Fractions rationnelles

Guide

Définition d'un élément simple

On appelle fraction rationnelle (sur RR) toute fonction f définie par une relation de la forme

f(x)=P(x)Q(x)

P et Q sont des polynômes à coefficients réels.


Par exemple,

ou encore

On note (X) l'ensemble des fractions rationnelles sur RR.
On appelle élément simple de (X) une fraction rationnelle d'un des deux types suivants :
  1. type "racine réelle" : a(xu) k avec a et u des nombres réels et k un entier.
    Cet élément simple a pour numérateur une constante et pour dénominateur une puissance d'un polynôme xuu est un réel.
  2. type "racines complexes conjuguées" : ax+b(x 2+px+q) ka, b sont des réels, où p, q sont des réels vérifiant p 24q<0 et où k est un entier naturel non nul. Cet élément simple a pour numérateur un polynôme de degré 1 et pour dénominateur une puissance d'un trinôme sans racine réelle.

Théorème

Théorème

Théorème : Toute fraction rationnelle sur RR s'écrit de façon unique comme somme d'un polynôme (appelé partie entière) et d'éléments simples (appelé partie polaire) dont le type est déterminé par le dénominateur de la fraction rationnelle qu'on décompose.

Cela sera précisé avec les techniques pour les obtenir dans quelques cas particuliers que l'on conseille de regarder d'abord.



Des techniques ou algorithmes plus systématiques sont expliquées d'autre part. Elles sont facilement programmables. Il faut quand même insister sur le fait qu'il y a derrière un problème difficile dont on ne parle pas : trouver les pôles et en particulier les pôles simples de la fraction rationnelle PQ, c'est-à-dire les racines du polynôme Q.
Théorème général de décomposition en éléments simples sur R

Théorème général de décomposition en éléments simples sur R

Soit P(x)Q(x) une fraction rationnelle avec

Q(x)= i=1 r(xu i) n i j=1 s(x 2+p jx+q j) m j

avec les u i des réels, les p j et les q j des réels tels que p j 24q j<0 et les n i et les m j des entiers strictement positifs.
Théorème : Il existe une et une seule décomposition en éléments simples de P(x)/Q(x) et elle est de la forme :

P(x)Q(x)=E(x)+ i=1 r l=1 n iA i,l(xu i) l+ j=1 s k=1 m jB j,k+C j,kx(x 2+p jx+q j) k


avec
De plus si la fraction est irréductible (c'est-à-dire qu'elle ne se simplifie pas), les Ai,ni sont tous non nuls et les polynômes Bj,mj+Cj,mjx sont tous non nuls (c'est-à-dire que soit Bj,mj, soit Cj,mj est non nul)

Calcul de la partie entière

Proposition : La partie entière E(x) de la fraction rationnelle P(x)Q(x) est le quotient de P par Q dans la division euclidienne de P par Q.

Ainsi :

P(x)=E(x)Q(x)+R(x)

avec deg(R)<deg(Q) ) et

P(x)Q(x)=E(x)+R(x)Q(x)


On est alors ramené au cas où le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

Comment faire la division euclidienne ?

Division euclidienne



Faisons la division euclidienne sur des exemples. N'hésitez pas à recommencer . Et allez voir ensuite comment