Nombres complexes II

Objectifs

Documents

Voici les documents où vous pourrez travailler le cours.

F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG, Algèbre 1ère Année (Dunod), chapitre 2
A. Denmat et F. Héaulme, Algèbre générale (Dunod), TD 3 et 5

Guide

Equations dans les nombres complexes
Géométrie

Histoire

d'Alembert est le premier à avoir énoncé, sous une forme complète, le théorème fondamental de l'algèbre, souvent nommé simplement de d'Alembert, déjà avancé par Viète et Girard mais qu'ils n'arrivèrent pas à démontrer de façon précise :

Tout polynôme d'une variable complexe, de degré n, admet n racines complexes (éventuellement égales).

(Tiré de ChronoMath )

Equations dans les nombres complexes

Racines carrées d'un nombre complexe
Equation du second degré dans C
Exercices sur les racines d'une équation de degré 2
Racines cubiques et plus
Exercice

Racines carrées d'un nombre complexe

Exercice : Racine carrée

On désire trouver la racine carrée d'un nombre complexe donné de manière algébrique, par exemple c = -2 -9i . On cherche donc un nombre complexe z = x + i y tel que z²= -2 -9i avec x et y appartenant à .

On écrit ce que signifie l'équation z²= c en termes de x et de y.
Comme z²= (x²-y²) + 2i x y, l'équation est équivalente au système d'équations
On peut a priori résoudre à partir de ces deux équations. Mais on va en utiliser une autre qui va simplifier la résolution
On traduit donc le fait que ce qui donne
Et quand on a la valeur de x²+ y² et celle de x²- y², que voulez-vous faire d'autre que d'en déduire la valeur de x² et de y² en ajoutant et retranchant ces deux équations :

Au fait, voyez-vous une raison a priori pour que ces valeurs soient positives ?
Donc, et
Mais cela ferait 4 solutions !

Ce qui en fait vraiment beaucoup trop, puisque l'équation z²= -2 -9i a deux solutions.
Cela vient du fait que l'on n'a pas raisonné par conditions équivalentes. Quelle condition n'a-t-on pas utilisée ? 2x y = -9. Ainsi x et y sont de signe contraire. Donc les solutions sont et en approchant et .

Equation du second degré dans C

La résolution des équations du second degré est maintenant très simple, une fois que l'on sait trouver les racines carrées d'un nombre complexe. Par exemple, résolvons l'équation

() z²+ () z+ = 0

Le discriminant est Delta

= ()²- 4()() =. On calcule les racines carrées de Delta

par la méthode précédente : d ou -d Les racines de l'équation sont alors

En particulier, comme dans le cas réel, l'équation a une racine "double" lorsque le discriminant Delta est nul.

Exercices sur les racines d'une équation de degré 2

Exercice : Racines d'un polynôme quadratique

Exercices sur les racines doubles

Racines et coefficients

Il est important de connaître la relation entre les racines d'une équation de degré 2 et ses racines :

Si u et v sont les racines de l'équation ax²+ bx + c=0 avec a non nul, alors

Exercice : lien entre racines et coefficients

Exercice : Que peut-on dire de la différence des racines.

Exercices : Ici, vous devez trouver le polynôme de degré 2 dont les racines sont dessinées : le polynôme à trouver est à coefficients complexes ou à coefficients réels

Profitez-en pour remarquer comment sont placées les deux racines complexes d'un polynôme à coefficients réels et faites le mélange suivant coefficients réels ou complexes

Racines cubiques et plus

Exercice : Placer les racines cubiques dans le plan complexe.

Exercice : Calculer les racines cubiques

Exercice : Placer les racines quatrièmes ou cinquièmes dans le plan complexe.

Exercice

Exercice : Calculer les racines carrées de . En déduire les valeurs de

cos(/8) et sin(/8).

Nombres complexes et géométrie

Exercice : Résoudre dans

l'équation z³- u (1+i) z²+iu ² z = 0 où u est un nombre complexe donné non nul. Montrer que les racines de cette équation sont les affixes des sommets d'un triangle rectangle isocèle. Aide

Une des racines est facile à trouver : c'est donc en fait une équation du second degré que vous avez à résoudre !

Exercice : Trouver l'ensemble des nombres complexes z tels que les points d'affixe

1, z et 1 + z²

soient alignés. Aide

Ecrire que est réel.

Exercice : triangle équilatéral et nombres complexes

Racines n-ièmes de l'unité

Voici les racines 3-ièmes de l'unité dans le plan complexe : avec , vous pouvez changer la valeur aléatoirement ou la choisir vous-même en haut (inférieure à 50).

Regarder les différences entre n pair et impair
Essayer successivement des valeurs multiples, par exemple 2, 4, 12 ou 3, 6, 12, 24

et interpréter ce que vous remarquez.
n = 3

Racines de l'unité

Dans les exercices suivants, n'oubliez pas que si u est une racine de l'unité d'ordre n, par exemple

elle vérifie la relation

Exercices sur les racines cubiques de l'unité et sur les racines cinquièmes de l'unité

Exercices sur des sommes de racines de l'unité

Pentagone

Exercice : Dans le plan complexe, on considère le pentagone régulier standard, dont les sommets sont les racines cinquièmes de l'unité

1, et .

Montrer que , , et sont les racines du polynôme X⁴+X³+X²+X+1.

Utiliser l'identité : X^5 - 1=(X-1)(X^4 + X^3 + X^2 + X + 1)

On pose et . Montrer que et sont les racines du polynôme X²+ X - 1. En déduire les valeurs de et .

Calculer la somme \alpha + \beta et le produit \alpha \beta à l'aide de la question 1 .

On trace le cercle C de centre passant par le point . Montrer que C coupe l'axe des réels aux points et . En déduire une construction du pentagone régulier à la règle et au compas. Faites-la avec le module Règles et compas et proposez votre solution dans le forum si vous participez à une classe (vous pouvez dans ce module sauver le script que vous aurez fait ).

Ecrire l'équation de C en terme d'affixes.

Par	Version interactive
Dernière modif. 20101107