Changement de variables

	par	u
	par	du
les bornes a et b	par	et .

On obtient ainsi une nouvelle intégrale égale à l'intégrale .

Remarque : Quand x vaut a, la nouvelle variable vaut ...

Exemple

Pour voir le théorème en même temps.

Soit

une fonction réelle de classe C¹ définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

Calculons dx. La fonction à intégrer est de la forme f(sin(x) ) où est la dérivée de et où f est la fonction définie par f(u)= u³. On fait donc le changement de variable u=sin(x) :

On prend f(u)=u³ et .
On vérifie que est une fonction C¹ sur l'intervalle [2 ,4].
On vérifie que f est une fonction continue sur l'intervalle .
Puis on remplace

sin(x)   par    u

dt   par    du

les bornes 2 et 4   par    sin(2 ) et sin(4)

On obtient donc :

Cas où le changement de variables n'est pas évident

On peut aussi utiliser la formule du théorème

Soit

une fonction réelle de classe C¹ définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

de la droite vers la gauche. Pour calculer où f est une fonction continue sur , on a envie de poser .

Contrairement à ce qu'il est souvent écrit, on n'a pas besoin de définir la fonction réciproque de varphi . Par contre, il est essentiel de trouver un intervalle [a,b] tel que

la fonction est définie, de classe C¹ sur [a,b] et vérifie et
la fonction f est continue sur (attention, peut être plus grand que ).

On peut alors appliquer le théorème

Soit

une fonction réelle de classe C¹ définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

pour faire le changement de variable : .

Concrètement, une fois choisie la fonction varphi

on choisit a et b vérifiant et et on détermine l'intervalle ;
on vérifie que est C¹ sur l'intervalle [a,b] ;
on vérifie que f est une fonction continue sur ; c'est immédiat dans le cas ;
on remplace

x par

dx par

les bornes et par a et b

On obtient ainsi une nouvelle intégrale égale à l'intégrale .

Remarque :

En général, on choisit a et b de manière à ce que la fonction soit bijective de [a,b] sur [,], et en particulier tel que soit égal à : par exemple dans le cas où le changement de variables est x=cos(u) avec les bornes =0 et , personne n'aurait l'idée saugrenue de prendre a= -59/2 et b=80 si la fonction f est définie sur . Mais c'est permis !
En aucun cas, il n'est nécessaire que la réciproque de soit C¹.

Exemple typique Exercices corrigés

Exemple typique

Pour voir le théorème.

Soit

une fonction réelle de classe C¹ définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

On veut calculer l'intégrale . On a envie de poser x=cos( t) et de prendre comme fonction varphi la fonction définie par sur un intervalle à déterminer.

La fonction est C¹ sur . On choisit deux nombres a et b tel que cos(a)= -1 et cos(b)=1 , a= et b=0 par exemple.,
On peut aussi prendre a= -3 et b= -4 ; mais bien sûr, jamais personne ne fera cela !

L'image de est de toute façon contenue dans [-1,1] (et même égale).

La fonction f définie sur [-1,1] par est continue sur [-1,1] ;

On obtient par le théorème :

On dit ici que l'on fait le changement de variables x=cos(t) pour t compris entre 0 et

. Il ne reste plus qu'à finir les calculs.

Sur l'intervalle [0,], la fonction sin est positive, on a donc :

Remarquons que si on avait pris les bornes saugrenues a= -3 et b= -4, la fonction sin n'aurait pas été positive entre -3 et -4 et le calcul aurait été moins simple !

Exercices corrigés

Exercice : Vous voulez calculer l'intégrale . Le théorème justifie-t-il le changement de variables x=cos(t) pour t compris entre 4

et 3

/2 ? Que vaut l'intégrale transformée ?

Solution

Oui, le théorème s'applique :

la fonction définie sur l'intervalle [ 3/2,4] par (t)=cos(t) est C¹.
Son image est contenue dans l'intervalle [-1,1]. On a cos(3/2)=0 , cos(4 )=1
La fonction f définie sur [-1,1] par est continue sur [-1,1].

L'intégrale I est égale à

Bien que correct, le choix de cet intervalle est tout à fait déconseillé car la suite des calculs serait très compliquée puisqu'il faudrait séparer en intervalles où sin est de signe constant pour calculer .

Exercice : Soit . Le théorème justifie-t-il le changement de variables x=Arctan(2t) ? Que choisirez-vous pour les bornes a et b de la nouvelle intégrale ?

Solution

Non, je ne peux pas trouver de nombres a et b vérifiant les deux conditions suivantes

Arctan(a)=0, Arctan(b)=
la fonction est définie et C¹ sur l'intervalle [a,b] (ou [b,a]).

Par contre en transformant astucieusement, on peut utiliser dans ce cas le changement de variable dit évident ou conseillé, c'est-à-dire transformer 1/(2+cos(x)) par les formules de trigonométrie jusqu'à tomber sur une expression de la forme . Sur quel intervalle peut-on alors prendre comme fonction varphi la fonction donnée par = tg(x/2) ?

Changement de variables dans une primitive

Pour le calcul de la primitive sur l'intervalle [c,d] (avec ), on applique le changement de variable si on peut

choisir un y vérifiant et un tel que
vérifier que est C¹ sur (ou )
vérifier que f est une fonction continue sur .

Pour remplir ces conditions, on est donc amené à choisir un changement de variable varphi bijectif sur [c,d] afin de pouvoir considérer la fonction réciproque psi de varphi sur .

Concrètement,

pour tout x de [c,d], on pose y=(x)
on vérifie que est C¹ sur
on vérifie que f est continue sur [c,d].

La primitive F est alors définie sur [c,d] et on a en tout point x de [c,d]

Exemple : Le changement de variable u=cos(t) appliqué à t compris entre

/2 et Arccos(x) donne (par définition de Arccos, sin(t) est toujours positif ou nul pour t compris entre

/2 et Arccos(x)) :

Exercices interactifs

Exercice : Dérivation d'une intégrale fonction des bornes

Exercice : Intégration interactive : changement de variables

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Dernière modif. 20030824

Changement de variables

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