DOC Polygones convexes réguliers

Sommaire

Ce document rédigé pour les étudiants de la licence scientifique générale (L3 pour des futurs professeurs des écoles à l'université Paris-Sud) accompagne une partie du cours de géométrie basé sur l'ouvrage de Daniel Perrin : Mathématiques d'école : nombres, mesures et géométrie publié par Editions Cassini (402 p. ISBN 978-2-84225-158-1) . On y fait référence par ME.

ME exercice 187, 185 renvoie à l'exercice 187 de la nouvelle édition, 185 de la première. De même pour les pages ou les propositions.
ME VI.1. renvoie à la partie 1 du chapitre 6.

Polygones convexes réguliers

Tronquer un polygone

Il est question ici de construire un polygone régulier inscrit dans un autre, construction utile pour les polyèdres semi-réguliers.

Polygones réguliers et aire du disque

Dans cette partie, on utilise des polygones convexes réguliers pour approcher l'aire du disque. On propose des figures pour illustrer la partie longueur du cercle, aire du disque en [ME. VII.4] .

Contenu de cette partie

Exercices

Théorème et définition

Cette partie revient sur le Théorème - définition [ME.V.2.1] et en donne une démonstration légèrement différente.
Théorème.
Soit 𝒫 un polygone convexe à n côtés. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
  1. Tous les côtés de 𝒫 sont égaux et tous ses angles sont égaux.
  2. Tous les côtés de 𝒫 sont égaux et tous ses sommets sont sur un cercle.
  3. Tous les sommets de 𝒫 sont sur un cercle et les angles au centre sont égaux.

Définitions.
Un polygone qui vérifie (3) est invariant par la rotation de centre O et d'angle 2π/n, c'est pourquoi, on appelle régulier un polygone vérifiant ces propriétés équivalentes du théorème.
Le cercle de centre O passant par les sommets du polygone 𝒫 est appelé cercle circonscrit à 𝒫. Son centre O est appelé centre de 𝒫.

Remarque importante où on voit que deux propriétés sont nécessaires à un polygone pour être régulier.

Démonstration du théorème-définition avec les cas d'isométries (voir cette page du Doc Droites remarquables, transformations.)
En [ME.V.2.1], on trouvera aussi une démonstration par les transformations.

Remarque importante

Chaque propriété caractéristique d'un polygone régulier est composée de deux affirmations. On ne peut les grouper au hasard.
Par exemple, un rectangle non carré a ses sommets cocycliques et ses angles égaux mais il n'est pas régulier (ses côtés ne sont pas égaux). Un losange non carré a ses côtés égaux et les angles en son centre égaux mais il n'est pas régulier (ses sommets ne sont pas cocycliques).

Démonstration du théorème-définition

Pour revoir l'énoncé du théorème, cliquer sur sup.

Démonstration de "(1) implique (2)"

Figure 1 : Cette figure présente la démonstration de "(1) implique (2)" par étape. ( Version imprimable de la figure 1 )

Soit un polygone convexe dont les côtés et les angles sont égaux. Considérons trois sommets A, B et C. On va montrer que le sommet suivant D est sur le cercle circonscrit à ABC. On a montré que quatre sommets consécutifs sont cocycliques ; par récurrence, on montre que tous les sommets sont cocycliques.

Figure 2 : Figure pour la suite. ( Version imprimable de la figure 2 )

Démonstration de "(2) implique (3)"

Si on suppose que tous les sommets sont cocycliques sur un cercle de centre O et les côtés égaux, alors les triangles AOB et BOC sont isométriques par le 3ème cas donc les angles au centre AOB^ et BOC^ sont égaux ; on a montré "(2) implique (3)".

Démonstration de "(3) implique (1)"

Si on suppose que tous les sommets sont cocycliques sur un cercle de centre O et les angles au centre égaux, alors les triangles AOB, BOC et COD sont isocèles et isométriques par le premier cas donc les angles BCD^ et ABC^ sont égaux ; on a montré "(3) implique (1)".

Version imprimable de la figure 1

Figure 2

Cette figure illustre la démonstration de "2 implique 3" et "3 implique 1". Dans chaque cas, les points sont cocycliques par hypothèse.
Cochez les cases correspondant aux propriétés que vous supposez vraies et utilisez un cas d'isométrie pour démontrer les autres.

Version imprimable de la figure 2

Propriétés métriques

Les propriétés métriques d'un polygone régulier sont utiles pour les constructions à la règle et au compas et la troncature.
Proposition. [ME. V. prop.2.3]
Soit 𝒫=A 1A 2...A n un polygone régulier convexe à n côtés, de centre O et soit R le rayon de son cercle circonscrit. On pose A n+1=A 1. Soit M i le milieu du côté [A iA i+1]. Pour tout i=1n, on a les propriétés suivantes :
  1. Les angles de 𝒫 sont tous égaux à (n2)πn.
  2. Les angles au centre A iOA i+1^ sont tous égaux à 2πn.
  3. Les côtés de 𝒫 ont pour longueur 2Rsinπn.
  4. Les distances OM i sont égales à r=Rcosπn.
  5. L'aire de 𝒫 est égale à nR 2sinπncosπn. Le périmètre p de 𝒫 est égal à 2nRsinπn. On a : Aire(𝒫)=12rp.

Définition. La longueur r est appelée apothème de 𝒫. Le cercle de centre O et de rayon r est inscrit dans 𝒫, c'est-à-dire tangent en M i au côté [A iA i+1].

La démonstration repose sur la définition d'un polygone régulier pour (1) et (2), et sur les relations trigonométriques dans le triangle rectangle OM iA i pour la suite.

Polygones constructibles à la règle et au compas

Cette partie présente un résumé des résultats concernant la construction à la règle et au compas des polygones convexes réguliers (problème qui agitait déjà les mathématiciens grecs). A quoi cela sert-il ?

Résultats généraux

Polygones à n côtés ( n20)

Construction d'un pentagone régulier

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Il existe de nombreuses autres constructions que celles proposées ici. Mais toutes reposent sur la construction du nombre cos2π5=514 puisque l'angle au centre du pentagone régulier est 2π5.

Préliminaires

Soient Gamma un cercle de centre O, [AA] un diamètre de Gamma et P un point du cercle tel que (OP) soit perpendiculaire à (AA). On note H le milieu de [AO]. Le triangle HOP rectangle en O a pour hypothénuse [HP] de longueur 5/2. Alors le cercle de centre H passant par P rencontre [OA] en Q tel que HQ=5/2 donc OQ vaut 512.

Première construction

On renvoie à [ME.VI.2.j] pour le calcul de cos2π5 et une première construction du pentagone régulier.

Deuxième construction

Analyse : Le point I tel que OI=cos2π5 est donc le milieu de [OQ]. Les points B et E sont les points d'intersection de Gamma et de la médiatrice de [OQ].

Construction : Etant donné le cercle Gamma et le point A, on construit A, l'autre intersection de (OA) avec Gamma, puis P comme l'une des intersections de la médiatrice de [AA] et de Gamma, puis le milieu H de [AO], Q intersection du cercle de centre H passant par P et de [OA). Pour finir les intersections de la médiatrice de [OQ] avec le cercle Gamma sont les sommets B et E. Les sommets C et D s'obtiennent à l'aide des cercles centrés en B et E de rayon AB.


Troisième construction

Analyse : Comme B est sur la médiatrice de [OQ], le triangle OBQ est isocèle, donc OQB^ égale l'angle au centre AOB^ du pentagone soit 2π/5. L'angle inscrit AAB^ vaut π/5 comme moitié de l'angle au centre AOB^ (ou bien par le calcul de la somme des angles dans le triangle isocèle AOB). Le triangle AAB est donc isocèle car ses angles à la base sont égaux (la somme des angles d'un triangle vaut pi). On en déduit que le cercle de centre A passant par Q coupe Gamma en B et E.

Construction : Etant donné le cercle Gamma et le point A, on construit A, la médiatrice de [AA] pour obtenir P, le milieu H de [AO], puis le cercle de centre H passant par P pour obtenir Q et le cercle de centre A passant par Q qui donne B et E par intersection avec le cercle Gamma. Les sommets C et D s'obtiennent en reportant la longueur AB.

Tronquer un polygone

Problèmes

  1. Soit un polygone régulier 𝒬 à n côtés, le polyèdre 𝒫 dont les sommets sont les milieux des côtés de 𝒬 est encore un polygone régulier à n côtés.
  2. Le but de cette partie est de construire un polygone régulier 𝒬 à 2n côtés dont les sommets sont sur les côtés de 𝒬.
    • Si n égale 3, c'est facile, il suffit de prendre les sommets de l'hexagone au tiers des côtés du triangle équilatéral (voir Hexagone dans un triangle ).
    • Quand n égale 4, ce n'est plus si simple mais c'est encore facile (voir Octogone dans un carré ).

Ces questions surgissent dans la construction des polyèdres archimédiens rectifiés ou tronqués (voir Doc Polyèdres convexes semi-réguliers ).

Premières propriétés

On note A, B, C, ... les sommets de 𝒬 et A, B, C ... ceux de 𝒬, M le milieu de [AB], N celui de [BC]. Commençons par deux remarques importantes :
  1. Les polygones 𝒬 et 𝒬 ont le même cercle inscrit, en effet un côté sur deux de 𝒬 est porté par un côté de 𝒬. On notera O le centre commun des deux polygones.
  2. Si on a construit un sommet A de 𝒬, on obtient les autres sommets de 𝒬 comme intersections du cercle de centre O passant par A avec les côtés de 𝒬.

Constructions

Au moins trois constructions du sommet A sont possibles.
  1. avec les longueurs
  2. avec une bissectrice
  3. avec un second polygone (en particulier Construction d'un décagone régulier dans un pentagone )

Construction d'un hexagone régulier dans un triangle équilatéral

Soit ABC un triangle équilatéral et O son centre de gravité. On note a la longueur de son côté. On considère les points On va montrer que l'hexagone A 1A 2B 1B 2C 1C 2 est régulier :
Par hypothèse, le triangle A 1AA 2 est isocèle en A et comme ABC est équilatéral, l'angle en A vaut 60 donc A 1AA 2 est un triangle équilatéral. De même pour les triangles B 1BB 2 et C 1CC 2. Donc les côtés de l'hexagone A 1A 2B 1B 2C 1C 2 ont tous pour longueur a3. D'autre part tous ses angles sont supplémentaires d'un angle d'un petit triangle équilatéral donc ils valent tous 120 . L'hexagone A 1A 2B 1B 2C 1C 2 a tous ses côtés et ses angles égaux, il est régulier.

Construction d'un octogone régulier dans un carré

Dans le cas n=4, les formules donnent c=(21)c et d=222c. On peut aussi calculer ces valeurs directement en utilisant les relations : c=2d+c et c=2c2 (obtenue dans le triangle isocèle rectangle A 1AA 2). Ces valeurs nous assurent que les côtés de l'octogone ont même longueur. L'égalité des angles est évidente puisque les triangles "aux coins" du carré sont isocèles rectangles.
Construction : Comme c+d vaut 2c2, on construit le point B 1 comme intersection de [AB] et du cercle centré en A et passant par O. Les autres sommets sont sur le cercle de centre O passant par B 1.


Longueur de l'arête de Q'

Analyse

Soit un polygone régulier 𝒬 à n côtés, supposons qu'on ait construit un polygone régulier 𝒬 à 2n côtés dont les sommets sont sur les côtés de 𝒬. La distance d entre un sommet de 𝒬 et un sommet voisin de 𝒬 dépend de la valeur de n. Grâce aux Propriétés métriques , nous pouvons montrer le résultat général suivant :
Proposition : Soient un polygone 𝒬 régulier à n côtés de longueur c et 𝒬 un polygone régulier à 2n côtés dont les sommets sont sur les côtés de 𝒬. Si c est la longueur du côté de 𝒬, on a la relation :
c=c1tan 2(π/2n)2=ccos(π/n)1+cos(π/n)
La distance d entre un sommet de 𝒬 et un sommet voisin de 𝒬 vaut (cc)/2.
d=c2[1+cos(π/n)]

Démonstration : Dans un polygone régulier à n côtés dont le côté a pour longueur c, on note R le rayon du cercle circonscrit et r le rayon du cercle inscrit. On a : c=2Rsin(πn) et r=Rcos(πn). On en déduit :
(*) c=2rtan(πn).
Les polygones 𝒬 et 𝒬 inscrit dans 𝒬 ont même cercle inscrit. La relation entre c et c se déduit de (*) appliquée pour chacun des polygones et de quelques formules de trigonométrie.
Exemples : Pour n=3, la distance d vaut c3, pour n=4, elle vaut 222c.

Synthèse

Soit A placé sur [AB] à la distance d du sommet A de 𝒬. On doit montrer que les points d'intersection du cercle de centre O passant par A et des côtés de 𝒬 sont bien les sommets d'un polyèdre régulier. Ils sont cocycliques par construction, il suffit de montrer que tous les côtés de 𝒬 ont même longueur. Par construction et symétrie, les côtés de 𝒬 portés par ceux de de 𝒬 ont pour longueur c. On conclut en considérant des triangles isocèles et en utilisant des formules métriques dans ces triangles.
La synthèse est plus simple pour les cas particuliers qui nous intéressent :

Construction avec une bissectrice

Analyse : Soient A, B et C trois sommets consécutifs du polygone régulier 𝒬 et M et N les milieux de [AB] et [BC]. Comme 𝒬 et 𝒬 ont même cercle inscrit, l'intersection de [AB] et de la bissectrice de AOM^ doit être un sommet A de 𝒬.

Synthèse : On appelle A (resp. B, C et D) le point d'intersection de la bissectrice de AOM^ (resp. MOB^, BON^ et NOC^ ) avec [AB] (resp. [CD]). Dans les triangles AOB et COD, la hauteur est bissectrice donc ces triangles sont isocèles. D'autre part, les triangles rectangles MOB et NOC sont isométriques par le deuxième cas en effet en plus des angles droits, leurs angles en O sont égaux à 2π2n par construction et un de leur côté est l'apothème de 𝒬. On a donc montré que les longueurs OA, OB, OC et OD sont égales. Les points A, B, C et D sont donc sur un même cercle de centre O. Or les angles au centre AOB^, BOC^ et COD^ valent 2π2n par construction. Les points sont donc des sommets d'un polygone régulier 𝒬 à 2n côtés. On définit de même les autres sommets de 𝒬 sur chaque côté de 𝒬.

Construction : On construit le point A, intersection de [AB] et de la bissectrice de AOM^. Les autres sommets de 𝒬 sont les intersections des côtés de 𝒬 et du cercle centré en O passant par A.

Construction à l'aide d'un second polygone

Le polygone 𝒬 est inscrit dans un cercle 𝒞 de centre O, on considère le polygone 𝒬 image de 𝒬 par rotation de centre O et d'angle πn. Les sommets de 𝒬 et 𝒬 sont ceux d'un polygone régulier à 2n côtés inscrit dans 𝒞. On peut alors montrer que l'intersection de 𝒬 et 𝒬 est un polygone régulier 𝒬 à 2n côtés portés alternativement par ceux de 𝒬 et ceux de 𝒬.
Démonstration dans le cas n=5

La méthode décrite ici s'applique à tous les cas et est particulièrement rapide quand n est impair. En effet les sommets de 𝒬 sont dans ce cas les symétriques par rapport à O des sommets de 𝒬.

Construction d'un décagone régulier dans un pentagone

Soit ABCDE un pentagone régulier inscrit dans un cercle Gamma de centre O. Soit AABBCCDDEE le décagone régulier inscrit dans le même cercle ( On rappelle que A est l'autre intersection de (OD) avec Gamma etc... ).

L'intersection de ABCDE et de ABCDE est un décagone régulier dont les sommets sont sur les côtés de ABCDE.

Démonstration :

Soient P, Q, R et S ... comme sur la figure. Par exemple, Q (resp. R) est l'intersection de [AB] avec [AB] (respectivement [BC]). On va montrer que ces points sont équidistants de O et que les angles au centre sont égaux.

On rappelle que les droites (AC), (BD), (CE), (DA) et (EB) sont axes de symétrie pour les deux pentagones. La symétrie par rapport à (BD) fixe O et B, échange A et B, A et C donc elle échange Q, intersection de (AB) et (AB), et R, intersection de (AB) avec (BC) . Il en résulte que [RQ] rencontre (OB) en son milieu N qui est aussi le milieu de [AB] et on a : OQ=OR.
On montre de même que la symétrie par rapport à (DA) échange Q et P et on obtient que M est le milieu de [PQ] et de [AB]. De plus on a : OQ=OP.
On en déduit les points P, Q, R sont sur un même cercle de centre O. On montre de même de proche en proche que les autres sommets du décagone sont sur le cercle de centre O et de rayon OP.

D'autre part les triangles rectangles OPM, OQM, OQN et ORN ont un côté de longueur OP et un côte de longueur l'apothème OM des pentagones donc ils sont isométriques par le cas des triangles rectangles. On en déduit l'égalité des angles au centre QOR^ et QOP^. On montre de même que tous les angles au centre de PQRSTUVWXY sont égaux.

On a montré que l'intersection de ABCDE et de ABCDE est un décagone régulier dont les sommets sont sur les côtés de ABCDE. Ce décagone a même cercle inscrit que les deux pentagones puisque M est le milieu de [PQ] et de [AB].

Polygones et aire du disque

  1. Longueur d'une courbe
  2. Longueur d'un cercle
  3. Encadrement de l'aire d'un disque
  4. Polygones homothétiques
  5. Aire d'un disque et Démonstrations approchées de la formule de l'aire d'un disque
  6. Aire d'un secteur circulaire

Longueur d'une courbe

Définition (ME VII.4.a) : La longueur d'une courbe est la limite des longueurs des lignes polygonales inscrites dans cette courbe quand on fait tendre le pas vers 0. Toutes ces lignes polygonales ont une longueur inférieure à celle de la courbe.

Sur la figure, la ligne verte est plus courte que la ligne rouge elle-même plus courte que la courbe noire entre A et G.

ligneLongueur.png

D'autres comparaisons trompeuses :

Comparaison de longueur de courbes

Les courbes bleues, rouges et vertes ont toutes même longueur que le demi-cercle.

longueurcercle1

Comparaison de longueur de courbes (suite)

Il est bien sûr possible de tracer dans un disque une courbe de longueur supérieure à la longueur du cercle frontière. Sur cette figure, sont affichés la longueur du diamètre du cercle et le périmètre de l'étoile.

longueurcercle2

Longueur d'un cercle

Définition : le nombre pi est la longueur d'un demi-cercle de rayon 1.

Comment calculer une valeur approchée de pi ?

On en déduit :

secteur

Valeur approchée de π

Pour calculer une valeur approchée de pi, Archimède a utilisé le périmètre p n d'un polygone convexe régulier à n côtés inscrit dans un cercle de rayon 1. En effet par définition de la longueur d'une courbe , la limite de p n quand n tend vers l'infini est 2π et pour tout n, p n est inférieur à 2π. [ME VII.4.5]

Exemples :
Pour n=6 (hexagone bleu), on obtient l'inégalité π>3.
Pour n=12 (dodécagone rouge), l'approximation est bien meilleure : π>3,10.

hexagonedodeca

Encadrement de l'aire d'un disque

Par additivité de l'aire, l'aire d'un disque D de frontière Γ est supérieure à l'aire d'un polygone P inscrit dans le cercle Γ et inférieure à l'aire d'un polygone Q dont Γ est le cercle inscrit.

Dans notre exemple, si le rayon R de Γ est égal à 1, on obtient :

Aire(Hexagone) < Aire(Disque) < Aire(Carré)
332<Aire(D)<4

hexagonecarre

Polygones homothétiques

Soit P n un polygone convexe régulier à n côtés inscrit dans un cercle Γ de rayon R. On note r n son apothème. On transforme P n par l'homothétie h de rapport Rr n. Cette homothétie h envoie le milieu M de côté [AB] sur un point M du cercle en effet, de OM=r n, on déduit OM=R.

L'homothétie h transforme P n en un polygone convexe régulier à n côtés, appelé Q n. Comme l'apothème de Q n est R=OM, le cercle Γ est inscrit dans Q. Par homogénéité des aires, on a : Aire(Q n)=(Rr n) 2Aire(P n)

polygonehomothetie

Aire d'un disque

Théorème : L'aire d'un disque de rayon R est égale à πR 2.

Démonstration : voir [ME page 234, 229].
Version imprimable de la figure de l'aire du disque

Lien vers des Démonstrations approchées de la formule de l'aire d'un disque

Réglez le rayon r et le nombre de côtés n pour que la figure reste lisible.

Version imprimable de la figure de l'aire du disque

Démonstrations approchées de la formule de l'aire d'un disque

  1. Dans l'animation du Kangourou, le disque est découpé pour donner par recollement un presque parallélogramme de hauteur presque R et de base πR.
  2. Dans [ME page 235, 230], on utilise le lemme du trapèze pour montrer que l'aire du disque est presqu'égale à l'aire d'un triangle de hauteur presque R et de base 2πR.

Aire d'un secteur circulaire

Corollaire. [ME.VII.prop.4.7] L'aire d'un secteur circulaire d'angle θ d'un disque de rayon R est égale à θ2R 2.

Un secteur circulaire d'angle θ d'un disque de rayon R est la partie bleue du disque sur cette figure :

secteur

Exercices

construction à la règle et au compas, application au calcul de l'aire du disque.
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