Dérivées

Objectifs

Documents


  1. F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG, Analyse 1ère Année (Dunod), chapitres 6, 7.
  2. I. Stewart, Analyse, concepts et contextes,volume 1, DeBoeck Université, 2001), chapitre 2, §2.6-§2.10, chapitre 3 et 4 L'accent est mis sur des situations "réelles" où intervient la notion de dérivée et beaucoup d'exercices mettent en avant un problème de modélisation en rapport avec les notions mathématiques.

Guide

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente

Taux de variation :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de RR à valeurs réelles. Le taux de variation (ou taux d'accroissement) de f entre les points a et b distincts de I est le quotient
f(b)f(a)ba.

Le coefficient directeur de la droite passant par les points de coordonnées M=(a,f(a)) et N=(b,f(b)) avec a différent de b est égale à f(b)f(a)ba, c'est-à-dire au taux de variation de f entre a et b.

Nombre dérivé :

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle fermé I et a un réel dans I. Le nombre dérivé de f en a est la limite, si elle existe, du taux de variation de f entre a et a+h lorsque h tend vers 0 (avec a+h appartenant à I On le note f(a) :
f(a)=lim h0f(a+h)f(a)h=lim xaf(x)f(a)xa
Lorsque f(a) existe, la tangente à la courbe en un point est la droite passant par le point M 0=(a,f(a)) et de coefficient directeur f(a). C'est donc aussi la "limite" de la droite M 0M pour M un point sur la courbe représentative du graphe de f tendant vers M 0 dans un sens "naturel". ( dessin (certaines fonctions sont "plus jolies" que d'autres !)
La droite jaune est la tangente au point M 0=(2,0.2) à la courbe d'équation y=f(x) avec f(x)=11+x 2. Elle est de pente f(2). C'est aussi la "limite" de la droite rouge M 0M pour M=(2+h,f(2+h)) un point sur la courbe représentative du graphe de f tendant vers M 0.

Cependant, la courbe suivante a une tangente en un point et est le graphe d'une fonction n'admettant pas de nombre dérivé en ce point. )

Dessins

(certaines fonctions sont "plus jolies" que d'autres !)
La droite jaune est la tangente au point M 0=(0.5,0.89442719) à la courbe d'équation y=f(x) avec f(x)=(1+x 2) 12. Elle est de pente f(0.5). C'est aussi la "limite" de la droite rouge M 0M pour M=(0.5+h,f(0.5+h)) un point sur la courbe représentative du graphe de f tendant vers M 0.

Cependant, la courbe suivante a une tangente en un point et est le graphe d'une fonction n'admettant pas de nombre dérivé en ce point.

Tangente verticale

Exercices sur les tangentes

Exercices sur le calcul des tangentes (révisions)
Trouver la tangente à une courbe
Trouver la valeur de certains paramètres pour qu'une courbe dépendant de paramètres admette une tangente donnée

Vocabulaire physique

Les mots suivants désignent en fait des taux de variation ou des dérivées de fonctions "naturelles".
En physique ou ailleurs, l'adjectif instantané évoque une dérivée au sens mathématique du terme, alors que l'adjectif moyen évoque plutôt un taux de variation entre deux points: par exemple, le taux de variation instantané est un exemple de ce qu'on appelle en mathématiques la dérivée.
Voilà un peu de vocabulaire.
Fonction Variable Taux de variation Dérivée
distance parcourue en fonction du temps vitesse moyenne vitesse ou vitesse instantanée
volume en fonction du temps débit moyen débit (instantané)
masse d'une tige en fonction de la longueur densité linéique moyenne densité linéique
masse d'une plaque en fonction de la surface densité surfacique moyenne densité surfacique
charge électrique
en fonction du temps courant électrique moyen courant instantané
coût de production
en fonction de la quantité fabriquée   coût marginal
taille d'une population en fonction du temps taux d'accroissement moyen taux d'accroissement instantané

Dérivée à droite, dérivée à gauche

Une définition un peu plus fine du nombre dérivé est de définir le nombre dérivé à droite et le nombre dérivé à gauche. L'utilité de cette notion est visible sur les dessins tout simples suivants
Ces fonctions dont le graphe est dessiné à côté sont continues. Le nombre dérivé existe en -1 si on restreint la fonction à x1 (c'est ce qu'on appelle le nombre dérivé à droite ou la dérivée à droite), il existe en -1 si on restreint la fonction à x1 (c'est ce qu'on appelle le nombre dérivé à gauche ou la dérivée à gauche ). Mais la dérivée n'existe pas en -1.


Exemples

Fonction dérivée

Si une fonction f est dérivable en tout point d'un intervalle ]a,b[ la fonction qui à un réel x de ]a,b[ associe le nombre dérivé de f en x est appelée la fonction dérivée de f. On la note f. Si f est elle-même dérivable, on note f sa dérivée, puis f (3), etc...

Graphe de la dérivée.

Il est important de savoir interpréter le graphe de la fonction dérivée en lien avec le graphe de la fonction. Les théorèmes seront revus plus tard et surtout démontrés. Pour l'instant, utilisez les connaissances que vous avez acquises en terminale ou dans le livre de Stewart, section 2.10, p. 175-177.
Le graphe de la fonction f définie par f(x)= est en vert, le graphe de sa dérivée en bleu et le graphe de sa dérivée seconde en rouge.
Pour le deviner, plusieurs choses à regarder :



Exercices :

Produit, quotient et composé

Cours : Calcul de la dérivée d'un produit, d'un quotient et d'un composé de fonctions
Des exemples progressifs et détaillés sont donnés dans le livre de Stewart, volume 1, §3.2, p. 201 (fonctions produits et quotients), §3.5, p. 227 (fonctions composées).

Exercices sur

Exercices : domaine de dérivabilité

Exercice : Pour chacune des fonctions suivantes, donner le domaine de définition de la fonction, calculer la dérivée et donner le domaine de définition de la dérivée.
  1. f 1(x)=3x 2+7x+4/(x1)
    Solution
    f 1(x)=3x 2+7x+4/(x1) :
    Comme 3x 2+7x+4=(3x+4)(x+1), le domaine de définition de f 1 est
    D f 1=];43][1;1[]1;+[.
    La fonction racine carrée xx n'est pas dérivable (à droite) en 0. Aussi, la fonction x3x 2+7x+4 n'est pas dérivable en -4/3 et en -1 et le domaine de définition de f 1 est
    ];43[]1;1[]1;+[.
    Pour x dans ce domaine,
    f 1(x)=13x152(x1) 23x 2+7x+4.
  2. f 2(x)=(cos 4x+sin 4x) 3/4
    Solution
    f 2(x)=(cos 4x+sin 4x) 3/4
    Puisque (cos 4x+sin 4x)>0 pour tout x, la fonction f 2 et et sa dérivée sont définies sur tout RR. On peut dériver f 2 en la mettant d'abord sous la forme f 2(x)=(1sin 22x2) 34, ce qui donne
    f 2(x)=32(1sin 22x2) 14sin2xcos2x.
  3. f 3(x)=x(x+1)/x 4+x 2+1
    Solution
    f 3(x)=x(x+1)/x 4+x 2+1
    Comme x 4+x 2+1 ne s'annule pas sur RR,
    D f 3=.
    Par contre, la fonction valeur absolue xx n'est pas dérivable en 0. L'expression x 4+x 2+1 n'est jamais nulle sur RR mais ce n'est pas le cas de x(x+1). Le domaine de définition de f 3 est
    D f 3=];1[]1;0[]0;+[.

    Pour x dans ];1[]0;+[,
    f 3(x)=2x 53x 4x 2+2x+1(x 4+x 2+1) 2.

    Pour x dans ]1;0[,
    f 3(x)=2x 5+3x 4+x 22x1(x 4+x 2+1) 2.
  4. f 4(x)=ln(1+sin(x)1sin(x))
    Solution
    Le logarithme est défini, continu et dérivable sur +*. Donc f 4 est défini, continu et dérivable en tout réel x tel que 1sin(x) soit non nul et tel que (1+sin(x))/(1sin(x)) soit strictement positif :
    D f 4=D f 4={π/2+kπ;k}.
    Pour xD f 4, f 4(x)=2/cosx .

Dérivabilité et ordre de dérivabilité

Exercices :

Exercices : Recollement de fonctions

Questions sur la continuité de la dérivée

Un exercice sur le cosinus

Exercice : Montrer que les fonctions sinus et cosinus (définies géométriquement au lycée) sont dérivables en utilisant le résultat fondamental lim x0sin(x)x=1.
Aide
Utiliser les formules de trigonométrie, par exemple, cosacosb=2sin(ab2)sin(a+b2).

Solution
Si a est un réel fixé nous devons calculer lim xacos(x)cos(a)xa. En utilisant la formule :
cospcosq=2sin(pq2)sin(p+q2)
on obtient :
cos(x)cos(a)xa=2sin(xa2)sin(x+a2)xa.
Ce qui nous permet d'écrire :
lim xacos(x)cos(a)xa=lim xa2sin(xa2)sin(x+a2)xa
=lim xa2sin(xa2)xasin(x+a2)
Donc,
lim xacos(x)cos(a)xa=sina
puisque lim xa2sin(xa2)xa=1.

Utilisation des dérivées pour calculer des limites

Quelques limites qui sont en fait des limites de taux d'accroissement peuvent se calculer en utilisant les dérivées classiques.
Exercice : Calculer les limites suivantes :
  1. lim xπ/3(cos(x)1/2)/(xπ/3)
    32
  2. lim x0(1+x+x 21)/(x+sin(x))
    Mettre l'expression sous la forme du quotient de deux taux d'accroissements.

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document d'introduction à la dérivée.
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