OEF Probabilités et variables aléatoires simples --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 6 exercices sur les probabilités conditionnelles, l'indépendance des événements, et les variables aléatoires discrètes dont la loi est donnée par un tableau.

Probas conditionnelles

Une usine fabrique des stylos à bille. Une étude statistique a montré que .

Chaque stylo est soumis à un contrôle de fabrication. Le contrôle des stylos présentant un défaut et des stylos sans défaut.

On tire au hasard un stylo dans la production. On note D l'événement : " le stylo a un défaut " et C l'événement : "le stylo n'a pas de défaut".
On note R l'événement : " le stylo est refusé au contrôle ".

ANALYSE DES DONNEES DE L'ENONCE

Le nombre représente :

Vous avez trouvé que : = ; = ; = ; = ; =

Construire l'arbre de probabilités correspondant à cette situation, et en déduire, sous forme décimale exacte ou de fraction, les probabilités suivantes : , , et .

La probabilité qu'un stylo défectueux soit accepté par le contrôle est égale à .

La probabilité qu'un stylo soit défectueux et accepté par le contrôle est égale à .

La probabilité qu'un stylo accepté par le contrôle soit défectueux est égale à .


Evénements indépendants

Un objet produit en série peut présenter, à l'issue de sa fabrication deux défauts A et B, qui se produisent indépendamment l'un de l'autre.Les objets ayant les deux défauts sont mis au rebut.

Sur l'ensemble de la production, % ont le défaut A, % ont le défaut B.


Tableau variable aléatoire 1

On considère une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans l'ensemble {,..,}, et dont la loi est donnée dans le tableau ci-dessous.

Les résultats pourront être arrondis au millième.

L'espérance de est = .

L'espérance de est ; on en déduit la variance de
L'écart-type de est donc .


Tableau variable aléatoire 2

Un objet produit en série a un coût de €
Il peut présenter, à l'issue de sa fabrication deux défauts A et B.
La garantie permet de faire les réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivant : Sur l'ensemble de la production, % des objets n'ont aucun défaut, % ont le seul défaut A, % ont le seul défaut B et % ont les deux défauts A et B.

On note X la variable aléatoire, qui à chaque objet choisi au hasard, associe de cet objet.

Pour pouvoir déterminer la loi de probabilité de X, il faut commencer par chercher l'ensemble des valeurs possibles pour la variable aléatoire X.
Écrire ces valeurs possibles dans l'ordre croissant et séparées par des virgules:

Remplissez ce tableau représentant la loi de la variable aléatoire X

k
P(X=k)
k
P(X=k)

Calculer l'espérance mathématique :
et l'écart-type de X :


Tableau variable aléatoire 3

Un objet produit en série a un coût de €. Il peut présenter, à l'issue de sa fabrication deux défauts A et B.
Sur l'ensemble de la production,
La garantie permet de faire les réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivant : On note X la variable aléatoire, qui à chaque objet choisi au hasard, associe de cet objet.

Pour pouvoir déterminer la loi de probabilité de X, il faut commencer par chercher l'ensemble des valeurs possibles pour la variable aléatoire X.
Écrire ces valeurs possibles dans l'ordre croissant et séparées par des virgules:

Remplissez ce tableau représentant la loi de la variable aléatoire X

k
P(X=k)
k
P(X=k)

Calculer l'espérance mathématique :
et l'écart-type de X :


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