Comment construire des sous-espaces vectoriels

L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs u₁, ... , u_p est un sous-espace vectoriel de E, noté Vect(u₁, ... , u_p) et appelé le sous-espace vectoriel de E engendré par la suite de vecteurs (u₁, ... , u_p) .
Vect(u₁, ... , u_p) est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant l'ensemble des vecteurs u₁, ... , u_p.

Exercice :

Combinaison linéaire
Combinaison linéaire 2

Droites

Soit . Si u₁=0_E, . Sinon :

Définition : Soit E un K-espace vectoriel. Une droite de E est un sous-espace vectoriel de E engendré par un vecteur non nul. Si D est une droite de E, il existe , tel que .

Exercice : Si D est une droite d'un K-espace vectoriel E, alors tout vecteur non nul de D engendre D.

Plans

Soient u₁ et u₂ dans E. Si u₁=u₂=0_E alors . Si ou , où , alors Vect(u₁,u₂) est une droite. Sinon :

Définition : Soit E un K-espace vectoriel.

Deux vecteurs u₁ et u₂ de E sont dits colinéaires s'il existe tel que ou s'il existe tel que .
Un plan de E est un sous-espace vectoriel de E engendré par deux vecteurs non colinéaires.

Exercice :

Les vecteurs u=(a,c) et v=(b,d) de sont colinéaires si et seulement si ad-bc=0 (on rappelle que ad-bc est l'aire algébrique du parallélogramme défini par les vecteurs u et v).
Montrer que si u et v sont deux vecteurs non colinéaires de , alors (u,v) est une suite génératrice de . En déduire que les seuls sous-espaces vectoriels de sont , et les droites vectorielles.

Espaces affines

Les droites et plans que nous venons de définir sont des sous-espaces vectoriels de E, donc contiennent 0_E, ou, en langage géométrique, passent par l'origine. Parfois on le précise en disant qu'ils sont des droites et plans vectoriels . Nous appellerons droite affine ou plan affine le translaté par un vecteur fixe d'une droite ou plan vectoriels. Plus généralement :

Définition : Soit E un K-espace vectoriel. Si , la translation par le vecteur u₀ est l'application de E dans E, . Si V est un sous-espace vectoriel de E, on dit que est un sous-espace affine de E, dont la direction est V.

Exemples de la droite et du plan

Exemple : Si u₁ est non nul, les équations paramétriques de la droite D=K u₁ sont :

Exemple : Si u₁ est non nul et si u₁ et u₂ ne sont pas colinéaires, les équations paramétriques (E_P) du plan P=Vect(u₁,u₂) de Kⁿ sont

Equations paramétriques et équations cartésiennes

Nous connaissons maintenant deux façons d'obtenir un sev de Kⁿ :

L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène (S) de p équations, n inconnues et à coefficients dans K est un sev F de Kⁿ. On dit alors que (S) est un système d'équations cartésiennes de F.

Considérons p vecteurs de Kⁿ, . Alors F=Vect(u₁, u₂, ... , u_p) est un sous-espace de Kⁿ, et les coordonnées d'un vecteur quelconque u=(x₁,...,x_n) de F vérifient les équations suivantes où t₁, t₂, ... t_p sont des scalaires dans K

On dit alors que est un système d'équations paramétriques du sous-espace F.

Passage des équations cartésiennes aux équations paramétriques

Pour passer d'un système (S) d'équations cartésiennes d'un sev F de Kⁿ à un système d'équations paramétriques de F ??

on résout le système linéaire (S), qui a p équations et n inconnues ; si (S) est de rang r, la solution générale s'écrit en fonction de n-r paramètres arbitraires (les inconnues secondaires) et on obtient un système d'équations paramétriques de F comportant n-r paramètres.

Pour passer d'un système (E) d'équations paramétriques d'un sev F de Kⁿ à un système d'équations cartésiennes de F ??

le système d'équations paramétriques de F fournit une suite génératrice (u₁, ... , u_p) de F ; soit la matrice dont les vecteurs colonnes sont u₁, ... , u_p ; soient , , on considère le système linéaire AT=X ; on échelonne le tableau complet de ce système, si on a r inconnues principales, on a n-r conditions de compatibilité du système AT=X ; ces n-r équations linéaires scalaires (où les inconnues sont les coordonnées x₁, x₂, ... ,x_n du vecteur second membre X) constituent un système d'équations cartésiennes de F.

Equations cartésiennes des plans et droites affines

Proposition : Si a, b et c sont des scalaires dans K non tous nuls, alors pour tout d dans K l'équation linéaire :

ax + by + cz = d représente un plan affine P de K³ ; P est un plan vectoriel si et seulement si d=0.

Proposition : Si les vecteurs (a,b,c) et (a',b',c') de K³ ne sont pas colinéaires, alors pour tous d et d' dans K, l'ensemble des solutions du système linéaire :

est une droite affine D de K³ ; D est une droite vectorielle si et seulement si d=d'=0.

Hyperplans de Kⁿ

Définition : Soient , , considérons l'équation linéaire scalaire :

L'ensemble H des solutions de (2) est un sous-espace affine H de Kⁿ appelé hyperplan affine , dont (1) est une équation cartésienne et H est un hyperplan vectoriel si et seulement si b=0 (il admet alors une suite génératrice composée de n-1 vecteurs).

Un hyperplan de K² est une droite, un hyperplan de K³ est un plan.

Intersection, réunion et somme de sev

Proposition : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels du K-espace vectoriel E.

est un sous-espace vectoriel de E.
n'est pas en général un sous-espace vectoriel de E ; est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si ou .
Le complémentaire de F dans E n'est pas un sous-espace vectoriel de E.

Proposition et définition : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels du K-espace vectoriel E. On note :

Alors F+G est un sous-espace vectoriel de E, appelé le sous-espace somme de F et G. C'est le plus petit sous-espace de E contenant .

Equations de l'intersection et de la somme

Soient F et G deux sev de Kⁿ. Comment déterminer des systèmes d'équations cartésiennes ou paramétriques de et de F+G ?

Il est immédiat d'écrire un système d'équations cartésiennes de , si l'on a des systèmes d'équations cartésiennes (S₁) de F et (S₂) de G : la juxtaposition des équations de (S₁) et de (S₂) fournit un système d'équations cartésiennes de .
Il est immédiat d'écrire un système d'équations paramétriques de F + G, si l'on a des systèmes d'équations paramétriques (ou des suites génératrices) de F et de G : si (u₁, ... , u_p) engendre F et (v₁, ... , v_q) engendre G, alors (u₁, ... , u_p, v₁, ... , v_q) engendre F+G.
Dans d'autres cas, soit on se ramène aux deux cas précédents, soit on résout par Gauss un système linéaire adapté au problème.

Exemple : Intersection d'hyperplans affines

L'intersection d'hyperplans affines de Kⁿ est

soit vide,
soit un sous-espace affine.

L'interprétation géométrique de la résolution d'un système linéaire le montre : les lignes L₁, ... , L_p d'un système linéaire (S) de p équations, n inconnues et à coefficients dans K, représentent des hyperplans affines P₁, ... , P_p de Kⁿ. L'ensemble des solutions représente donc l'intersection de ces hyperplans affines. Si (S) est incompatible, l'intersection est vide, si (S) est compatible, l'intersection est un sous-espace affine de Kⁿ.

Exercices

Attention : les exercices suivants concernent surtout pour l'instant des espaces affines.

Exercices : Voici quelques exercices de changement de types d'équations :

Droites
Droites
Plan
Plan
Hyperplan
Hyperplan

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Dernière modif. 20030218

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Objectifs

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