Inégalités

Objectifs

Majorer, minorer, encadrer, voici les techniques de base de l'analyse et ce module a pour but de vous entraîner à ces techniques. Il propose aussi une première approche de la définition de la limite.

Guide

Inéquations

Encadrements

Cours : La manipulation des inéqualités est l'occasion de nombreuses erreurs. Ces manipulations s'appuient sur les propriétés de l'ordre de RR .

Exercices : Ces trois exercices proposent d'encadrer des expressions en x et y connaissant un encadrement des nombres réels x et y.
  1. Encadrement 1
  2. Encadrement 2
  3. Zone d'inégalité

Inéquations : Exercices

Exercice : Sans étude de fonctions mais en utilisant les propriétés de l'ordre de RR, résoudre les inéquations suivantes :

Inéquations : Exercices

Exercice : Résoudre les inéquations :
  1. x 25x+4>2x1
  2. x 25x+4>2(x1)

La racine carrée est-elle définie ?

Solution
  1. S=]0,1[]1,85[
  2. S=],1[.

Exercices de déduction d'inégalités simples

Les exercices qui suivent demandent de montrer des choses simples mais obligent à décomposer en étapes et à réfléchir à chaque instant aux méthodes que l'on utilise et qui doivent ensuite être utilisées "sans réfléchir".
Exercices de déduction (I):

Exercices de déduction (II) : Un pot pourri d'inégalités à résoudre

Exercices de déduction (III) : Borner une fraction

Implication entre inégalités

Quel est le problème ?

Jusqu'à maintenant, vous avez dû résoudre des inéquations, c'est-à- dire chercher tous les x vérifiant une inégalité par exemple : x 243. L'ensemble des solutions est [7;1][1;7].
Dorénavant, vous allez devoir vérifier qu'une condition sur x est suffisante pour obtenir un certain encadrement d'une fonction, par exemple : L'implication suivante est-elle vraie ?

x20,5x 243

La condition x20,5 signifie que x est compris entre 1,5 et 2,5 et implique que x+2 est majoré par 4,5, on peut donc écrire.

x 24x+2x24,5×0,53.


Quelles sont les méthodes ?

Considérons une fonction numérique f d'une variable x, par exemple

f(x)=x 2+2xexp(x)9xsinx4

Que peut-on dire des variations de f si x varie dans un intervalle donné I par exemple [1;3] ? On peut évidemment faire une étude complète de la fonction mais souvent une estimation suffit.

Dans notre exemple, f se présente comme une fraction : pour majorer f, nous allons
En conclusion, sur [1;3], on peut dire que la fonction est majorée par 24 et même par 6 si on a été plus courageux.

Exercices

Exercice : Démontrer les implications suivantes :
  1. x11x 2sinx2xx 264.

    Solution
    Par hypothèse le réel x est dans l'intervalle [0;2], l'inégalité triangulaire nous permet de majorer le numérateur :

    x 2sinx2x=xxsinx2<x(x+2)8

    D'autre part le dénominateur x 26 vaut 6x 2 dans l'intervalle considéré donc est minoré par 2.

  2. x16x 2exp(x)x 620x 212.


    Solution
    Quand x est positif, exp (x) est positif et majoré par 1. Quand x est supérieur à 16 alors x 620x 2 est strictement positif et minoré par x 6. On obtient donc

    x16x 2exp(x)x 620x 2x 412.

  3. x21x 24xcos(x2)5x1.


    Solution
    Par hypothèse, x2 est compris entre 1 et 1 donc cos(x2) est positif et minoré par cos1 (la fonction cosinus est paire de plus elle est décroissante entre 0 et 1) alors que x est minoré par 1. On obtient donc

    x21x 24xcos(x2)x+4x4cos1 7x1cos1 5x1.

Approche de la limite

Approche de la définition de la limite

Question : Dans quel intervalle autour de a puis-je remplacer f(x) par f(a) sans commettre une erreur supérieure à epsilon ? Par exemple, dans quel voisinage de 14, est-on sûr de pouvoir remplacer 1x par 2 en commettant une erreur Delta inférieure à ε=10 3 ?

Prenons f(x)=1x et transformons la différence en valeur absolue de f(x) et de f(14) :

1x2=12xx=14x(1+2x)x=414x(1+2x)x

Maintenant nous allons majorer K(x)=41(1+2x)x par une constante sur un intervalle plus petit contenu dans ]0;+[.

Calcul de l'erreur

D'une part 1+2x est minoré par 1, d'autre part si x est supérieur à 116 alors 1x est inférieur à 4, donc pour tout x supérieur à 116,

K(x)=41(1+2x)x est majoré par 1614x.


Si x vérifie 14x<10 316, x vérifie aussi x116, La majoration est donc valide et nous avons montré l'implication suivante :

14x10 316 1x210 3.


En résumé, si on choisit x entre 1410 316 et 14+10 316, on peut dire que 1x vaut 2 à 10-3 près ou que l'erreur est au plus de 10-3.
Le travail central ici est le travail de majoration, en effet ensuite la détermination de l'intervalle est immédiate. Nous pouvons utiliser ce travail de majoration pour affirmer :

ε>0, α>0,14xα 1x2ε.

Comme notre majoration n'est valide que pour x supérieur à 116, condition qui est vérifiée si x appartient à l'intervalle [1438;14+38] ; on impose la condition α3/16. Pour que l'implication soit vraie, il suffit donc de prendre α=inf(316,ε16).
Interprétation

Interprétation

L'énoncé mathématique obtenu

ε>0, α>0,14xα 1x2ε.

signifie que

1x tend vers 2 quand x tend vers 14.

Exercices

Exercice : Aide visuelle : epsilon étant donné, trouver alpha en étant aidé visuellement.

Exercice : Donner une majoration raisonnable de f(x)b de la forme xa nCn est un entier et C un réel positif (on pourra si nécessaire imposer une condition à xa) pour :
  1. f(x)=x 3,a=2,b=8 Solution

    x 38=(x2)(x 2+2x+4) x2(x 2+2x+4)

    Si la condition x21 est vérifiée, on peut donc écrire :

    f(x)b19x2

  2. f(x)=x 2+3x2,a=1,b=4 Solution

    x 2+3x2+4=(x1)(x+5)x2

    Si x est compris entre 1/2 et 3/2, (on est alors sûr que la fonction est définie) , On minore x2 par 12 (faire un dessin sur la droite réelle en plaçant 12, 1, 32 et 2) et on majore x+5 par 132. On peut donc écrire que

    si x est compris entre 1/2 et 3/2 , x 2+3x2+413x1

  3. f(x)=x 2+1x 2,a=1,b=2 Solution

    x 2+1x 22=(x1) 2x 2

    La fonction est définie seulement si x n'est pas nul, nous allons donc prendre x compris entre 12 et 32 , alors

    x 2+1x 22 est majoré par 4(x1) 2

Exercice : Soit epsilon un réel strictement positif. Dans chacun des cas traités au-dessus, proposer une valeur de alpha dépendant de epsilon telle que l'implication suivante soit vraie :

xaαf(x)bε


Solution

xaα Rightarrow f(x)bε

Une infinité de choix de alpha sont possibles, le choix dépend de la majoration qu'on a réussi à faire. Les majorations proposées permettent d'affirmer que les valeurs de alpha suivantes conviennent ainsi que toute valeur inférieure.
  1. α=inf(ε/19,1). On doit choisir alpha inférieur à 1 car la majoration n'est démontrée que pour x21.

    x2inf(ε/19,1) ) Rightarrow x 38ε

  2. α=inf(ε/13,12).

    x1inf(ε/13,12) Rightarrow x 2+3x2+4ε

  3. α=inf(ε/4,12).

    x1inf(ε/4,12)x 2+1x 22ε



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