Algèbre linéaire : applications linéaires
Objectifs
Guide
On note
L(E,F) l'ensemble de toutes les applications linéaires de
E dans
F.
Si
E = F, on note
L(E,F) = L(E).
.
pour tous
u et
v dans
E et
C'est bien une identification, pas une égalité :
on aurait aussi pu considérer la droite comme engendrée par le vecteur
(2 , 2) et l'isomorphisme de
Ker
) ;
,
Définitions
Définition d'une application linéaire
dans K,
.
Propriétés
E,
f(-u) = -f(u).
K,
.Exemples
E par :
Mp,n(K). L'application
f: Mn,1 
Mp,1,
, est une application linéaire.
par
(7,-6) est un isomorphisme du -ev de dimension un sur le sev
D de dimension un du -ev
.
Identification
Les isomorphismes nous permettront d'identifier deux espaces vectoriels.
Ainsi, on ne peut pas dire que la droite
D engendré par le vecteur
(1 , 1)
(géométriquement, la première bissectrice du plan
) "est" :
D n'est pas un ensemble de nombres,
mais un ensemble de couples. Par contre, "
D est isomorphe à " est le langage
qui traduit le fait que, abstraction faite de la nature des éléments de
et de
D,
ces deux espaces vectoriels ont les mêmes propriétés ou le même "comportement".
dans
D (c'est-à-dire l'identification de avec
D)
aurait alors été l'isomorphisme
Noyau et image
Noyau et image
Injectivité, surjectivité
et que
(a1 , a2, ... , an) est une base de
E. Alors
(f(a1) , f(a2) , ... , f(an)) est une suite génératrice
de
. Par conséquent le sous-espace
est de dimension
finie. On appelle rang de
f, et on note
rang(f), la dimension de
.
Bases et propriétés d'une application linéaire
Lorsque l'espace vectoriel de départ
E d'une application linéaire
f est de dimension finie, l'on peut "tester" des propriétés de
f d'après l'action de
f sur les vecteurs d'une base de
E,
comme le précise la proposition suivante.
Exemple
et
l'application linéaire
définie pour tout
par
f((x,y,z)) = (2x + y -z , y - z, a z). Soient
b et
P le plan vectoriel de
d'équation
x - 2y + b z = 0. On veut déterminer, suivant les valeurs de
a et
b, le sous-espace vectoriel
f(P) de
.
Déterminons une base de
P. Les vecteurs
u = (2 , 1 , 0) et
v = (-b , 0, 1) sont deux vecteurs non colinéaires de
P, donc
(u,v)
est une base de
P. D'après la
proposition,
.
Exercices
Matrices
Matrice et application linéaire
Soient
E et
F deux espaces de dimension finie. La présence de bases
dans
E et
F va nous permettre d'associer à toute
application linéaire de
E dans
F une matrice.
et
p
, respectivement. Soit
-6 une application linéaire. Choisissons une base
=
(u1, u2, ... , un) de
E et
une base ' =
(u'1, u'2, ... , u'p) de
F.
On appelle matrice de
f dans les bases
et
la matrice
, notée
(ou parfois
),
dont la
j -ième colonne est constituée par les coordonnées du vecteur
f(aj)
dans la base ', 1 
j
n.
= ', on note
.
La matrice
est une matrice carrée d'ordre
n.
Si on a, pour 1
j
n :
Exemple générique
Prenons
n=5 et
p=5. Si on a
| résoudre l'équation
f(x) = y
(où
y
F est donné et
x
E est l'inconnue) |
équivaut | résoudre le système linéaire | |
| déterminer le noyau Ker f | équivaut | résoudre le système linéaire homogène ; | on obtient alors une base de Ker f, un système d'équations paramétriques de Ker f et un système d'équations cartésiennes de Ker f |
| déterminer le rang de f, une base et un système d'équations paramétriques de Im f | équivaut | déterminer le rang de la matrice A | c'est-à-dire le rang de la suite des vecteurs colonnes de A |
| déterminer un système d'équations cartésiennes de Im f | équivaut | chercher les conditions de compatibilité du système linéaire |
Le produit
A B n'est défini que si le nombre de colonnes de
A est égal au nombre de lignes de
B. Le produit de deux matrices carrées de même ordre est toujours défini.
La situation peut être visualisée :
) et
est un anneau (non commutatif en général),
dont l'élément unité est la matrice identité d'ordre
n, notée
In.
C'est le corollaire qui justifie cette définition, lorsque
E
est de dimension finie ; lorsque ce n'est pas le cas, nous verrons
un peu plus tard que l'application réciproque d'un isomorphisme est
toujours un isomorphisme.
On conclut qu'il existe un et un seul endomorphisme
f de
vérifiant les conditions données si et seulement si
a
dim
E = dim Ker
f + rang
f
.
u'j =
u1 + p2j u2 + ... + pnj un,
.
X = P X' et
X' = P-1 X
Matrices et composition : le problème
Question : Soient
E,
F et
G
trois
K-espaces vectoriels de dimensions finies, munis des bases
, ' et ", respectivement. Soient
,
,
. Peut-on calculer
C à partir de
A et
B ? Autrement dit,
y a-t-il une opération sur des matrices qui correspond à
la composition des applications linéaires qu'elles représentent ?
=
(e1 , e2) de
et ' =
(e'1,e'2,e'3) de
sont, respectivement :
Produit de matrices
B =
A =
AB = Exercices sur le produit de matrices
Matrices et composition : théorème
, ' et
'' respectivement. Si
f
L(E,F) et
g
L(F,G),
alors :
M_(q,r)(K)) et
K, on a :
.
Prolongement par linéarité
Prolongement par linéarité
Comment "fabriquer" des applications linéaires ? Y a-t-il "peu" ou
"beaucoup" d'applications linéaires entre deux
K-espaces vectoriels ?
Nous allons y répondre quand l'espace de départ est de dimension finie.
i
n
, respectivement. Soit
-6 une application linéaire.
Choisissons une base =
(a1, a2, ... , an) de
E
et une base ' =
(a'1, a'2, ... , a'p) de
F.
L'application
M
(K) qui
à toute application linéaire
f
L(E,F) fait correspondre
la matrice
de
f dans les bases et
' est une application bijective.
Exemple de prolongement
? Si oui, calculer
f(x , y), pour
.
-2.
Exercice sur le prolongement
Le théorème du rang
Théorème du rang
Un théorème important dont la démonstration utilise la notion de supplémentaire est le théorème du rang
Exemple d'application du théorème du rang
Changement de bases
Matrice de changement de bases : définition
et
1,
respectivement. Comment changent les coordonnées d'un vecteur de
E lorsqu'on change de base dans
E ? Comment change la matrice de
f
L(E,F) lorsqu'on change de base dans
E et dans
F ?
Nous allons voir que les changements de base s'expriment par des produits de matrices.
, =
(u1, u2, ... , un) et ' =
(u'1, u'2, ... , u'p)
deux bases de
E. La matrice
, 1
j
n, est appelée la matrice de passage
de la base à la base '. Si on a, pour 1
j
n :
, alors :
Matrice de changement de bases : propriétés
Si
iE est l'application identique, on a
e'j=iE(e'j),
1
j
n, donc
P est la matrice de l'application
iE dans les bases ' de
E (en tant qu'espace de départ) et
de
E (en tant qu'espace d'arrivée). Cette interprétation de
P est fort importante dans la plupart des raisonnements sur les
matrices de changement de base :
' et dans l'espace d'arrivée "l'ancienne base"
'. Donc,
P est la matrice des "nouveaux vecteurs"de base,
par rapport aux "anciens" vecteurs de base.
et ' deux bases de
E. La matrice
P
Mn(K)
de passage de la base à la base ' est inversible et
est la matrice de passage de la base ' à la base .
Changements de base sur les vecteurs
et ' deux bases de
E et
x
E. Notons
X et
X' les matrices colonnes des coordonnées du vecteur
x dans les bases et ', respectivement. Alors :
et 
1 et