Polyèdres convexes semi-réguliers
Sommaire
Le but de ce document est de décrire les polyèdres convexes semi-réguliers.
- Polyèdres convexes
- Les polyèdres réguliers ou solides de Platon.
- Les polyèdres semi-réguliers
- Exercices de synthèse
- Index des polyèdres
- Références
Ce document accompagne une partie du cours de géométrie de la licence scientifique générale (L3 pour des futurs professeurs des écoles à l'université Paris-Sud) .
La référence [DP] est le livre de Daniel PERRIN, Mathématiques d'école, nombres, mesures et géométrie (Editions Cassini).
Pour voir un polyèdre, cliquez sur son nom et soyez patient. Les figures mobiles utilisées pour illustrer ce document sont issues de l' outil polyèdres créé par Bernadette PERRIN-RIOU sans lien de parenté avec le précédent .
Exercice : Explicitez cette définition pour un cube, une pyramide.
On appellera patron du sommet A du polyèdre P une figure plane de toutes les faces aboutissant en A obtenue après découpage selon une arête aboutissant en A et mise à plat.
Voici le patron d'un sommet de cube :
Aidez vous d'un tel patron pour visualiser la règle de la somme des angles.
Une démonstration de cette règle assez évidente visuellement est proposée dans l'annexe de [DP IX].
La somme des angles en un sommet de cube est 270°.
Pour un cube, on a : s = 8, a = 12 et f = 6.
On dit qu'un polyèdre P convexe est
régulier si les faces
de P sont des polygones réguliers ayant tous le même
nombre p de côtés et si en chaque sommet de P aboutissent
le même nombre q de faces (ou d'arêtes).
Notation : Un polyèdre
régulier est
caractérisé par la liste de ses faces (notées par
leurs nombres de côtés) en un sommet. On appellera symbole du polyèdre cette liste (voir la
définition générale du
symbole
). Par exemple, le
polyèdre dont toutes les faces sont des triangles qui se
groupent par 4 en chaque sommet se note (3,3,3,3) .
Histoire : Les polyèdres
convexes réguliers sont aussi
appelés solides de Platon (voir [DP IX introduction])
En utilisant la
formule d'Euler
, on détermine à partir du
symbole
d'un polyèdre régulier (ou liste des faces en un sommet) le nombre
s de ses sommets,
a de ses arêtes,
f de ses faces (voir démonstration de [DP IX.3.3]). Ensuite, il reste à le construire. Le symbole
détermine complètement le polyèdre régulier et son nom dépend du nombre de ses faces :
Connaître le dual d'un polyèdre régulier permet de retenir son nombre de sommets, le nombre de faces étant indiqué par le nom d'un polyèdre régulier, il suffit de connaître la formule d'Euler pour calculer le nombre d'arêtes. Evidemment, un polyèdre et son dual ont même nombre d'arêtes (
Les nombres de sommets et de faces étant échangés, la formule d'Euler donne le même nombre d'arêtes.
).
Définitions et premières propriétés.
Nous rappellons ici les définitions et les résultats
présentés dans [DP IX.1 et 2].
Définition : Polyèdre convexe
Propriétés
Règle de la somme des angles
Patron d'un sommet
Règle de la somme des angles
Formule d'Euler
Pour une pyramide à base pentagonale, on a : s = 6, a = 10 et f = 6.
Polyèdres réguliers : Définition et possibilités
Nous rappellons ici les définitions et les résultats
présentés dans [DP IX.3].
Définition : Polyèdre convexe régulier
Les possibilités
En respectant la
règle de la somme des angles
, combien peut-on mettre de triangles autour
d'un sommet d'un polyèdre régulier ?
Voici les patrons possibles pour un sommet entouré de triangles :
Combien peut-on mettre de carrés autour
d'un sommet ? de pentagones ?
Voici les patrons possibles pour un sommet entouré de carrés, de pentagones : 
Combien peut-on mettre d'hexagones autour
d'un sommet ? d'heptagones ? ...
La somme des angles de trois hexagones, heptagones ... dépasse 360°. Donc les polyèdres réguliers ont des faces triangulaires, carrées ou pentagonales.
En résumé, il n'y a que cinq possibilités que nous étudions à la page suivante.
Liste des polyèdres réguliers
Autour d'un sommet d'un polyèdre régulier, on peut mettre 3, 4 ou 5 triangles, 3 carrés
ou 3 pentagones. Il y a donc 5 symboles possibles pour un polyèdre régulier.
Le polyèdre (3,3,3) est un
tétraèdre et possède 4
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Le polyèdre (3,3,3,3) est un
octaèdre et possède 8
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Le polyèdre (3,3,3,3,3) est un
icosaèdre et possède 20
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Le polyèdre (4,4,4) est un
cube ou hexaèdre et possède 6
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Le polyèdre (5,5,5) est un
dodécaèdre et possède 12
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Polyèdres réguliers en dualité, nombres de sommets et de faces
Si
P est un polyèdre régulier, imaginons le polyèdre
Q dont les sommets sont les centres des faces de
P : Le polyèdre
Q est régulier, on l'appelle dual de
P. Par exemple si
P est un cube,
Q est un octaèdre. Le dual de
Q est un homothétique de
P. Donc le dual d'un octaèdre est un cube. Le nombre de sommets de
Q est le nombre de faces de
P et réciproquement.
| polyèdre | dual |
|---|---|
tétraèdre (3,3,3) s=4 a=6 f=4 Voir son dual |
|
cube (4,4,4) s=8 a=12 f=6 Voir son dual |
octaèdre (3,3,3,3) s=6 a=12 f=8 Voir son dual |
| dodécaèdre (5,5,5) s=20 a=30 f=12 Voir son dual |
icosaèdre (3,3,3,3,3) s=12 a=30 f=20 Voir son dual |
Mémorisez les caractéristiques des polyèdres de Platon !
Un polyèdre régulier est semi-régulier.
Toutes les arêtes ont même longueur et les faces de même type sont isométriques.
Remarque : Pour se débarrasser de la paire de faux jumeaux, il faudrait affiner la définition. Mais, pour nos objectifs, cet énoncé suffit.
On gardera ces notations tout au long de ce document :
q est le nombre de faces aboutissant en un sommet et
n1 est le nombre de côtés de la plus petite face. La
règle de la somme des angles
permet d'affirmer que
q et
n1 sont inférieurs ou égaux à 5.
L'ordre lexicographique est l'ordre utilisé pour ranger les mots dans un dictionnaire. On trie les mots par la première lettre, puis on range ceux qui ont la même première lettre par ordre de la seconde lettre ... Le grand rhombicuboctaèdre admet pour symboles rangés dans l'ordre lexicographique : (4,6,8), (4,8,6), (6,4,8), (6,8,4), (8,4,6), (8,6,4).
Le symbole détermine complètement la combinatoire d'un polyèdre, c'est-à-dire les nombres de ses sommets, arêtes et faces de chaque type (voir
ici
pour un exemple).
On ne cherche pas à démontrer que le symbole détermine un polyèdre semi-régulier à similitude près.
Si on ajoute à la définition d'un polyèdre semi-régulier une condition du type "tous les sommets sont pareils", le symbole détermine le polyèdre semi-régulier à similitude près, sinon on trouve deux polyèdres différents de symbole (3,4,4,4)(cherchez les différences).
Exemple : Le symbole d'un
prisme droit régulier pentagonal
est
(4,4,5). Celui d'un
cuboctaèdre
est (3,4,3,4).
Exercice :
Symbole d'un polyèdre
Démonstration : Indiquer le nombre de côtés des faces autour des sommets d'une face à nombre impair de côtés (voir [DP page 375]). Dans le problème "Les polyèdres archimédiens" ([DP page 283]), on recherche les symboles possibles pour des polyèdres semi-réguliers en s'appuyant sur la
règle de la somme des angles
, la règle de parité et d'autres raisonnements du même type et on montre qu'il en existe au plus 13 en plus des 5
polyèdres réguliers
, des
prismes et antiprismes
. Pour montrer qu'à chacun de ces 13 symboles correspond un polyèdre semi-régulier, il suffit de construire celui-ci. Dans la suite, on verra comment la plupart s'obtient simplement à partir des polyèdres réguliers et on dressera la liste de tous les polyèdres semi-réguliers.
Exercice 1 : Utiliser la règle de la somme des angles et la règle de parité pour faire la liste des seuls symboles possibles vérifiant :
q=3 et
n1=3. Même exercice avec
n1=4, puis
n1=5.
On verra dans la suite de ce document qu'il existe pour chacun de ces symboles un polyèdre semi-régulier.
Exercice 2 : Par un raisonnement analogue à la démonstration de la règle de parité, montrer que, dans les symboles de la forme
(3,n2,3,n4) avec
, les entiers
n2 et
n4 sont nécessairement égaux et déterminer tous les symboles de ce type.
Les polyèdres semi-réguliers
Symbole d'un polyèdre semi-régulier
Règle de parité, symboles possibles
La règle de parité
Les symboles possibles
|
Un prisme régulier a 2n sommets, 3n arêtes et pour faces : n carrés et 2 polygones à n côtés. Voici un prisme à base hexagonale : |
Un antiprisme a 2n sommets, 4n arêtes et pour faces : 2n triangles et 2 polygones à n côtés. Voici un antiprisme à base octogonale : |
Le sommet
S est donc remplacé par la face
. Des conditions sont imposées au polyèdre à tronquer pour obtenir un polyèdre semi-régulier.
Exemple :
Tronquer un cube
Pour tronquer les polyèdres, il faut savoir comment
tronquer les polygones
.
Soyez patient au téléchargement. Répondez "se fier" ou "autoriser".
Exemple : Pour
n=3, la distance
d vaut
, pour
n=4, elle vaut
.
voir la synthèse dans le cas n=3.
voir un calcul et une construction directe dans le cas n=4.
Application aux polyèdres tronqués
Retour aux polyèdres tronqués
ou
retour aux polygones tronqués.
Soient
P,
Q,
R et
S comme sur la figure. Par exemple,
Q (resp.
R) est l'intersection de
[A'B'] avec
[AB] (respectivement
[BC]).
Les symétries du décagone permettent d'affirmer que ces points sont cocycliques.
Par exemple, la symétrie par rapport à
(OA') envoie
P sur
Q qui est envoyé sur
R
par la symétrie par rapport à
(OB) etc... Donc les distances de ces points à
O sont égales.
De plus des angles au centre sont égaux deux à deux. Par exemple, si
M est le milieu de
[A'B'],
N celui de
[BC]
on a :
et
.
Comme les triangles rectangles
MOR et
NOR ont deux côtés égaux, ils sont isométriques ;
on en déduit :
.
On montre de même que tous les angles au centre de
PQRSTUVWXY sont égaux.
Nous allons maintenant énumérer les
polyèdres archimédiens
. Nous ne justifions pas toutes nos affirmations mais nous nous attachons à décrire les polyèdres pour aider l'imagination. Nous avons choisi de les classer en trois familles qui correspondent à la valeur de
q, le nombre d'arêtes aboutissant en un sommet, mais aussi à la façon de les obtenir par troncature à partir des polyèdres réguliers.
Les premiers exercices de chaque partie permettent de visualiser les polyèdres ainsi construits en les repérant par leurs symboles.
Voici la méthode appliquée au patron du sommet d'un octaèdre :
Le polyèdre
a
a sommets (un par arête de
), autant de faces à
n1 ou
n2 côtés que
,
s faces à
q côtés et
2a arêtes puisque par la
formule d'Euler
, on a
a'=s'+f'-2=a+f+s-2=2a.
Dans le cas où
est semi-régulier sans être régulier, l'hypothèse implique que le symbole de
est
(q,n1,q,n2) à permutation circulaire près. Le polyèdre
n'est pas semi-régulier mais il existe un polyèdre semi-régulier de même combinatoire (même symbole, mêmes nombres
s,
a et
fk), appelé petit rhombi...
On peut
rectifier
un cuboctaèdre ou un isosidodécaèdre. Les polyèdres obtenus ne sont pas semi-réguliers mais le petit rhombicuboctaèdre et le petit rhombicosidodécaèdre sont les polyèdres semi-réguliers de même combinatoire :
Exercice :
Sommets au milieu des arêtes
Soit un polyèdre régulier
admettant s sommets, a arêtes et f faces à n côtés. Considérons deux points sur chaque arête de
posés de sorte que sur chaque face de
le polygone de sommets les nouveaux points soit régulier (
comment ?
). Il a donc 2n côtés. Le polyèdre
dont les sommets sont les nouveaux points est appelé polyèdre tronqué de
, il est semi-régulier par construction. Il a 2a sommets et f faces à 2n côtés.
En chaque sommet de P aboutissent
q arêtes, pour obtenir P', on enlève une petite pyramide (on tronque le sommet de P) et on le remplace par une face à q côtés qui est la base de la pyramide enlevée, P' a donc s faces à q côtés. Le
symbole
de P' est
(q, 2n, 2n). Comme n vaut au moins 3 et q au plus 5, l'ordre du symbole est bien respecté, la
règle de parité
aussi.
Par la
formule d'Euler
on obtient le nombre d'arête de P' qui égale
3a = 2a+f+s-2.
Tronquer un polyèdre
Pour obtenir un nouveau polyèdre
à partir d'un polyèdre
donné, on peut considérer un polyèdre
dont les sommets sont sur les arêtes du polyèdre
, c'est-à-dire à tronquer
.
Tronquer un cube
Vous pouvez faire bouger le point P entre M et B. Les faces roses sont les bases des pyramides retirées. Les octogones verts sont les faces qui remplacent les faces du cube. Si P est en M, on obtient un
cuboctaèdre
. Si P est en Q, on obtient un
cube tronqué
.
Tronquer un polygone
Problèmes
Soit un polygone régulier
à
n côtés, le polyèdre
dont les sommets sont les milieux des côtés de
est encore un polygone régulier à
n côtés. Cette remarque est à la base de la
rectification des polyèdres
.
Le but de cette partie est de construire un polygone régulier
à
2n côtés
dont les sommets sont sur les côtés de
. Cette construction est utile pour
tronquer les polyèdres
.
Si
n égale 3, c'est facile, il suffit de prendre les
sommets de l'hexagone
au tiers des côtés du triangle équilatéral.
Quand
n égale 4,
ce n'est plus si simple
.
Premières propriétés
On note
A,
B,
C, ... les sommets de
et
A',
B',
C' ... ceux de
,
M le milieu de
[AB],
N celui de
[BC].
Commençons par deux remarques importantes :
Cas particuliers utiles pour les polyèdres
Construction d'un hexagone régulier dans un triangle équilatéral
Soit
ABC un triangle équilatéral et
O son centre de gravité. On note
a la longueur de son côté.
On considère les points
On va montrer que l'hexagone
A1 A2 B1 B2 C1 C2 est régulier :
Par hypothèse, le triangle
A1 AA2 est isocèle en
A et comme
ABC est équilatéral, l'angle en
A vaut
60° donc
A1 A A2 est un triangle équilatéral.
De même pour les triangles
B1 B B2 et
C1 C C2. Donc les côtés de l'hexagone
A1 A2 B1 B2 C1 C2 ont tous pour longueur
.
D'autre part tous ses angles sont supplémentaires d'un angle d'un petit triangle équilatéral donc ils valent tous
120°.
L'hexagone
A1 A2 B1 B2 C1 C2 a tous ses côtés et ses angles égaux, il est régulier.
Construction d'un octogone régulier dans un carré
Dans le cas
n = 4, les
formules
donnent
et
. On peut aussi calculer ces valeurs directement en utilisant les relations :
c = 2d+c' et
(obtenue dans le triangle isocèle rectangle
A1 AA2). Ces valeurs nous assurent que les côtés de l'octogone ont même longueur. L'égalité des angles est évidente puisque les triangles "aux coins" du carré sont isocèles rectangles.
Construction : Comme
c' + d vaut
, on construit le point
B1 comme intersection de
[AB] et du cercle centré en
A et passant par
O. Les autres sommets sont sur le cercle de centre
O passant par
B1.
Longueur de l'arête de Q'
Analyse
Soit un polygone régulier
à
n côtés,
supposons qu'on ait construit un polygone régulier
à
2n côtés
dont les sommets sont sur les côtés de
.
La distance
d entre un sommet de
et un sommet voisin de
dépend de la valeur de
n. Nous avons le résultat général suivant :
Démonstration : Dans un polygone régulier à n côtés dont le côté a pour longueur c, on note R le rayon du cercle circonscrit et r le rayon du cercle inscrit. On a : et . On en déduit : Synthèse
Soit
A' placé sur
[AB] à la distance
d du sommet
A de
. On doit montrer que les points d'intersection du cercle de centre
O passant par
A' et des côtés de
sont bien les sommets d'un polyèdre régulier. Ils sont cocycliques par construction, il suffit de montrer que tous les côtés de
ont même longueur. Par construction et symétrie, les côtés de
portés par ceux de de
ont pour longueur
c'. On conclut en considérant des triangles isocèles et en utilisant des formules métriques dans ces triangles. La synthèse est plus simple pour les cas particuliers qui nous intéressent :
Application aux polyèdres tronqués
Quand on tronque un polyèdre régulier, on enlève une petite pyramide en chaque sommet du polyèdre en coupant par un plan à la distance
d (sur l'arête) de chaque sommet.
Chaque face à
n côtés du polyèdre régulier porte alors une face à
2n côtés du polyèdre tronqué.
Quand le polyèdre à tronquer est semi-régulier sans être régulier, par exemple, si en chaque sommet, arrivent des carrés et des triangles, en considérant la
formule
donnant la longueur du côté du polygone inscrit, on a le choix :
Si on coupe à un tiers du sommet, les octogones obtenus sur les faces carrées ne seront pas réguliers.
Si on coupe à une distance
du sommet (avec
c longueur des arêtes), les hexagones obtenus sur les faces triangulaires ne seront pas réguliers.
Construction d'un décagone régulier dans un pentagone
Soit
ABCDE un pentagone régulier inscrit dans un cercle
de centre
O.
Soit
AA'BB'CC'DD'EE' le décagone régulier inscrit dans le même cercle (
On rappelle que A' est l'autre intersection de (OD) avec etc...
).
L'intersection de
ABCDE et de
A'B'C'D'E' est donc un décagone régulier dont les sommets sont sur les côtés de
ABCDE.
Les polyèdres archimédiens
Polyèdres rectifiés
Méthode de rectification
On considère un polyèdre
semi-régulier tel que de part et d'autre de chaque arête, on ait une face à
n1 côtés et une face à
n2 côtés. On considère le polyèdre
dont les sommets sont les milieux des arêtes de
, c'est-à-dire qu'on coupe le polyèdre
en chaque sommet selon un plan passant au milieu des arêtes. Soit [RS] une arête de
et M son milieu. Les faces de
aboutissant en M sont au nombre de 4 :
Et chaque sommet de
(milieu d'une arête de
) présente le même aspect du fait de l'hypothèse.
Quel résultat ?
Dans le cas où
est régulier,
n1 et
n2 sont égaux, notons
n leur valeur commune. Alors les faces à
q côtés de
correspondant aux sommets de
sont des polygones réguliers. Le polyèdre
est semi-régulier et son symbole est
(q, n, q, n) à permutation circulaire près. Cuboctaèdre et compagnie
Les polyèdres obtenus par la
rectification
vérifient
q=4. Et ce sont les seuls avec les
antiprismes
et l'octaèdre obtenu par rectification du tétraèdre. La rectification de deux polyèdres réguliers duaux donne le même polyèdre semi-régulier.
Polyèdres réguliers
Polyèdres semi-réguliers
un sommet au milieu de chaque arête
(3,3,3) Tétraèdre régulier
4s 6a 4 triangles (3,3,3,3) Octaèdre
(4,4,4) Cube
8s 12 a 6 carrés
(3,4,3,4)
Cuboctaèdre
12s 24a 6 carrés et 8 triangles
(3,3,3,3) Octaèdre
6s 12a 8 triangles
(5,5,5) Dodécaèdre
20s 30a 12 pentagones(3,5,3,5)
Icosidodécaèdre
30s 60a 12 pentagones et 20 triangles
(3,3,3,3,3) Icosaèdre
12s 30a 20 trianglesLes petits Rhombi...
Le
petit rhombicosidodécaèdre
a pour symbole (3,4,5,4). Il a
60 sommets, 120 arêtes et pour faces 20 triangles, 30carrés et 12 pentagones. Quels polyèdres tronquer ?
Tronquer un polyèdre régulier
Exemple :
Voyons, sur l'exemple de l'octaèdre, quelle est l'allure d'un sommet du polyèdre . Nous avons tracé le patron d'un sommet S de et, sur les arêtes aboutissant en S, posé les sommets de . Par exemple A et B se trouvent sur l'arête [RS]. Les faces hexagonales de sont bleues. Autour du sommet B, on a donc deux faces hexagonales et une face à q côtés obtenue en tronquant le sommet R, ici, c'est un carré.
Exemple : Aperçu de l'
octaèdre tronqué
. Son symbole est (4,6,6).
Tronquer un polyèdre semi-régulier
Si on veut appliquer cette méthode de troncature à un polyèdre semi-régulier, on doit imposer à celui-ci que de part et d'autre d'une arête se trouvent une face à
n1 côtés et une face à
n2 côtés (
Les seuls polyèdres semi-réguliers qui vérifient cette hypothèses sont le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre.
) mais on est embarrassé pour placer les deux sommets sur une arête (
pourquoi ?
). Dans tous les cas, le polyèdre obtenu ne sera pas semi-régulier bien que tous ses sommets aient même aspect. Par exemple, à partir d'un cuboctaèdre, on obtient un polyèdre de symbole
(4,6,8). Les polyèdres semi-réguliers qui ont la combinatoire de ces polyèdres tronqués sont les grands rhombi...
Polyèdres tronqués (vrais ou faux)
Les polyèdres tronqués
Tous les polyèdres archimédiens obtenus par
troncature
vérifient
q=3 et ce sont les seuls polyèdres semi-réguliers vérifiant
q=3 avec les
prismes
, le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre et les faux tronqués (voir plus bas).
| Polyèdres réguliers | Polyèdres semi-réguliers deux sommets par arêtes |
|---|---|
| (3,3,3) Tétraèdre régulier 4s 6a 4 triangles |
(3,6,6)
Tétraèdre tronqué
12s 18a 4 triangles et 4 hexagones |
| (4,4,4) Cube 8s 12 a 6 carrés |
(3,8,8)
Cube tronqué
24s 36a 8 triangles et 6 octogones |
| (3,3,3,3) Octaèdre 6s 12a 8 triangles |
(4,6,6)
Octaèdre tronqué
24s 36a 6 carrés et 8 hexagones |
|
(5,5,5) Dodécaèdre 20s 30a 12 pentagones |
(3,10,10)
Dodécaèdre tronqué
60s 90a 20 triangles et 12 décagones |
| (3,3,3,3,3) Icosaèdre 12s 30a 20 triangles |
(5,6,6)
Icosaèdre tronqué
(ballon de football) 60s 90a 12 pentagones et 20 hexagones |
Les grands rhombi... ou faux tronqués
Voici deux polyèdres semi-réguliers dont les symboles pourraient résulter d'une telle opération de troncature (sur quels polyèdres ?). Ce sont les grands rhombi... (ou faux tronqués). Ils ont la combinatoire des polyèdres tronqués.Le grand rhombicosidodécaèdre a pour symbole (4,6,10). Il a 120 sommets, 180 arêtes et pour faces 30 carrés, 20 hexagones et 12 décagones.
Exercices :
- Reconnaître sur une figure un polyèdre obtenu par troncature
- Reconnaître un polyèdre (obtenu par troncature) donné par son symbole
- Décrire un polyèdre obtenu par troncature
Le
dodécaèdre adouci
a pour symbole (3,3,3,3,5). Il a 60 sommets, 150 arêtes et pour faces
80 triangles et 12 pentagones.
Pour comprendre le nom d'adouci, il faut imaginer qu'on a pris un cube par exemple et qu'on a adouci ses sommets et ses arêtes par des triangles et obtenu ainsi un cube adouci. Plus précisément, on a 6 faces carrées qui correspondent à celles du cube, 8 faces triangulaires à la place des sommets et 2 faces triangulaires par arête du cube soit en tout 32 triangles. Chaque sommet du cube adouci appartient à une face carrée et une seule (voir le symbole) donc le cube adouci a
sommets. Le nombre d'arêtes calculé par la formule d'Euler est
24+6+32-2=60.
Exercice : Calculer
(s,a,f) du dodécaèdre adouci en utilisant les relations entre s, a et f. (
Solution
)
Les adoucis
Comment classer ou caractériser ces deux derniers polyèdres archimédiens ? Avec l'icosaèdre, ce sont les seuls qui vérifient
q=5 : en chaque sommet aboutissent 5 faces. Ensuite grâce à la règle de la somme des angles, les cas possibles sont vite énumérés.
Exercices de synthèse
Index des polyèdres
Le lien renvoie à la page de ce document où le polyèdre est décrit. Vous pouvez utiliser l'
outil polyèdres
pour les visualiser.