Changement de variables

Objectifs

La méthode du changement de variable est très utile pour le calcul d'intégrale ou de primitive ; elle peut conduire à des erreurs si elle n'est pas appliquée avec soin. On peut aussi se compliquer la vie inutilement si on l'applique de travers.

Guide

Le théorème

Théorème : Soit varphi une fonction réelle de classe C 1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle φ([a,b]). On a l'égalité :
a b(fφ)(t)φ(t)dt= φ(a) φ(b)f(u)du.

Cas où le changement de variables est évident

On doit calculer a bh(x)dx ; on voit que x apparaît toujours par l'intermédiaire d'une expression plus complexe φ(x) et de sa dérivée φ(x) :
a bh(x)dx= a b(fφ)(x)φ(x)dx,
on fait alors le changement de variable u=φ(x) : On applique à la fonction f le théorème.
Soit varphi une fonction réelle de classe C 1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle φ([a,b]). On a l'égalité :
a bf(φ(x))φ(x)dx= φ(a) φ(b)f(u)du

Concrètement, on vérifie que la fonction varphi est C 1 sur [a,b] et on remplace

φ(x)par u
φ(x)dx   par   du
les bornes a et b   par    φ(a) et φ(b).

On obtient ainsi une nouvelle intégrale égale à l'intégrale a bh(x)dt.

Remarque : Quand x vaut a, la nouvelle variable u=φ(x) vaut φ(a)...

Exemple

Exemple

Pour voir le théorème en même temps.

Soit varphi une fonction réelle de classe C 1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle φ([a,b]). On a l'égalité :
a bf(φ(x))φ(x)dx= φ(a) φ(b)f(u)du

Calculons I= 4 5 dx. La fonction à intégrer est de la forme f(x 4) où est la dérivée de φ(x)=x 4 et où f est la fonction définie par f(u)=u 3. On fait donc le changement de variable u=x 4 :

On obtient donc :

I= 4 4 5 4u 3du=[] 4 4 5 4=0.

Cas où le changement de variables n'est pas évident

On peut aussi utiliser la formule du théorème
Soit varphi une fonction réelle de classe C 1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle φ([a,b]). On a l'égalité :
a bf(φ(t))φ(t)dt= φ(a) φ(b)f(x)dx
de la droite vers la gauche. Pour calculer α βf(x)dxf est une fonction continue sur [α,β], on a envie de poser x=φ(t).

Contrairement à ce qu'il est souvent écrit, on n'a pas besoin de définir la fonction réciproque de varphi. Par contre, il est essentiel de trouver un intervalle [a,b] tel que

On peut alors appliquer le théorème

Soit varphi une fonction réelle de classe C 1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle φ([a,b]). On a l'égalité :
a bf(φ(t))φ(t)dt= φ(a) φ(b)f(x)dx
pour faire le changement de variable x=φ(t) :
α βf(x)dx= a b(fφ)(t)φ(t)dt.

Concrètement, une fois choisie la fonction varphi :

On obtient ainsi une nouvelle intégrale égale à l'intégrale α βf(x)dx.

Remarque :

Exemple typique Exercices corrigés

Exemple typique

Pour voir le théorème.
Soit varphi une fonction réelle de classe C 1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle φ([a,b]). On a l'égalité :
a bf(φ(t))φ(t)dt= φ(a) φ(b)f(x)dx

On veut calculer l'intégrale I= 1 11x 2dx. On a envie de poser x=cos(t) et de prendre comme fonction varphi la fonction définie par φ(t)=cos(t) sur un intervalle à déterminer.

On dit ici que l'on fait le changement de variables x=cos(t) pour t compris entre 0 et π. Il ne reste plus qu'à finir les calculs.

Sur l'intervalle [0,pi], la fonction sin est positive, on a donc :

I= 0 πsin 2(t)dt= 0 π12(1cos(2t))dt=pi2.

Remarquons que si on avait pris les bornes saugrenues a=7π et b=6π, la fonction sin n'aurait pas été positive entre 7π et 6π et le calcul aurait été moins simple !

Exercices corrigés

Exercice : Vous voulez calculer l'intégrale I= 0 11x 2dx. Le théorème justifie-t-il le changement de variables x=cos(t) pour t compris entre 0 et 52π ? Que vaut l'intégrale transformée ?

Solution

Oui, le théorème s'applique :
  • la fonction définie sur l'intervalle [ 0,52π] par φ(t)=cos(t) est C 1.
  • Son image est contenue dans l'intervalle [-1,1]. On a
    cos(52π)=0 , cos(0)=1
  • La fonction f définie sur [-1,1] par f(x)=1x 2 est continue sur [-1,1].
L'intégrale I est égale à
52π 01cos(t) 2(sin(t))dt

Bien que correct, le choix de cet intervalle est tout à fait déconseillé car la suite des calculs serait très compliquée puisqu'il faudrait séparer en intervalles où sin est de signe constant pour calculer sin(t)=1cos(t) 2.

Exercice : Soit I= 0 πdx2+cosx. Le théorème justifie-t-il le changement de variables x=Arctan(2t) ? Que choisirez-vous pour les bornes a et b de la nouvelle intégrale ?

Solution

Non, je ne peux pas trouver de nombres a et b vérifiant les deux conditions suivantes
  • Arctan(a)=0,Arctan(b)=π
  • la fonction xArctan(2x) est définie et C 1 sur l'intervalle [a,b] (ou [b,a]).

Par contre en transformant astucieusement, on peut utiliser dans ce cas le changement de variable dit évident ou conseillé, c'est-à-dire transformer 1/(2+cos(x)) par les formules de trigonométrie jusqu'à tomber sur une expression de la forme 1/(2+cos(x))=h(tg(x/2))tg(x/2). Sur quel intervalle peut-on alors prendre comme fonction varphi la fonction donnée par φ(x)=tg(x/2) ?

Changement de variables dans une primitive

Pour le calcul de la primitive F(x)= a xf(u)du sur l'intervalle [c,d] (avec a[c,d]), on applique le changement de variable u=φ(t) si on peut

Pour remplir ces conditions, on est donc amené à choisir un changement de variable varphi bijectif sur [c,d] afin de pouvoir considérer la fonction réciproque psi de varphi sur φ 1([c,d]).

Concrètement,

La primitive F est alors définie sur [c,d] et on a en tout point x de [c,d]

F(x)= a xf(u)du= ψ(a) ψ(x)(fφ(t))φ(t)dt

Exemple :
F(x)= 0 x1u 2du(x[1,1])
Le changement de variable u=cos(t) appliqué à t compris entre 12π et Arccos(x) donne (par définition de Arccos, sin(t) est toujours positif ou nul pour t compris entre 12π et Arccos(x)) :
F(x)= π/2 Arccos(x)sin 2(t)dt= Arccos(x) π/212(1cos(2t))dt
F(x)=12(π/2Arccos(x)+sin(2Arccos(x))2)

F(x)=12(π/2Arccos(x)+sin(Arccos(x))cos(Arccos(x)))
F(x)=π412Arccos(x)+x21x 2

Exercices interactifs

Exercice : Dérivation d'une intégrale fonction des bornes

Exercice : Intégration interactive : changement de variables

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