Algèbre linéaire : espaces vectoriels
Objectifs et conseils
Avec ce chapitre, nous posons les bases de l'algèbre linéaire. Pour entrer au mieux dans ces définitions un peu abstraites, faites des dessins en dimension 2 ou 3. Vérifiez les propriétés énoncées sur des exemples simples. Prenez le temps d'assimiler les premières notions, vous comprendrez mieux la suite.
Documents
Guide
Les rappels de cours de cette partie sont issus des résumés de cours du S1 MIAS rédigés par Myriam Déchamps
Introduction
| Vecteurs | 
| |||
| Coordonnées | (a,b,c) | (a',b',c') | (a+a',b+b',c+c') |
Si nous ne retenons que l'aspect algébrique, il est alors possible de considérer des "vecteurs'' avec n coordonnées et de définir leur somme et le produit d'un vecteur par un nombre réel, de façon analogue.
Cette définition va nous permettre de définir deux opérations dans
.
On s'aperçoit que des nombreux calculs ou preuves faits
dans
n'utilisent pas le fait que l'on
travaille avec des coordonnées et
sont valables lorsqu'on travaille dans les espaces de fonctions ou
polynômes ci-dessus. Ces règles de calcul vont alors constituer la
base de l'algèbre linéaire abstraite.
La démarche d'axiomatisation consiste à "oublier" la nature des
éléments des ensembles
E que l'on étudie pour ne retenir que le
fait suivant :
ils sont munis de deux opérations et ces opérations
ont un certain nombre de propriétés.
On s'intéressera ensuite à
établir les résultats qui découlent de cette structure algébrique et
qui seront valables indépendamment de la nature des éléments de
E.
Ces éléments seront toujours appelés vecteurs, par commodité et
pour favoriser l'intuition géométrique ; mais ce langage peut être
déroutant : en tant qu'élément d'un espace vectoriel, une fonction
est un vecteur !
Un
K-espace vectoriel
E, muni de son addition, est un groupe commutatif, grâce aux propriétés 1. à 4.
Nous notons provisoirement les opérations d'un
K-espace vectoriel par les symboles
et
, pour les différencier des opérations du corps des scalaires
K et mieux comprendre les premiers exemples d'espaces vectoriels. Ensuite nous utiliserons les notations usuelles + pour l'addition et
ou rien de tout pour la multiplication par un scalaire (ne pas oublier que l'on ne multiplie pas de vecteurs entre eux !).
Nous utiliserons dorénavant les notations usuelles pour les opérations.
Cette question revient à savoir s'il existe
tel que
En resolvant ce système par la méthode du pivot de Gauss, on obtient :
On peut retenir de cet exemple, que si on se donne trois vecteurs de
et un vecteur
b, il n'est pas toujours possible d'écrire
b
comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs et que lorsque c'est
possible, l'écriture n'est pas toujours unique.
L'écriture peut être unique ou non. Cette propriété
depend du rang du système . Elle décrit une propriété de
l'ensemble des vecteurs
u1,u2,...,un que nous verrons plus tard.
Vecteurs dans R^n
Soit
, convenons d'appeler vecteurs les
éléments de
(le produit cartésien usuel
,
n fois) et d'appeler scalaires les éléments de
.
par le vecteur
u
est le vecteur
Conclusion
Il y a bien d'autres ensembles
E en mathématiques pour lesquels
on sait additionner deux éléments et multiplier un élément par un
nombre réel (resp. complexe), tout en restant dans
E : par
exemple,
Définition d'un espace vectoriel
et
dans
K :
Exemples
Un espace vectoriel sur
K est aussi appelé un
K-espace vectoriel, en abrégé
K-ev. Les éléments de
E sont appelés vecteurs.
-espace vectoriel. Plus généralement, tout
-espace vectoriel est un
-espace vectoriel.
, ou
.
Exercices sur la définition
Règles de calcul
et
dans
K. On a :
et
dans
K. On a :
Combinaisons linéaires et systèmes linéaires
Dans
, chercher à écrire le vecteur
b comme combinaison
linéaire de vecteurs donnés
, c'est
résoudre l'équation vectorielle :
et
deux paramètres réels,
u1=(1,2,-3),
u2=(2,3,-4),
et
quatre
vecteurs de
. Le vecteur
b est-il combinaison linéaire des
vecteurs
u1,u2 et
u3 ?
Interprétation
On a vu (
par exemple
) que chercher à écrire
b comme
combinaison linéaire de
n vecteurs
u1,
u2,
un
conduit à résoudre un système linéaire. Nous pouvons dire maintenant
que le système a une solution, c'est-à-dire que
b est combinaison linéaire
de
n vecteurs
u1,u2, ..., un si et seulement si
b
appartient au sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs
u1,u2, ..., un.
Sous-espaces vectoriels
Il est naturel de s'intéresser aux sous-ensembles d'un
K-espace vectoriel qui sont, eux-mêmes, des espaces vectoriels. Il y a plusieurs façons équivalentes de les définir.
Exemples de sous-espaces vectoriels
Remarque. Le plus souvent, pour démontrer qu'un ensemble
F est un
K-espace vectoriel, on montre qu'il est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel déjà connu (par exemple, un des sept espaces de la liste donnée au paragraphe précédent).