OEF tests statistiques --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 11 exercices d'introduction aux tests statistiques.

Sondage

On a effectué un sondage de personnes avant un référendum : ont répondu être pour le "oui", ont répondu être pour le "non".

Quel risque prend-on en déclarant que le l'emportera (donner votre réponse en %)?


Zone de rejet

On dispose d'une observation d'une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans {0,...,}. A l'aide de cette observation , on veut effectuer un test d'une hypothèse contre une hypothèse au niveau %.

Les lois de la variable aléatoire sous les hypothèses et sont représentées par le graphique suivant (en bleu, la loi sous et en rouge, la loi sous ) :

xrange -2, yrange -, line -1,0, ,0, gray line 0, -,0,,gray text black, -0.25, 0,small, 0 text black, -0.1, 0,small, text black, -2, +/2, small, line -0.1,, 0.1,, black
1- Cliquer sur la région qui correspond à la zone de rejet de l'hypothèse .

NB : et désignent des entiers vérifiant 0 leq leq .

Bonne réponse : la zone de rejet de est de la forme .

Le tableau suivant donne quelques valeurs de la fonction de répartition de sous et sous , notée respectivement et pour avoir un test de niveau %.

Bonne réponse : au niveau %, la zone de rejet de est avec .

3- Calculer la valeur (en %) de du test ainsi défini.


La pièce est-elle bien équilibrée ?

Quelle est la probabilité qu'une pièce bien équilibrée tombe au moins fois sur "" si on la lance fois (donner votre réponse en %)?

Bonne réponse : il y a % de chance qu'une pièce bien équilibrée tombe au moins fois sur "" si on la lance fois.

2- On lance une pièce fois de suite ; elle tombe fois sur "" et fois sur "".

Peut-on conclure, avec un risque de se tromper inférieur à %, que la pièce est déséquilibrée ?


Réaction à un vaccin

Un vaccin est supposé induire une réaction grave dans 1 cas sur .

1- Par quelle loi peut-on approcher la loi du nombre de personnes ayant une réaction grave sur personnes vaccinées ?

(si la loi a plusieurs paramètres, les rentrer dans l'ordre usuel en séparant les valeurs par des virgules)

Bonne réponse : on peut l'approcher par une loi de Poisson de paramètre = .

2- Sur personnes vaccinées avec ce vaccin, combien doit-on observer de réactions graves pour conclure que le taux de réactions graves a été sous-estimé, si on veut que le risque de se tromper en remettant en cause ce taux ne dépasse pas % ?


Questionnaire

Un examinateur donne un questionnaire comportant questions, chaque question ayant 2 réponses possibles. Si le candidat répond juste à au plus questions sur , il considère que l'étudiant a répondu au hasard à toutes les questions.

1 - Quelle est la probabilité que l'examinateur rejette l'hypothèse que l'étudiant a répondu au hasard à toutes les questions alors que celle-ci est vraie ?

Oui, la probabilité que l'examinateur rejette l'hypothèse que l'étudiant a répondu au hasard à toutes les questions alors que celle-ci est vraie est de .

2 - Quelle est la probabilité d'accepter l'hypothèse que l'étudiant a répondu au hasard à toutes les questions alors qu'en fait l'étudiant connaissait la réponse à questions ?


Test de la médiane

Un produit commercialisé est présenté dans des boîtes sur lesquelles on peut lire : contenance grammes. Les informations recueillies auprès du fabriquant permettent d'affirmer que dans ce cas la valeur de grammes est censée représenter la médiane d'une variable aléatoire X à densité. Un échantillon de boîtes est prélevé. Sur les boîtes, boîtes ont une contenance inférieure à grammes.

Peut-on conclure avec un risque de se tromper inférieur ou égal à % que ?


Poids d'un paquet de farine

Le poids (en grammes) de farine contenue dans un paquet peut être modélisé par une variable aléatoire de loi avec inconnu et = g. Sur le paquet, il est indiqué Poids : 1 kg .

1- Calculer la valeur minimale de qui assure que moins de % des paquets ont un poids inférieur à 1 kg (donner votre réponse en grammes au centième de gramme près).
Réponse : il faut que soit au moins égal à grammes pour que moins de % des paquets aient un poids inférieur à 1 kg.

2- Un contrôleur pèse paquets pris au hasard dans la production. Le poids moyen de ces paquets est de grammes.
Peut-on conclure avec un risque de se tromper inférieur ou égal à % que est strictement inférieur à 1000 grammes ?


Tension artérielle

Les lectures de la tension artérielle systolique en mm Hg sur un individu à la même heure pendant jours successifs ont été :

On estime qu'un individu souffre d'hypertension si sa tension moyenne excède 160 mm Hg. Pour analyser les résultats, quel test choisit-on ?

1-Pour analyser les résultats, quel test choisit-on ?

La bonne réponse est bien: .

2- On suppose que les tensions sont des réalisations d'une variable aléatoire de loi normale. Quel est le risque de se tromper en affirmant que l'individu (exprimé en %) ?


Pourcentage de pièces défectueuses

Un fabricant affirme qu'au moins % de l'équipement qu'il fournit à un dépositaire est conforme au cahier des charges. L'examen de pièces prises au hasard parmi les pièces fournies montre que pièces sont défectueuses (c'est-à-dire non conformes au cahier des charges).

1- Quel est le pourcentage de pièces défecteuses parmi les pièces testées ?

Oui, le pourcentage de pièces défectueuses parmi les pièces testées est .

2- Par quelle loi peut-on approcher la loi du nombre de pièces défectueuses observées en tirant au hasard pièces parmi les pièces fournies si on suppose que le nombre de pièces fournies est très élevé ?

Bonne réponse : on peut approcher la loi du nombre de pièces défectueuses par une loi Binomiale.

3- Que dire de l'affirmation du fabricant au niveau de % ?

Bonne réponse : au niveau %, .

4- Combien de composants défectueux doit-on observer dans l'ensemble des pièces testées pour rejeter l'affirmation du fabricant au niveau % ?


Test d'ajustement

On nous dit que le tableau suivant a été obtenu en tirant nombres au hasard entre et :

On cherche à tester si les nombres sont répartis uniformément.

1- Calculer l'effectif théorique de chaque classe lorsque les nombres sont répartis uniformément.
Oui, l'effectif théorique de chaque classe est .

On se propose de faire un test d'ajustement du avec comme hypothèse ``les nombres sont répartis uniformément''.

2- Est-il raisonnable d'approcher la loi de la variable de test par une loi du sous ?
Bonne réponse : on peut approcher la loi de la variable de test par une loi du sous

3- Donner le degré de liberté de la loi du qui approche la loi de la variable de test sous et calculer la valeur observée de la variable de test.
Bonnes réponses : la loi de la variable de test sous peut être approchee par une loi du à degrés de liberté. La valeur observée de la variable de test est .

4- La probabilité que leq pour une loi du à degrés de libertés est égale à %. Pouvez-vous conclure que les nombres tirés n'ont pas été tirés au hasard avec un risque inférieur ou égal à % ?


Vocabulaire sur les tests

On effectue un test d'une hypothèse contre une hypothèse au niveau % à l'aide de l'observation d'une variable aléatoire .

1 - Sur la figure ci-dessous, on a représenté la densité de la loi de sous en bleu et la densité de la loi de sous en rouge.

La zone de rejet de est de la forme :

2- Sur l'une de ces figures, l'aire de la zone coloriée en jaune correspond à du test. Cliquez sur cette figure.

2 - Bonne réponse, sur la figure ci-dessous l'aire de la zone coloriée en jaune correspond à du test.

3 - Si le seuil de signification du test (appelé aussi la p-valeur) pour la valeur observée est de % alors cela signifie que pour le test de niveau %

4 - L'expression de la p-valeur est :

P(X )


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