Variables aléatoires réelles --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 10 exercices sur les variables aléatoires réelles.
Les exercices "Construction d'une v.a. de loi discrète", "Description des lois classiques", "Réalisation d'une variable aléatoire" et "Transformation d'une v.a. à densité" portent à la fois sur des lois continues et des lois discrètes. L'exercice "Propriétés d'une loi et transformation linéaire" s'applique à n'importe quel type de v.a. réelles. L'exercice "Des identités utilisant l'espérance" ne s'applique qu'aux v.a. positives. Les autres exercices concernent les lois à densité.
L'exercice "Calculer avec une loi à densité" est paramétrable (voir ci-dessous).
On trouvera d'autres exercices sur les lois de v.a. réelles par exemple dans les modules : OEF loi d'une v.a. discrète, OEF Loi normale et OEF Représentation graphique de lois classiques.

Aires et loi normale

La courbe représente la densité de la loi normale d'espérance et d'écart-type .

xrange , yrange -0.1, hline 0,0,black arrow ,0,-0.1,0,10,black arrow 0,-0.1,0,,10,black text gray, -0.1,0,,0

On note une variable aléatoire de loi normale d'espérance et d'écart-type .

L'aire du domaine colorié est la probabilité d'un des événements ci-dessous, lequel ?

L'aire du domaine colorié est la probabilité de l'évènement .

Calculer la probabilité de cet événement.


Calculer avec une loi à densité

1- Pour quelle valeur du paramètre , la fonction suivante est-elle une densité ?

leftbrace2 si 0 < <
sinon
Bonne réponse ! Il faut et il suffit que

Soit une variable aléatoire de densité .

2- Calculer la probabilité que l'événement suivant se réalise :

Bonne réponse ! P( ) = .

3- Déterminer .


Densité et transformations d'une v.a.

La courbe suivante représente la densité d'une variable aléatoire .

Cliquez sur la courbe qui représente la densité de la variable aléatoire .


Description des lois classiques

1- La loi est une loi : .

2- Une variable de loi est à valeurs dans :

.

NB : sélectionner la réponse la plus précise
3- :
pour tout , =

Calcul avec la loi normale

Soit une variable aléatoire de loi normale d'espérance et de variance . Donner l'expression de la probabilité de l'événement

à l'aide de la fonction de répartition de la loi normale prise uniquement en des valeurs positives ou nulles.

Exemple : si suit la loi , la probabilité que soit inférieure à -1 s'écrira .


Réalisation d'une variable aléatoire

On a tiré une réalisation d'une variable aléatoire de loi . On a obtenu . Si on recommence cette expérience, quelle est la probabilité d'obtenir une valeur ?

Construction d'une v.a. de loi discrète

On considère une variable aléatoire de loi uniforme sur l'intervalle [0,1].

1- Déterminer les valeurs possibles pour la variable aléatoire

c'est-à-dire déterminer les valeurs qui sont prises avec une probabilité strictement positive (on séparera les valeurs par des virgules).

Bonne réponse : les valeurs possibles pour sont bien .

2- Déterminer la loi de la variable aléatoire .


Transformation d'une v.a. à densité

Soit une variable aléatoire de loi . On considère la variable aléatoire = .

1- Quel type de variable aléatoire est ?

1- Bonne réponse ! est une variable aléatoire .

2- Compléter l'expression suivante de la fonction , pour que soit la fonction de répartition de = si < <

si leq

si geq

Compléter l'expression suivante qui définit la loi de si est entier et si leq <

si n'est pas entier ou si ou si geq

NB : on écrira inf pour +infty et -inf pour -infty 2- Bonne réponse ! La fonction de répartition de est définie par :

leftbrace3 si >

si leq

leftbrace4 si < <

si leq

si geq

3- Compléter l'expression suivante de la fonction afin que ce soit une densité pour si > < <

sinon 2- Bonne réponse ! On a bien

leftbrace3 si est un entier et si geq si in { ,..., } si in { , }

sinon

3- Compléter l'expression suivante de la fonction , afin que ce soit la fonction de répartition de

leftbrace4 si > leq <

si <

si geq

NB : on écrira floor(x) pour désigner la partie entière de


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