OEF arithmétique modulaire --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 38 exercices sur les calculs sur l'anneau fini ZZ/nZZ.

Trous d'addition

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

Classes de congruences

?


Congruences avec un paramètre

Calculer le nombre modulo en fonction du chiffre .

Consigne : Dans la réponse, les entiers doivent être compris entre 0 et .


Trous cubiques

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

Trous de division

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

Division I

Calculer / .

Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .


Division II

Calculer / .

Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .


Division III

Calculer / .

Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .


Diviseurs de zéro

Le nombre est-il un diviseur de zéro  ?

Diviseurs de zéro II

Trouver l'ensemble des diviseurs de zéro . (Dans cet exercice on ne considère pas le 0 comme un diviseur de zéro.)

Ecrire chaque élément par un nombre compris entre 1 et , et séparer les éléments par des virgules.


Diviseurs de zéro III

Soit = 2, où est un nombre premier. Combien de diviseurs de zéro y a-t-il  ?

Dans cet exercice, on ne considère pas le 0 comme un diviseur de zéro.


Racines modulo p^2

Soit le polynôme . Il a deux racines et . Les calculer
(on les donnera sous forme d'un entier compris entre 0 et ).

Soit dans ZZ.

Calculer mod .
(les entiers apparaissant seront compris entre 0 et ). Vous avez trouvé mod . Ainsi, l'équation mod est équivalente à

mod .

Existe-t-il un unique entier compris entre 0 et , congru à modulo et tel que

mod ?

Réponse : L'équation mod est en effet équivalente à l'équation mod .

Calculer l'entier compris entre 0 et , congru à modulo et tel que mod .

Combien y-a-t-il de solutions (modulo ) à l'équation mod qui soient congrues à mod ?

Inverse I

Trouver l'inverse de .

Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .


Inverse II

Trouver l'inverse de .

Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .


Inverse III

Trouver l'inverse de .

Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .


Puissance inversible

est un nombre premier. La fonction définie par est-elle bijective ?

Divisibilité

On suppose que le nombre premier divise pour deux entiers et . Peut-on conclure que divise et ?

Equation linéaire modulaire

Soit l'équation dans ZZ

equiv mod

L'équation a-t-elle une solution ?

L'ensemble des solutions est de la forme ZZ avec un entier positif et un ensemble fini d'entiers de NN strictement inférieurs à . En prenant le plus petit possible, donner tous les éléments de . L'ensemble des solutions est de la forme ZZ avec un ensemble fini d'entiers de strictement inférieurs à . Donner tous les éléments de .

 + ZZ ZZ

Remplacer le second membre par un autre entier de manière à ce que la nouvelle équation ait une solution.

Trous de multiplication

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

Multiples spéciaux

Soit . Trouver le plus petit entier tel que l'entier qui s'écrit en base avec chiffres tous égaux à 1 soit un multiple de .

Multiples spéciaux II

Soit . C'est un nombre premier. Trouver le plus petit entier tel que l'entier qui s'écrit en base sous la forme avec fois le motif soit un multiple de .

Période d'un rationnel en base b

Le développement du rationnel écrit en base est périodique de période à partir de la première -ième "décimale". Quels sont tous les diviseurs premiers possibles du dénominateur de (dans l'écriture décimale) ?

Trous de polynôme

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

Puissances

Calculer l'élément .

Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .


Puissances II

est un nombre premier. Calculez l'élément .

Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .


Trous de puissance

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

Racines modulo

Soit le nombre premier . On désire calculer un entier tel que

equiv mod .


Racines

est un nombre premier. Il existe un élément , tel que a soit congru à modulo . Trouver .

Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .


Racines de l'unité modulo p (I)

Soit l'équation

equiv 1 mod .

Calculer le plus petit entier tel que cette équation soit équivalente à

equiv 1 mod

et donner le nombre de solutions.

Racines de l'unité modulo p (II)

Soit le système d'équations

Calculer le plus petit entier tel que cette équation soit équivalente à

equiv 1 mod .

Quel est le nombre de solutions modulo ?

Calculs simples dans Z/nZ

Calculer dans ZZ/ZZ.

Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .


Calculs simples modulo n

Calculer modulo .

Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .


Carrés

Trouver l'ensemble des carrés .

Ecrire chaque élément par un nombre compris entre 0 et et séparer les éléments par des virgules.


Somme et produit

Trouver deux entiers et tels que

,

,

Vous pouvez entrer les deux nombres dans n'importe quel ordre.

Système linéaire modulo n II

Trouver toutes les solutions dans ZZ du système d'équations suivant

On écrira les solutions sous la forme
= * + *
= * + *
avec et dans ZZ.

Système linéaire modulo n I

Le système d'équations suivant

a-t-il une unique solution modulo ?

Système linéaire modulo n II

Trouver toutes les solutions dans ZZ du système d'équations suivant
On écrira les solutions sous la forme
= + * + *
= + * + *
avec et dans ZZ.

Trous de trinôme

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

D'autres exercices sur : arithmétique modulaire  


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