Algèbre linéaire : applications linéaires

Objectifs

Guide

Définitions

Définition d'une application linéaire

Définition. Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps K. Une application f est une application linéaire si :
  1. pour tous u et v dans E, f(u+v)=f(u)+f(v) ;
  2. pour tous u dans E et lambda dans K, : f(λu)=λf(u).

Cas particuliers. Soit f une application linéaire.

On note L(E,F) l'ensemble de toutes les applications linéaires de E dans F. Si E=F, on note L(E,F)=L(E).

Propriétés

Proposition Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et f  une application linéaire. Alors :
  1. f(0)=0 et pour tout u in E, f(u)=f(u).
  2. Pour tous λ 1,λ 2,λ n dans K et u 1,u 2,...,u n dans E, on a :

    f(λ 1u 1+λ 2u 2++λ nu n)=λ 1f(u 1)+λ 2f(u 2)++λ nf(u n).

  3. Si G est un sous-espace vectoriel de E, alors f(G) est un sous-espace vectoriel de F.

Proposition(définition équivalente d'application linéaire) Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K. Une application f:EF est une application linéaire si et seulement si

pour tous u et v dans E et lambda in K, f(λu+v)=λf(u)+f(v).


Exercice : Image d'un vecteur par une application linéaire

Exemples


Identification

Les isomorphismes nous permettront d'identifier deux espaces vectoriels. Ainsi, on ne peut pas dire que la droite D engendré par le vecteur (1,1) (géométriquement, la première bissectrice du plan 2) "est" RR : D n'est pas un ensemble de nombres, mais un ensemble de couples. Par contre, " D est isomorphe à RR" est le langage qui traduit le fait que, abstraction faite de la nature des éléments de RR et de D, ces deux espaces vectoriels ont les mêmes propriétés ou le même "comportement".
C'est bien une identification, pas une égalité : on aurait aussi pu considérer la droite comme engendrée par le vecteur (6,6) et l'isomorphisme de RR dans D (c'est-à-dire l'identification de RR avec D) aurait alors été l'isomorphisme

D λ (6λ,6λ)

et donc un autre isomorphisme.

Noyau et image

Noyau et image

Proposition et définition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et f une application linéaire.
  1. L'ensemble Kerf= {uE,f(u)=0} est un sous-espace vectoriel de E, appelé le noyau de f.
  2. L'ensemble Imf=f(E)={f(u),uE} est un sous-espace vectoriel de F, appelé l'image de f.

Exercice : Image réciproque par une application linéaire

Injectivité, surjectivité

Proposition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et f une application linéaire.
  1. f est injective si et seulement si Kerf = {0}.
  2. f est surjective si et seulement si Imf=F.
  3. f est un isomorphisme si et seulement si Kerf={0} et Imf=F.

Proposition et définition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et f une application linéaire. On suppose que E est de dimension finie n * et que (a 1,a 2,...,a n) est une base de E. Alors (f(a 1),f(a 2),...,f(a n)) est une suite génératrice de Imf. Par conséquent le sous-espace Imf est de dimension finie. On appelle rang de f, et on note rang(f), la dimension de Imf.

Bases et propriétés d'une application linéaire

Lorsque l'espace vectoriel de départ E d'une application linéaire f est de dimension finie, l'on peut "tester" des propriétés de f d'après l'action de f sur les vecteurs d'une base de E, comme le précise la proposition suivante.
Proposition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et f une application linéaire. Supposons que E est de dimension finie n non nulle et que (a 1,a 2,...,a n) est une base de E.
  1. f est injective si et seulement si (f(a 1),f(a 2),...,f(a n)) est une suite libre de F.
  2. f est surjective si et seulement si (f(a 1),f(a 2),...,f(a n)) engendre F.
  3. f est un isomorphisme si et seulement si (f(a 1),f(a 2),...,f(a n)) est une base de F.

Exemple

Exemple : Soient a in RR et f: 3 3 l'application linéaire définie pour tout (x,y,z) 3 par f((x,y,z))=(2x+yz,yz,az). Soient b in RR et P le plan vectoriel de 3 d'équation x2y+bz=0. On veut déterminer, suivant les valeurs de a et b, le sous-espace vectoriel f(P) de 3. Déterminons une base de P. Les vecteurs u=(2,1,0) et v=(b,0,1) sont deux vecteurs non colinéaires de P, donc (u,v) est une base de P. D'après la proposition,
L'image d'une base par une application linéaire est une suite génératrice de l'image de l'application linéaire.
(f(u),f(v)) est une suite génératrice de f(P). Il y a plusieurs cas :

Exercices

Exercices : ces deux exercices utilisent la matrice associée à une application linéaire.

Exercice : Image et noyau

Exercice : Image et noyau : application linéaire dépendant d'un paramètre

Matrices

Matrice et application linéaire

Soient E et F deux espaces de dimension finie. La présence de bases dans E et F va nous permettre d'associer à toute application linéaire de E dans F une matrice.
Définition Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie n in * et p in *, respectivement. Soit f une application linéaire. Choisissons une base =(u 1,u 2,...,u n) de E et une base =(u 1,u 2,...,u p) de F. On appelle matrice de f dans les bases et la matrice AM p,n(K), notée M (f) (ou parfois M(f,,)), dont la j -ième colonne est constituée par les coordonnées du vecteur f(a j) dans la base , 1 leq j leq n.
Lorsque E=F et =, on note M (f)=M (f). La matrice M (f) est une matrice carrée d'ordre n. Si on a, pour 1jn :

f(u j)=a 1ju 1+a 2ju 2++a pju p,

c'est-à-dire, si a 1j,a 2j,,a pj sont les coordonnées du vecteur f(u j) dans la base , alors :

M (f)=A=(a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a p1 a p2 a pn)

Exemple générique

Prenons n=4 et p=5. Si on a

f(u 1)=a 11u 1 +a 21u 2 +a 31u 3 +a 41u 4 +a 51u 5
f(u 2)=a 12u 1 +a 22u 2 +a 32u 3 +a 42u 4 +a 52u 5
f(u 3)=a 13u 1 +a 23u 2 +a 33u 3 +a 43u 4 +a 53u 5
f(u 4)=a 14u 1 +a 24u 2 +a 34u 3 +a 44u 4 +a 54u 5

c'est-à-dire, si a 1j, a 2j, a 3j, a 4j, a 5j sont les coordonnées du vecteur f(u j) dans la base , alors :

M (f)=(a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a 51 a 52 a 53 a 54)

Exemple numérique

Prenons n=3 et p=3. Si on a

f(u 1)=u 1 + u 2 + u 3
f(u 2)=u 1 + u 2 + u 3
f(u 3)=u 1 + u 2 + u 3

la matrice de f dans les bases et est

[] .

C'est une matrice ayant 3 lignes et 3 colonnes.
Exercice : Matrice associée à une application linéaire

Notation matricielle et systèmes linéaires

Pour tous x=x 1u 1+...+x nu n in E et y=y 1u 1+...+y pu p in F, on note X =[x j] 1jn et Y =[y i] 1ip les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs x dans la base et y dans la base , respectivement. Si A=M (f), on a alors :

f(x)=yAX =Y


Autrement dit, si A est la matrice de l'application linéaire f dans les bases de E et de F :
résoudre l'équation f(x)=y (où y in F est donné et x in E est l'inconnue) équivaut résoudre le système linéaire AX =Y
déterminer le noyau Ker f équivaut résoudre le système linéaire homogène AX =0 ; on obtient alors une base de Ker f, un système d'équations paramétriques de Ker f et un système d'équations cartésiennes de Ker f
déterminer le rang de f, une base et un système d'équations paramétriques de Im f équivaut déterminer le rang de la matrice A c'est-à-dire le rang de la suite des vecteurs colonnes de A
déterminer un système d'équations cartésiennes de Im f équivaut chercher les conditions de compatibilité du système linéaire AX =Y

Matrices et composition : le problème

Question : Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels de dimensions finies, munis des bases , et , respectivement. Soient A=M (f), B=M (g), C=M (gf). Peut-on calculer C à partir de A et B ? Autrement dit, y a-t-il une opération sur des matrices qui correspond à la composition des applications linéaires qu'elles représentent ?
Exemple : Soient fL( 2, 3) et gL( 3, 2) dont les matrices, par rapport aux bases canoniques =(e 1,e 2) de 2 et =(e 1,e 2,e 3) de 3 sont, respectivement :

B=M (f)=(1 2 0 1 1 0)A=M (g)=(1 2 3 0 1 1)

Peut-on calculer la matrice C=M (gf) à partir des matrices A et B ?

Produit de matrices

Définition Soient A=(a ik)M p,n(K) et B=(b kj)M n,q(K). On appelle produit de la matrice A par la matrice B, et on note AB, la matrice C=(c ij)M p,q(K) définie par :

c ij= 1kna ikb kj,1ip,1jq

Le produit AB n'est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le produit de deux matrices carrées de même ordre est toujours défini.
Exemple :
    B=
A=    AB=

Exercices sur le produit de matrices

Exercice : Trouver deux matrices dont le produit est donné II

Exercice : Trouver deux matrices dont le produit est donné II

Matrices et composition : théorème

Proposition : Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur le corps K, de dimension finie q,n et p, munis des bases , et respectivement. Si f in L(E,F) et g in L(F,G), alors :

M (gf)=M (g)M (f).


La situation peut être visualisée :

E f F g G

Corollaire : Soient p,n,q,r des entiers strictement positifs. Si A, A 1 et A 2 sont dans M p,n(K), B, B 1 et B 2 sont dans M n,q(K), CM q,r(K) et lambda in K, on a :

Corollaire : Soit n *. L'ensemble M n(K), muni de l'addition et du produit de matrices :

(A,B)A+B ) et (A,B)AB


est un anneau (non commutatif en général), dont l'élément unité est la matrice identité d'ordre n, notée I n.

Prolongement par linéarité

Prolongement par linéarité

Comment "fabriquer" des applications linéaires ? Y a-t-il "peu" ou "beaucoup" d'applications linéaires entre deux K-espaces vectoriels ? Nous allons y répondre quand l'espace de départ est de dimension finie.
Théorème : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K. Supposons que E est de dimension finie n *. Soient (a 1,a 2,...,a n) une base de E et (b 1,b 2,...,b n) une suite quelconque de vecteurs de F. Alors il existe une et une seule application linéaire f telle que :

f(a i)=b i , 1 leq i leq n


Corollaire : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Supposons que E est de dimension finie et qu'il existe un isomorphisme de E sur F. Alors F est de dimension finie, dimF=dimE et il existe un isomorphisme de F dans E.

Définition : Deux K-espaces vectoriels E et F sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme de E sur F.

C'est le corollaire qui justifie cette définition, lorsque E est de dimension finie ; lorsque ce n'est pas le cas, nous verrons un peu plus tard que l'application réciproque d'un isomorphisme est toujours un isomorphisme.
Corollaire : Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie n * et p in *, respectivement. Soit f une application linéaire. Choisissons une base =a 1,a 2,...,a n) de E et une base =(a 1,a 2,...,a p) de F. L'application T:L(E,F)M p,n(K) qui à toute application linéaire f in L(E,F) fait correspondre la matrice M (f) de f dans les bases et est une application bijective.

Exemple de prolongement

Exemple : Soient u=(1,1) et v=(a,2) deux vecteurs de 2. Existe-t-il un et un seul endomorphisme f de 2 tel que f(u)=(2,3) et f(v)=(b,6) in 2 ? Si oui, calculer f(x,y), pour (x,y) 2.

On conclut qu'il existe un et un seul endomorphisme f de vérifiant les conditions données si et seulement si a neq -2.

Exercice sur le prolongement

Exercice Existence d'une application linéaire

Le théorème du rang

Théorème du rang

Un théorème important dont la démonstration utilise la notion de supplémentaire est le théorème du rang.
Théorème : Soient E et F deux K-espaces vectoriels, avec E de dimension finie et f une application linéaire. Alors Im f est un sous-espace vectoriel de F de dimension finie et on a :

dim E = dim Ker f + rang f


Corollaire fondamental : Soient E et F deux K-espaces vectoriels de même dimension finie n et f une application linéaire. Les conditions suivantes sont équivalentes :
  1. f est un isomorphisme de E sur F.
  2. f est injective.
  3. f est surjective.

Exemple d'application du théorème du rang

Application. Le TNI permet de résoudre certains exercices avec peu de calculs. Par exemple, soit l'application linéaire dont la matrice, par rapports aux bases canoniques de et , est

.

Déterminons Ker f.
Allons-y.
La matrice A, donc f, a rang 2. D'après le TNI, dim Ker f = 3 - 2 = 1, donc Ker f est une droite vectorielle de . Notons (e1 , e2 , e3) la base canonique de , on "voit" que , d'où est un vecteur non nul de Ker f, qui est de dimension 1, donc u est une base de Ker f et

.

Changement de bases

Matrice de changement de bases : propriétés

Si iE est l'application identique, on a e'j=iE(e'j), , donc P est la matrice de l'application iE dans les bases de E (en tant qu'espace de départ) et de E (en tant qu'espace d'arrivée). Cette interprétation de P est fort importante dans la plupart des raisonnements sur les matrices de changement de base :

.

Remarque : On a , la matrice identité d'ordre n. La matrice P est la matrice de iE lorsqu'on considère dans l'espace de départ "la nouvelle base" et dans l'espace d'arrivée "l'ancienne base" . Donc, P est la matrice des "nouveaux vecteurs"de base, par rapport aux "anciens" vecteurs de base.

Proposition : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie , et deux bases de E. La matrice P in Mn(K) de passage de la base à la base est inversible et est la matrice de passage de la base à la base .

Changements de base sur les vecteurs

Proposition : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie , et deux bases de E et x in E. Notons X et X' les matrices colonnes des coordonnées du vecteur x dans les bases et , respectivement. Alors :

X = P X' et X' = P-1 X


Exercice : Changement de bases sur les vecteurs

Changement de bases sur les matrices

Proposition : Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies n et p, respectivement. Soient et deux bases de E, et deux bases de F, P in Mn(K) (resp. Q in Mp(K)) la matrice de passage de passage de la base à la base (resp. de la base à la base ). Soient f in L(E,F), et . Alors :

A' = Q-1 A P


Corollaire. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n, et deux bases de E. Soient f in L(E,F), et . Soit P in Mn(K) la matrice de passage de passage de la base à la base . Alors :

A' = P-1 A P

Exercices sur le changement de base

Exercices :

Matrice de changement de bases : définition

Questions Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, munis des bases et , respectivement. Comment changent les coordonnées d'un vecteur de E lorsqu'on change de base dans E ? Comment change la matrice de f in L(E,F) lorsqu'on change de base dans E et dans F ? Nous allons voir que les changements de base s'expriment par des produits de matrices.
Définition : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie , = (u1, u2, ... , un) et deux bases de E. La matrice

dont la j-ième colonne est constituée par les coordonnées du vecteur u'j dans la base , , est appelée la matrice de passage de la base à la base . Si on a, pour :

u'j = pj u1 + p2j u2 + ... + pn j un,

c'est-à-dire, si , p2j, ..., pn j sont les coordonnées du vecteur u'j dans la base , alors :

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