Droites remarquables, transformations

Sommaire

Ce document rédigé pour les étudiants de la licence scientifique générale (L3 pour des futurs professeurs des écoles à l'université Paris-Sud) accompagne une partie du cours de géométrie basé sur l'ouvrage de Daniel Perrin : Mathématiques d'école : nombres, mesures et géométrie publié par Editions Cassini (402 p. ISBN 978-2-84225-158-1) . On y fait référence par ME.

ME exercice 187, 185 renvoie à l'exercice 187 de la nouvelle édition, 185 de la première. De même pour les pages ou les propositions.
ME VI.1. renvoie à la partie 1 du chapitre 6.

Son but est d'illustrer les révisions du chapitre IV de ME en liant transformations et droites remarquables du triangle. Les premières constructions à la règle et au compas sont établies [ME.VI].

Préliminaires

Droites remarquables du triangle et transformations

  1. Symétrie orthogonale et Médiatrice d'un segment
  2. Homothétie , Théorème de Thalès et Médianes
  3. Hauteurs
  4. Bissectrice d'un secteur angulaire, d'un angle
  5. Bissectrices dans un triangle

Applications

Cas d'isométrie

Si deux triangles sont isométriques (c'est-à-dire s'il existe une isométrie qui envoie l'un sur l'autre), alors leurs angles et leurs côtés homologues sont égaux. On obtient donc 6 égalités. Pour montrer que deux triangles sont isométriques, il suffit de 3 égalités bien choisies. On rappelle ici les trois cas d'isométrie pour les triangles quelconques (pour des énoncés plus précis, voir [ME.IV.4.a]) et on illustre le premier à l'aide figures mobiles.

Pour une application des cas d'isométrie, voir la démonstration du théorème - définition des polygones convexes réguliers.

Premier cas d'isométrie

Premier cas : Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux alors ils sont isométriques.

Remarque : Il est essentiel que l'angle égal soit compris entre les deux côtés égaux. Il suffit de regarder cette figure . Mais ce n'est pas utile pour les triangles rectangles .

Figures mobiles :

Contre-exemple

Les triangles ABC et ABC ont un angle égal et deux côtés égaux mais ils ne sont pas isométriques ; l'aire de ABC est strictement plus petite que celle de ABC

Les deux triangles sont directement isométriques.

Sur la figure, on voit comment les hypothèses permettent de superposer peu à peu le triangle ABC sur le triangle EFG. On commence par translater ABC pour amener A sur E, puis on fait tourner le triangle autour de E pour superposer B sur F. Alors C est amené en G. Les triangles sont directement isométriques.

Les deux triangles sont indirectement isométriques.

Sur la figure, on voit comment les hypothèses permettent de superposer peu à peu le triangle ABC sur le triangle EFG. On commence par translater ABC pour amener A sur E, puis on fait tourner le triangle autour de E pour superposer B sur F. Ensuite on retourne le triangle selon (EF) (symétrie d'axe (EF)). Les triangles sont indirectement isométriques.

Deuxième cas d'isométrie

Deuxième cas : Si deux triangles ont deux angles égaux et un côté égal, alors ils sont isométriques.

Remarque : Si deux triangles ont deux angles égaux, leurs trois angles sont égaux.

Troisième cas d'isométrie

Troisième cas : Si deux triangles ont leurs trois côtés égaux alors ils sont isométriques.

Remarque : Ce cas est très utile pour construire, à l'aide d'un compas, un triangle isométrique à un triangle donné, par exemple, pour reporter un angle.

Cas d'isométrie des triangles rectangles

Cas d'isométrie des triangles rectangles : Si deux triangles rectangles ont deux côtés homologues égaux, alors ils sont isométriques.

Les hypoténuses sont des côtés homologues, les côtés de l'angle droit sont homologues.

Constructions à la règle et au compas (principe)

Ce chapitre comporte un contexte historique et culturel important, lire [ME. VI. Introduction].

Ici sont repris les principes de la construction à la règle et au compas, tels qu'ils sont posés dans [ME.VI.1.A]. Les constructions fondamentales sont établies au moment où les résultats nécessaires sont énoncés.

Soit calP ={M 1,...,M n} un ensemble de n points du plan. On appelle figures constructibles à la règle et au compas à partir de calP :

Point constructible à la règle et au compas à partir de calP .
  1. On dit qu'un point M est constructible à la règle et au compas en un pas à partir de calP s'il est l'intersection de deux figures constructibles à la règle et au compas à partir de calP .
  2. On dit qu'un point M est constructible à partir de calP si on peut le construit en un nombre fini de pas à partir de calP c’est-à-dire, précisément, s’il existe des points M 1, M 2,... , M r tels que M r=M et que, pour i=1,...,r1, M i+1 est constructible en un pas à partir de calP {M 1,...,M i}.
  3. On dit alors que la construction est faite en r pas.


Comment rédiger un exercice de construction ?

Les deux premières parties ne sont pas le lieu de décrire la construction.

  1. La partie analyse détermine des conditions nécessaires vérifiées par les points à construire. Evidemment pour permettre l'analyse, une figure est nécessaire, on peut tricher pour la faire.
  2. Dans les exercices assez simples, les conditions déterminées par l'analyse sont suffisantes, c'est-à-dire nous assurent que les points ainsi construits répondent au problème. Dans un exercice plus complexe, il faut s'assurer que les points construits satisfont les propriétés demandées. C'est la partie synthèse.
  3. La partie construction est la description précise (mais sans justification) des étapes nécessaires au tracé de la figure. Il peut arriver que la construction ne suive pas le fil de l'analyse. On peut préciser le nombre de pas si cela est demandé ou pour comparer deux constructions.

Parallélogramme

Propriétés caractéristiques du parallélogramme

Soit ABCD un quadrilatère convexe (voir [ME. fig. 20 page 156, fig.5 page 152]). On dit que ABCD est un parallélogramme s'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes.

  1. Les côtés opposés sont parallèles.
  2. Les côtés opposés sont de même longueur.
  3. Les côtés [AB] et [DC] sont parallèles et de même longueur.
  4. Les côtés [AD] et [BC] sont parallèles et de même longueur.
  5. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu.
  6. AB=DC
  7. AD=BC
  8. AB+AD=AC
  9. Les angles opposés sont égaux.
figure

Constructions et parallélogramme

  1. Construction d'un parallélogramme : Les points A, B et D étant donnés, on utilise la propriété 5 pour construire le parallélogramme ABCD [ME. VI.1. e].
  2. De la construction du parallélogramme, on déduit la construction d'une parallèle à une droite donnée passant par un point donné grâce à la propriété 1 [ME.VI.1. e]. Dans la deuxième édition, on trouve une autre construction d'une parallèle .
  3. De la construction du parallélogramme, on déduit le report de longueur grâce à la propriété 2 [ME. VI.1.f].

Construction d'une parallèle en 2 pas

Etant donnés une droite (AB) et un point C extérieur à (AB), on cherche à construire la parallèle à (AB) passant par C, c'est-à-dire un point D tel que (CD) soit parallèle à (AB).

L'idée est de construire un triangle ECD tel que (AB) soit une droite des milieux dans le triangle. Il suffit de construire E, le symétrique de C par rapport à A et D, celui de E par rapport à B. La construction est faite en deux pas.

Translation

Définition. Soit u un vecteur du plan. On appelle translation de vecteur u, notée t u, la transformation du plan qui à un point M associe le point M tel que MM=u.

Des propriétés du parallélogramme, on déduit la construction de l'image d'un point par une translation donnée. En effet, soient A et B deux points distincts ; le point M est l'image de M par la translation de vecteur AB si et seulement si ABMM est un parallélogramme.

Symétrie orthogonale

Définition : On appelle symétrie orthogonale d'axe D et on note s D la transformation du plan qui à un point M associe le point M tel que
  1. la droite (MM) est perpendiculaire à D.
  2. le milieu I de [MM] appartient à D.
figure

Propriétés

  1. La symétrie s D est une isométrie, s D conserve donc les longueurs et les angles géométriques.
  2. L'axe D de s D est l'ensemble de ses points fixes.
  3. s Ds D est l'identité, une symétrie est son propre inverse.

Médiatrice d'un segment

Définition : On appelle médiatrice du segment [BC] la droite D qui vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
  1. D est la perpendiculaire à (BC) en A, milieu de [BC].
  2. D est l'ensemble des points équidistants des extrémités de [BC].
  3. D est l'axe de l'unique réflexion qui échange B et C.

On en déduit le protocole de construction de la médiatrice, du milieu de [BC] et celui d'une perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné .

Proposition : Les médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes en un point O, centre du cercle circonscrit au triangle.

On démontre ce résultat à l'aide de la caractérisation 2 de la médiatrice.

Protocole de construction de la médiatrice et du milieu

Les points donnés sont en vert, les objets construits sont en rouge. La construction de la médiatrice se fait en 2 pas, celle du milieu en 3 pas ( voir [ME VI.1.c]). La médiatrice est la droite (CD)C et D sont les intersections des cercles 𝒞(A,AB) et 𝒞(B,AB). Le milieu de [AB] est l'intersection de (AB) et (CD).
Déroulez la construction avec les flèches en bas.

Construction d'une perpendiculaire

On cherche à construire la perpendiculaire à (AB) passant par C. Deux cas se présentent :

  1. Soient A, B et C trois points non alignés. Par définition de s (AB), la perpendiculaire à (AB) passant par C est la droite (CC)C est le symétrique de C par rapport à (AB).
    La construction se fait en un pas : les points C et C sont les intersections de 𝒞(A,AC) et 𝒞(B,BC). On a utilisé les propriétés 1 et 2 de la symétrie orthogonale et la propriété M2 de la médiatrice .
  2. Soient A, B et C trois points alignés. Soit A le symétrique de A par rapport à C, alors C est le milieu de [AA] et la médiatrice de [AA] est la perpendiculaire à (AB) passant par C. La construction se fait en 3 pas.

Homothétie

Définition. [ME.IV.3.e]
Soit k un réel différent de 0 et de 1 et C un point du plan. On appelle homothétie de centre C et de rapport k (et on note h(C,k)) la transformation du plan qui à un point M associe le point M tel que CM=k.CM.

On peut formuler le théorème de Thalès [ME.IV.1.e] à l'aide d'une homothétie, c'est parfois plus simple, par exemple dans l' espace .

Homothétie et théorème de Thalès

Soit (MM) et (PP) deux droites sécantes en un point C. Il existe une homothétie de centre C qui envoie M sur M et P sur P si et seulement si (MP) et (MP) sont parallèles. Le rapport de l'homothétie est alors :

k=CM¯CM¯=CP¯CP¯=PM¯PM¯.


Médianes

Soit un triangle ABC. On note A, B et C les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB].

Définition : On appelle la droite (AA) médiane issue de A dans le triangle ABC.

Proposition : Les médianes de ABC sont concourantes en un point G appelé centre de gravité de ABC. De plus l'homothétie de centre G et de rapport 12 envoie A sur A, B sur B, C sur C.

Démonstration : On peut démontrer le concours des médianes à l'aide de parallélogrammes , des aires ([ME exercice 194, 192]) ou de l' associativité du barycentre.

Soit G l'isobarycentre de A, B et C. Par associativité, G est le barycentre de {(A,13),(A,23)} puisque A est le barycentre de {(B,13),(C,13)}. Donc G appartient à la médiane (AA) et on a : AG=23AA AG=23AA et aussi GA=12GA. De même pour les autres médianes.

Remarque : Les triangles ABC et ABC ont même centre de gravité G. En effet, les homothéties conservent les barycentres donc l'image h(G,12)(G)=G de G est l'isobarycentre de ABC.

On peut voir l'homothétie en action dans une démonstration du concours des hauteurs .

Concours des médianes

Voici une démonstration du concours des médianes d'un triangle qui utilise le théorème de la droite des milieux et les propriétés des parallélogrammes . Les points A, B et C sont les milieux respectifs des côtés du triangle ABC.

Pour dérouler la démonstration, cliquez sur exécuter.

  1. Soit un triangle ABC.
  2. Le point G est le point d'intersection des médianes (BB) et (CC).
  3. Soit A le symétrique de A par rapport à G.
  4. Dans ABA, (CG) est une droite des milieux, donc parallèle à (BA).
  5. De même, dans ACA, (BG) est une droite des milieux, donc parallèle à (CA).
  6. On en déduit que les côtés opposés de BGCA sont parallèles donc c'est un parallélogramme.
  7. Les diagonales de BGCA se coupent en leur milieu, donc G appartient à la médiane (AA).

Hauteurs

Définition. Soit A le projeté orthogonal de A sur (BC). On appelle hauteur issue de A dans ABC la droite (AA).

Proposition. Les hauteurs de ABC sont concourantes en un point H appelé orthocentre du triangle ABC.

De nombreuses démonstrations sont possibles pour cette proposition.

Démonstration avec une homothétie

Démonstration avec une homothétie

Le concours des hauteurs se déduit de celui des médiatrices grâce à l'homothétie h(G,12). En effet l'image de (AA) par cette homothétie est Δ A, car c'est la droite passant par A, image de A, et parallèle à (AA) donc perpendiculaire à (BC). Les médiatrices sont concourantes en O donc les hauteurs sont concourantes en H=h(G,2)(O). (voir la transformation de O en H )

Sur la figure, cochez et décochez les deux premières cases pour tester l'homothétie sur les triangles, les deux dernières pour la tester sur la hauteur. Quand le curseur apparaît, vous pouvez faire varier le rapport de l'homothétie.

Relation entre l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit

Les hauteurs (en rose) sont envoyées par l'homothétie h(G,k) (quand k atteint 0,5) sur les médiatrices (en bleu). Ainsi h(G,2) envoie O, le centre du cercle circonscrit au triangle, point de concours de médiatrices sur un point H qui appartient aux 3 hauteurs.

Bissectrice d'un secteur angulaire, d'un angle

Pour la notion de secteur angulaire et d'angle, voir [ME.IV.1.f.].

Bissectrice d'un secteur [ME.IV.1.j.]

Définition et proposition.

Soit [BAC^] un secteur angulaire saillant. Il existe une unique droite Δ passant par A, appelée bissectrice du secteur [BAC^], telle que les deux demi-droites [Ax) et [Ay) portées par Δ vérifient :

BAx^=xAC^ et BAy^=yAC^.

On appelle bissectrice intérieure du secteur [BAC^] celle parmi les demi-droites [Ax) et [Ay) qui contenue dans [BAC^]. Dans cette page, on supposera que c'est [Ax).

On dit aussi que Δ est la bissectrice de l'angle BAC^.

Propriétés de la bissectrice du secteur

  1. La droite Δ est la bissectrice de [BAC^] si et seulement si Δ est axe de symétrie de [AB) et [AC).
  2. Soient B[AB) et C[AC) tels que AB=AC alors Δ est la médiatrice de [BC].

Démonstration de la propriété 2 et construction de la bissectrice .

Propriétés de la bissectrice intérieure [Ax) du secteur

  1. La demi-droite [Ax) partage le secteur [BAC^] en deux secteurs angulaires saillants de même angle.
  2. La demi-droite [Ax) est l'ensemble des points de [BAC^] équidistants des demi-droites [AB) et [AC).

Construction d'une bissectrice

Propriété 2 de la bissectrice de BAC^ : Soient B[AB) et C[AC) tels que AB=AC alors la bissectrice Δ de BAC^ est la médiatrice de [BC].

Démonstration. : Soit I le point d'intersection de (BC) et de Δ . On montre à l'aide du premier cas d'isométrie que I le milieu de [BC]. Comme A est équidistant de B et de C, la médiatrice de [BC] est (AI), c'est-à-dire Δ .

On en déduit une construction de la bissectrice [ME. VI.1.g]. Il suffit de construire la médiatrice de deux points équidistants de A, sur la figure, les points B et C.
Déroulez la construction avec les flèches en bas.

Bissectrices dans un triangle

Définition. On appellera bissectrice de l'angle en A dans le triangle ABC la bissectrice de l'angle BAC^.

Proposition : Soit ABC un triangle. Les bissectrices des angles en A, B et C sont concourantes en un point omega équidistant des côtés du triangle, omega est le centre du cercle inscrit dans ABC. Le cercle inscrit est tangent aux côtés de ABC.

Si on admet que deux des bissectrices sont sécantes à l'intérieur de ABC, on démontre le concours des bissectrices à l'aide de la propriété 2 des bissectrices intérieures .

Triangle isocèle

Définition : On dit que le triangle ABC est isocèle en A si les côtés [AB] et [AC] ont même longueur.

Proposition : Un triangle ABC est isocèle en A si et seulement si ses angles en B et en C sont égaux.

Démonstration. Si les côtés [AB] et [AC] ont même longueur, les triangles ABC et ACB sont isométriques par le 3ème cas . On en déduit l'égalité des angles.
Si les angles en B et en C sont égaux, les triangles ABC et ACB sont isométriques par le 2ème cas . On en déduit l'égalité des côtés.

Proposition : Un triangle ABC est isocèle en A si et seulement si deux des droites remarquables relatives à A sont confondues. Alors elles sont toutes confondues.

Démonstration. On utilise la propriété 2 de la bissectrice et la remarque suivante : Si A appartient à Δ A, la médiatrice de [BC], alors Δ A est médiane, hauteur.

Détails de la démonstration

Démonstration

La définition d'un triangle isocèle et la propriété (2) de la médiatrice conduisent au résultat suivant.
Lemme : le triangle ABC est isocèle en A si et seulement A appartient à la médiatrice Δ A de [BC].

Soit ABC un triangle tel que l'un des cas suivants se produit (Faites les figures !):

  1. Δ A est confondue avec la hauteur ou la médiane ou la bissectrice issue de A.
    Alors A appartient à la médiatrice et, par le lemme, ABC est isocèle.
  2. La hauteur et la médiane issues de A sont confondues . Alors elles sont confondues avec Δ A puisque perpendiculaires à [BC] en son milieu. Ce cas se ramène au cas 1.
  3. La hauteur et la bissectrice issues de A sont confondues.
    Si P est le pied de la hauteur, alors les triangles APB et APC sont rectangles, avec un côté commun et un autre angle égal donc isométriques par le 2ème cas . On en déduit l'égalité de AB et AC.
  4. La bissectrice et la médiane issues de A sont confondues.
    Soit I le milieu de [BC], H et K ses projetés respectifs sur [AB] et [AC]. Comme I appartient aussi à la bissectrice de A^, I est équidistant de [AB) et [AC), on a donc IH=IK. Les triangles HIB et KIC sont rectangles, avec deux côtés égaux, ils sont isométriques par le cas des triangles rectangles donc les angles B^ et C^ du triangle ABC sont égaux, ABC est isocèle.

Dans tous les cas, le triangle ABC est isocèle. On a donc montré :

Proposition : Un triangle ABC est isocèle en A si et seulement si deux des droites remarquables relatives à A sont confondues. Alors elles sont toutes confondues.

Droite d'Euler

Proposition : S'ils sont différents, les points H, O et G sont alignés sur une droite appelée droite d'Euler du triangle ABC.

Démonstration :

Exercices

  1. Donner la définition d'une droite remarquable en lien avec une figure
  2. Tir sur les points de concours des droites remarquables
  3. Définition et position des points de concours des droites remarquables

Liste des constructions fondamentales

Les constructions de base présentées dans ce document sont aussi décrites dans [ME.V1.1].

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