
    * + * + * =
  • Résoudre cette équation :
    Consommation conseillée de l'aliment A
    Consommation conseillée de l'aliment B
    Consommation conseillée de l'aliment C
  • Est-il possible de consommer avec ces aliments la quantité requise ?

    Carrefour I

    On a en effet

    .

    Le traffic sur les entrées et les sorties est donné dans le tableau suivant :
    u
    u
    Le traffic minimal correspondant à ce flux d'entrées et de sorties est donné par

    Déterminer les matrices et telle que et .

    * =

    + *

    Le traffic sur les entrées et les sorties est donné dans le tableau suivant à compléter
    u
    u
    Trouver la solution de traffic minimale correspondant à ce flux d'entrées et de sorties :

    =

    =

    Sur quels tronçons du carrefour to , le flux est-il nul ?

    ( donner les numéros )
    En fait, le flux sur le tronçon de vers est égal à . Donner toutes les valeurs du traffic sur le rond-point.

    =

    =


    Carrefour II

    Les flux d'entrée et sortie (les et ) s'expriment linéairement en fonction des flux de circulation sur le carrefour (les et ) : soit la matrice correspondante.

    Vous avez dû constater un certain nombre de faits. Mettez-les en correspondance avec leur interprétation en algèbre linéaire :


    A - Centrale thermique

    Une centrale thermique brûle deux types de combustibles A et B. Lorsqu'elle brûle 1 tonne de A, elle produit milliards de joules, g de dioxyde de soufre et g de matières polluantes. Lorsqu'elle brûle 1 tonne de B, elle produit milliards de joules, g de dioxyde de soufre et g d'autres matières polluantes.
    1. Quelle quantité de chaleur produit-elle quand elle consomme x tonnes de A et y tonnes de B ?
    2. On met dans un vecteur les quantités de chaleur, de dioxyde de soufre et de matières polluantes dégagés par la centrale.
      Ecrire ce vecteur comme une combinaison linéaire de deux vecteurs lorsque la centrale consomme tonnes de A et tonnes de B.
      * + *
    3. Le vecteur des quantités de chaleur, de dioxyde de soufre et de matières polluantes dégagés par la centrale est égal
      + *
      lorsque la centrale consomme tonnes de A et tonnes de B.
    4. On suppose que sur une certaine période de temps, la centrale a produit milliards de joules, g de dioxyde de soufre.
      Déterminez la quantité de chaque type de combustible qu'elle a consommé.
      combustible A
      combustible B
      Combien de g de matières polluantes a-t-elle produit ?

    B - Couleur

    Dans le système RGB, une couleur est représentée par trois nombres entiers entre 0 et 255 représentant l'intensité respective du rouge, du vert et du bleu.

    Dans le petit damier à droite, l'intensité des couleurs vert et bleu rouge et bleu rouge et vert est la même pour tous les carrés. Par contre celle du varie. Ainsi, les couleurs sont de la forme ( [N,] [, N] [, N, ] ).

    L'intensité du des petits carrés du bord est indiquée. Calculer l'intensité de des carrés du milieu de manière à ce que chacune soit la moyenne de l'intensité des carrés dont le centre est le plus proche.

    Approchez le résultat par des entiers.

    Circuits électriques linéaires: calculs

    Le dessin représente un circuit électrique formé de "boîtes" représentant un type de circuit avec une entrée et une sortie. La tension et l'intensité sont enregistrés à l'entrée dans le vecteur et à la sortie dans le vecteur . Le circuit est linéaire : il existe une matrice appelée matrice de transfert telle que = A .

    Calculer la matrice de transfert totale (la valeur des résistances est indiquée en vert)


    Circuits électriques linéaires

    Le dessin représente un circuit électrique formé de "boîtes" représentant un type de circuit avec une entrée et une sortie. La tension et l'intensité sont enregistrés à l'entrée dans le vecteur et à la sortie dans le vecteur . Le circuit est linéaire : il existe une matrice appelée matrice de transfert telle que = A .

    Exprimer la matrice de transfert totale en fonction des matrices de transfert de chacun des boîtes :


    Circuits électriques linéaires à trouver

    Le dessin représente un circuit électrique formé de "boîtes" représentant un type de circuit avec une entrée et une sortie. La tension et l'intensité sont enregistrés à l'entrée dans le vecteur et à la sortie dans le vecteur . Le circuit est linéaire : il existe une matrice appelée matrice de transfert telle que = A . On désire construire un circuit en échelle de matrice de transfert

    .

    Composez le circuit avec le moins d'éléments possibles. Vous aurez ensuite à donner les valeurs des résistances convenables.

    Donner les valeurs des résistances qui conviennent


    Interpolation de Lagrange I (3 points)

    On désire interpoler ces points par une fonction continue, c'est-à-dire trouver une fonction donnant la masse volumique en fonction de la température.

    1. Interpolation par des segments de droite. On commence par relier les points par des segments.
      Donner les expressions de la fonction d'interpolation dans les deux intervalles
      sur l'intervalle [,]
      sur l'intervalle [,]
    2. Interpolation de Lagrange. On préférerait avoir une courbe plus lisse, c'est-à-dire par exemple dérivable. Pour cela, on interpole les points à l'aide d'une fonction polynôme sur l'intervalle [0,].
      De quel degré doit-on la prendre ? .
      Ecrire le système linéaire que vérifient les coefficients de .
      1. Condition au premier point : = 0
      2. Condition au deuxième point : = 0
      3. Condition au troisième point : = 0
      La matrice du système est en effet .

      Résoudre le système et donner le polynôme solution :


    Interpolation de Lagrange II (3 points)

    Donner la valeur de la masse volumique en
    1. si on interpole par des segments de droite (interpolation linéaire) :
    2. si on interpole par un polynôme (interpolation polynomiale de Lagrange)

    Interpolation de Lagrange I (4 points)

    Temps
    Vitesse
    1. Interpolation par des segments de droite : On commence par relier les points par des segments.
      Donner les expressions de la fonction d'interpolation dans les trois intervalles
      sur l'intervalle [,]
      sur l'intervalle [,]
      sur l'intervalle [,]
    2. Interpolation de Lagrange : On préférerait avoir une courbe plus lisse, c'est-à-dire par exemple dérivable. Pour cela, on interpole les points à l'aide d'une fonction polynôme sur l'intervalle [0,].
      De quel degré doit-on la prendre ? .
      Ecrire le système linéaire que vérifient les coefficients de .
      1. Condition au premier point : = 0
      2. Condition au deuxième point : = 0
      3. Condition au troisième point : = 0
      4. Condition au quatrième point : = 0

      La matrice du système est en effet .

      Résoudre le système et donner le polynôme solution :


    Interpolation de Lagrange II (4 points)

    Temps
    Vitesse
    Donner la valeur de la vitesse en
    1. si on interpole par des segments de droite (interpolation linéaire) :
    2. si on interpole par un polynôme (interpolation polynomiale de Lagrange)

    Economie 1

    L'économie d'un pays est divisée en plusieurs secteurs. On s'intéresse aux flux de sortie de chaque secteur ainsi que les flux d'échanges entre secteurs. Chaque entrée ou sortie se compte en une unité monétaire. On cherche s'il existe un prix d'équilibre à attribuer à chaque sortie totale de chaque secteur de manière à ce que la recette de chaque secteur compense exactement ses dépenses.

    Le pays choisi est très simple car il a une économie à 3 secteurs A, B et C. Le secteur A vend % de sa production au secteur B, % au secteur C et utilise le reste. Le secteur B vend % de sa production au secteur A, % au secteur C et utilise le reste. Le secteur C vend % de sa production au secteur A, % au secteur B et utilise le reste.

    Construire le tableau des échanges entre les trois secteurs.

    Distribution des sorties de Vers
    ABC
    A
    B
    C
    Ecrire la matrice du système linéaire qui a comme solution les prix tels que les recettes de chaque secteur compensent les dépenses.

    On fixe le prix de la sortie du secteur à unités. Donner les prix des sorties d'équilibre des secteurs et .

    Lettres : trouver la matrice

    Ecrire la matrice de l'application linéaire qui transforme la lettre de gauche en la lettre de droite (séparer les éléments d'une ligne par des virgules)


    Lettres : trouver l'image

    Ecrire la matrice des vecteurs colonnes représentant les points (dans l'ordre indiqué) permettant de dessiner la lettre suivante (séparer les éléments d'une ligne par des virgules)

    La matrice des vecteurs colonnes représentant les points permettant de dessiner la lettre suivante est

    On applique à la lettre l'application linéaire de matrice . Ecrire la matrice des vecteurs colonnes transformés


    Lettres modifiées et matrices

    On a appliqué au dessin de la lettre trois applications linéaires.

    Vous devez mettre en correspondance les matrices et le résultat

    Des matrices aux vecteurs

    On désire écrire l'équation matricielle suivante

    sous forme symbolique comme équation vectorielle : avec .
    Le nombre de vecteurs est
    On a =  + j
    Consignes : on écrira les vecteurs dans l'ordre où ils se présentent.

    A - Problèmes de production

    1. Donner le vecteur représentant la production du site 1 en respectant l'ordre de l'énoncé.
      =
    2. Donner le vecteur représentant la production du site 2 en respectant l'ordre de l'énoncé.
      =
    3. Le vecteur représente la production du site en jours
    4. On désire calculer le nombre de jours de production de chaque site (notés et ) pour produire exactement tonnes de produit A et tonnes de produit B.
      Ecrire l'équation vectorielle
      * + * =
      dont la solution est le nombre de jours de production nécessaires pour le site 1 et pour le site 2 pour cette demande.
    5. Résoudre l'équation vectorielle :
      revient à calculer le nombre de jours de production nécessaires pour le site 1 et pour le site 2 pour pouvoir satisfaire la demande.

      Nombre de jours pour le site 1 :

      Nombre de jours pour le site 2 :


    Interpolation par spline cubique (I)

    Temps
    Vitesse0
    Ecrire les coefficients du système linéaire que vérifient les coefficients des deux polynômes cubiques , .
    1. Condition au premier point :
    2. Condition au deuxième point (à gauche) :
    3. Condition au deuxième point (à droite) :
    4. Condition au troisième point (à gauche) :
    1. Dérivabilité au deuxième point :
    1. Dérivabilité seconde au deuxième point :
    1. Dérivée seconde nulle au premier point :
    2. Dérivabilité nulle au troisième point :
    La matrice du système est en effet
    	 
    	
    Résoudre le système et donner les polynômes solution :


    Interpolation par spline cubique (II)

    Temps
    Vitesse
    Ecrire les coefficients du système linéaire que vérifient les coefficients des trois polynômes cubiques , , .
    1. Condition au premier point :
    2. Condition au deuxième point (à gauche) :
    3. Condition au deuxième point (à droite) :
    4. Condition au troisième point (à gauche) :
    5. Condition au troisième point (à droite) :
    6. Condition au quatrième point (à gauche) :
    1. Dérivabilité au deuxième point :
    2. Dérivabilité au troisième point :
    1. Dérivabilité seconde au deuxième point :
    2. Dérivabilité seconde au troisième point :
    1. Dérivée seconde nulle au premier point :
    2. Dérivabilité nulle au quatrième point :
    La matrice du système est en effet
    	 
    	
    Résoudre le système et donner les polynômes solution :


    Interpolation par des splines cubiques

    Vous devez appliquer la méthode d'interpolation des splines cubiques à points. Combien d'indéterminées avez-vous et combien de conditions devez-vous écrire ?
    Nombre d'indéterminées
    Conditions d'ordre 0 (valeurs de la fonction)
    Conditions d'ordre 1 (dérivées)
    Conditions d'ordre 2 (dérivées secondes)

    Il reste conditions à rajouter pour avoir un système linéaire ayant autant d'équations que d'inconnues.


    Interpolation : Comparaison (I)

    Temps
    Vitesse0
    Donner la vitesse en si l'on utilise une Pour l'interpolation par des splines, on imposera la dérivée seconde nulle aux extrémités.


    Interpolation : Comparaison (II)

    Temps
    Vitesse
    Donner la vitesse en si l'on utilise une Pour l'interpolation par des splines, on imposera la dérivée seconde nulle aux extrémités.


    Des vecteurs aux matrices

    Ecrire l'équation vectorielle :

    =   +

    sous forme d'une équation matricielle

    = times

    Consignes : on écrira les vecteurs dans l'ordre où ils se présentent.

    B - Températures

    On considère le problème de transfert thermique suivant : les conditions de température aux bords d'une plaque mince sont fixées et on désire déterminer la température d'équilibre. A l'équilibre, la température en un point est la moyenne des températures sur un cercle de centre contenu dans la plaque.

    Pour simplifier, on a discrétisé le problème en introduisant un maillage comme sur le dessin et on ne regarde la température qu'aux noeuds. On admet alors qu'en état d'équilibre thermique, la température en un noeud est (à peu près) la moyenne des températures aux quatre noeuds les plus proches. Calculer le vecteur des températures

    =


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