Fractions rationnelles

Guide

Définition d'un élément simple

On appelle fraction rationnelle (sur RR) toute fonction f définie par une relation de la forme

f(x)=P(x)Q(x)

P et Q sont des polynômes à coefficients réels.


Par exemple,

ou encore

On note (X) l'ensemble des fractions rationnelles sur RR.
On appelle élément simple de (X) une fraction rationnelle d'un des deux types suivants :
  1. type "racine réelle" : a(xu) k avec a et u des nombres réels et k un entier.
    Cet élément simple a pour numérateur une constante et pour dénominateur une puissance d'un polynôme xuu est un réel.
  2. type "racines complexes conjuguées" : ax+b(x 2+px+q) ka, b sont des réels, où p, q sont des réels vérifiant p 24q<0 et où k est un entier naturel non nul. Cet élément simple a pour numérateur un polynôme de degré 1 et pour dénominateur une puissance d'un trinôme sans racine réelle.

Théorème

Théorème

Théorème : Toute fraction rationnelle sur RR s'écrit de façon unique comme somme d'un polynôme (appelé partie entière) et d'éléments simples (appelé partie polaire) dont le type est déterminé par le dénominateur de la fraction rationnelle qu'on décompose.

Cela sera précisé avec les techniques pour les obtenir dans quelques cas particuliers que l'on conseille de regarder d'abord.



Des techniques ou algorithmes plus systématiques sont expliquées d'autre part. Elles sont facilement programmables. Il faut quand même insister sur le fait qu'il y a derrière un problème difficile dont on ne parle pas : trouver les pôles et en particulier les pôles simples de la fraction rationnelle PQ, c'est-à-dire les racines du polynôme Q.
Théorème général de décomposition en éléments simples sur R

Théorème général de décomposition en éléments simples sur R

Soit P(x)Q(x) une fraction rationnelle avec

Q(x)= i=1 r(xu i) n i j=1 s(x 2+p jx+q j) m j

avec les u i des réels, les p j et les q j des réels tels que p j 24q j<0 et les n i et les m j des entiers strictement positifs.
Théorème : Il existe une et une seule décomposition en éléments simples de P(x)/Q(x) et elle est de la forme :

P(x)Q(x)=E(x)+ i=1 r l=1 n iA i,l(xu i) l+ j=1 s k=1 m jB j,k+C j,kx(x 2+p jx+q j) k


avec
De plus si la fraction est irréductible (c'est-à-dire qu'elle ne se simplifie pas), les Ai,ni sont tous non nuls et les polynômes Bj,mj+Cj,mjx sont tous non nuls (c'est-à-dire que soit Bj,mj, soit Cj,mj est non nul)

Calcul de la partie entière

Proposition : La partie entière E(x) de la fraction rationnelle P(x)Q(x) est le quotient de P par Q dans la division euclidienne de P par Q.

Ainsi :

P(x)=E(x)Q(x)+R(x)

avec deg(R)<deg(Q) ) et

P(x)Q(x)=E(x)+R(x)Q(x)


On est alors ramené au cas où le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

Comment faire la division euclidienne ?

Division euclidienne



Faisons la division euclidienne sur des exemples. N'hésitez pas à recommencer . Et allez voir ensuite comment poser la division euclidienne .

Prenons P(x)=, Q(x)= alors :

=()() +()

c'est-à-dire P=EQ+R avec E(x) = et R(x) = . Bien remarquer que le degré de R qui est est strictement inférieur à NaN. Effectuons la division : on écrit avec P=P0 :

P0(x)= Q +


Le degré de P 1= est strictement plus petit que celui de P 0. Il est aussi strictement inférieur à celui de Q, on a donc fini ; le reste est P1= ; le quotient est obtenu en ajoutant les monômes en rouge.
En général, on pose la division euclidienne de la manière suivante

Calcul de la partie polaire

On suppose maintenant que l'on cherche à décomposer la fraction rationnelle P(x)/Q(x) en éléments simples quand deg(P) < deg(Q). Dans cette situation, la partie entière est nulle.
On étudie en détail les cas particuliers suivants et on précise dans ces cas particuliers le théorème

Le degré de Q est 3 et celui de P est inférieur ou égal à 2

Soit une fraction rationnelle P(x)/Q(x) telle que le degré de Q est égal à 3 et le degré de P est au plus égal à 2.
  • Si Q(x) admet 3 racines simples distinctes réelles

    P(x)(xu)(xv)(xw)=Axu+Bxv+Cxw


    Pour calculer A : on utilise la Technique 1

    On multiplie l'égalité donnant la forme de la décomposition rationnelle en éléments simples par (x - u), puis on donne à x la valeur u. On obtient immédiatement Axu.


    et de même pour B et C
    Exemple
  • Si Q(x) admet 1 racine simple et 1 racine double réelle :

    P(x)(xu)(xv) 2=A(xu)+Bxv+C(xv) 2


    Technique

    On calcule A et C par la technique 1 et la technique 2 donne la valeur de A + B.

    Technique 1

    On multiplie l'égalité ci-dessus par (x - v)2, puis on donne à x la valeur v. On obtient immédiatement le coefficient de 1(xv) 2.

    Technique 1

    On multiplie l'égalité donnant la forme de la décomposition rationnelle en éléments simples par (x - u), puis on donne à x la valeur u. On obtient immédiatement Axu.

    Technique 2

    On multiplie l'égalité ci-dessus par x et on fait tendre x vers l'infini.



    Exemple
  • Si Q(x) admet 1 racine simple réelle et 2 racines complexes conjuguées :

    P(x)(xu)(x 2+px+q)=Axu+Bx+Cx 2+px+q


    Technique

    On calcule
    • A par la technique 1

      On multiplie l'égalité donnant la forme de la décomposition rationnelle en éléments simples par (x - u), puis on donne à x la valeur u. On obtient immédiatement Axu.

    • B par la technique 2
      On multiplie l'égalité ci-dessus par x et on fait tendre x vers l'infini.
    • C par la technique 3
      L'égalité de décomposition est vraie pour tout x ; en donnant à x une valeur numérique, on obtient une relation entre les coefficients des numérateurs.


    Exemple
  • Si Q(x) admet 1 racine triple réelle :

    P(x)(xu) 3=Axu+B(xu) 2+C(xu) 3

    Technique

    On peut calculer les trois coefficients A, B et C

    • soit par les techniques précédentes
    • soit en faisant le changement de variable y=xu. Le degré de P est au plus 2 donc P(y+u) s'écrit ay2 + by + c. En divisant par y3=(x-u)3, on obtient

      P(y+a)y 3=ay+by 2+cy 3

      et par unicité de la décomposition, on en déduit a=A, b=B et c=C.

    Exemple
  • Exemple


    Considérons la fraction rationnelle

    On cherche A, B et C tels que

    Donc


    Exemple

    Considérons la fraction rationnelle

    On cherche A et B tels que

    Donc

    Exemple


    Considérons la fraction rationnelle

    On cherche A, B et C tels que

    Ainsi,

    Exemple



    Considérons la fraction rationnelle

    On cherche A, B et C tels que


    On fait le changement de variables x =. On a donc

    Donc


    Algorithme général

    Pour des exemples de décomposition de la fraction P(x)/Q(x), voir Exemple La décomposition en éléments simples de P(x)/Q(x) est obtenue en ajoutant les bouts obtenus. Exemple

    document sur la décomposition des fractions rationnelles dans des cas simples.
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