OEF factoris
--- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 15 exercices élémentaires sur la factorisation des entiers : existence, unicité, rapport avec pgcd et ppcm, etc.

Nombre de diviseurs

Donner un entier naturel ayant exactement diviseurs (y compris 1 et lui-même) et qui est divisible par au moins deux trois nombres premiers distincts.

Diviseurs d'un entier

Soit un entier ayant exactement 3 facteurs premiers distincts :

On sait que a diviseurs de plus que et que a diviseurs de plus que .

Donner toutes les possibilités pour , , (séparés par des virgules) par ligne par ordre croissant de .

Division

Nous avons un entier dont la factorisation en nombres premiers est de la forme

= ×× .

Sachant que divise , que vaut  ?

Diviseur

Nous avons un entier dont la factorisation en nombres premiers est de la forme

= .

Sachant que divise , que vaut  ?

Somme de factorisations

Soient et deux entiers positifs , ayant des factorisations comme suit :

= 123 , = 124 ,

où les facteurs i sont des nombres premiers distincts.

Peut-on avoir une factorisation de la forme

| | = 123 ,

où les i sont des nombres premiers distincts ?

Trouver facteurs II

Voici la factorisation en facteurs premiers de deux entiers :

=    ,    = ,

où les facteurs , sont distincts. Trouver ces facteurs.

Trouver facteurs III

Voici la factorisation en facteurs premiers de deux entiers :

=    ,    = ,

où les facteurs , , sont distincts. Trouver ces facteurs.

pgcd

Soient m, n deux entiers positifs avec les factorisations suivantes.

m = , n = ,

où , , sont des nombres premiers distincts.

Calculer pgcd(m,n) en fonction de , , .

ppcm

Soient m, n deux entiers positifs avec les factorisations suivantes.

m = , n = ,

où , , sont des nombres premiers distincts.

Calculer ppcm(m,n) en fonction de , , .

Maximum de facteurs

Soit un entier ayant chiffres décimaux. Sachant que n'a pas de facteur premier < , combien de facteurs premiers peut-il avoir au maximum ?

Nombre de diviseurs II

Soit un entier positif avec la factorisation suivante en facteurs premiers distincts.

= 1 2

Quel est le nombre de diviseurs de  ? (Un diviseur de est un entier positif qui divise , y compris 1 et lui-même.)

Nombre de diviseurs III

Soit un entier positif avec la factorisation suivante en facteurs premiers distincts.

= 1 2 3

Quel est le nombre de diviseurs de  ? (Un diviseur de est un entier positif qui divise , y compris 1 et lui-même.)

Divisions d'essai

On a un entier < , et on veut trouver un facteur premier de en essayant de diviser successivement par 2,3,4,5,6,... Sachant que a une factorisation en nombres premiers de la forme

= 11 22 ... tt

où la somme des puissances 1+2+...+t = , (mais où les facteurs i sont inconnus) quel est le dernier diviseur qu'on doit essayer (sans se poser la question si ce diviseur est premier ou pas), dans le pire des cas ?

Deux facteurs

Calculer le nombre d'entiers positifs dont la factorisation en nombres premiers est de la forme

= × ,

où les puissances et sont des entiers .

Deux facteurs II

Calculer le nombre d'entiers positifs dont la factorisation en nombres premiers est de la forme

= × ,

où les puissances et sont des entiers .

D'autres exercices sur : factorisation   entiers   arithmétique  

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