Raisonnements
Objectifs
Ce module est consacré au langage et au raisonnement en mathématiques ainsi qu'à la théorie des ensembles. Son objectif essentiel est que de donner tout son sens à une proposition écrite avec des symboles mathématiques et d'apprendre à les utiliser avec précision (et non comme des abréviations).
Documents
- F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG, Algèbre 1ère Année (Dunod), chapitre 1
- A. Auzimour et F. Petit, Travaux dirigés d'algèbre (Vuibert)
- A. Denmat et F. Héaulme, Algèbre générale (Dunod), TD 1
Guide
Ecrire leur négation en langage courant et avec des quantificateurs.
En particulier,
Dans le langage courant, condition nécessaire, condition
suffisante, condition nécessaire et suffisante
peuvent se dire d'autres manières en utilisant les mots
si
,
seulement si...
L'étude de la contraposée peut aussi éclairer
l'affirmation suivante:
En effet on admet plus
facilement que si P est fausse, c'est-à-dire si non P est vraie,
la contraposée non Q
non P
est vraie,
puisque non P est vraie.
Une implication et sa contraposée ont donc même valeur de vérité.
Donnons un exemple en langage courant :
Ces deux implications sont vraies et
équivalentes. La réciproque est :
Cette implication est fausse, le sol peut être mouillé par le passage
du camion municipal de nettoyage ou bien par de la neige qui a fondu.
Attention quand même aux
pièges de la vie courante !
la contraposée est
Enfin, la contraposée de la réciproque est
Ce qui n'est pas équivalent à la première phrase.
Mais c'est en général cette dernière affirmation qui est dans la tête de celui qui prononce la première (en appliquant des principes d'éducation positive !)
Cette règle est en fait une définition de ce que signifie qu'une implication
est vraie. On l'emploie tout le temps sans même s'en rendre compte.
C'est ce qu'on appelle un
syllogisme.
Exemple
Que peut-on conclure sur la couleur respective
des crayons d'Alfred, Bernard et Claude? Y a-t-il plusieurs possibilités ?
Les autres types de raisonnement sont
Parfois on traite de raisonnement , par l'absurde, un simple
raisonnement utilisant la contraposée. Par exemple,
Aide
Que peut-on en conclure ? Si on remplace la dernière par
le malfaiteur n'avait pas la clé, peut-on conclure ?
Que peut-on conclure sur la couleur respective
des crayons d'Alfred, Bernard et Claude? Y a-t-il plusieurs possibilités ?
Outils de base
Assertions
Cependant, tous les exemples
qui précèdent et qui sont pris dans le langage courant peuvent être sujet à caution, ils servent juste à faire le
passage avec les mathématiques. Et même en mathématiques, on fait souvent ce qu'on appelle
des abus de langage.
Une autre différence entre la vie courante et les mathématiques est la suivante :
une des règles du jeu mathématique est que ce qui
n'est pas affirmé comme vrai ne doit pas
être utilisé. Il n'y a donc pas de sous-entendu comme dans la vie
courante. Par exemple, l'affirmation
Les filles de ce cours sont excellentes ne dit ni ne prétend rien sur
le niveau
des garçons comparativement.
Connecteurs
Les connecteurs
et et ou sont liés
à l'intersection et à la
réunion des ensembles et la négation est liée
au complémentaire d'un ensemble
et 
<----->
est l'ensemble des éléments qui appartiennent
à
X et à
Y
ou <----->
est l'ensemble des éléments qui appartiennent
à
X ou à
Y
<----->
est l'ensemble des éléments qui
n' appartiennent pas
à
X.
Quantificateurs
Les quantificateurs sont
Les notions de limite et de continuité
sont définies par des énoncés mathématiques utilisant des
quantificateurs. Pour bien comprendre ces notions, il est important
que le sens et l'usage de ces quantificateurs soient maîtrisés déjà
dans les
situations simples qui sont proposées ici.
: tous les guichets sont fermés certains jours
: certains jours tous les guichets sont fermés
p 
P 
c
C,
c ouvre
p
c
C
p
P ,
c ouvre
p
Implication
Il est important de bien connaître le sens du symbole
, c'est-à-dire de
l'
implication
peut être vraie ou faux, il s'agit
d'une assertion.
Cependant, par abus de langage, il arrive à tout le monde de dire
"On a " ou pire, " si
, alors ...."
Condition nécessaire, condition suffisante
Quelques rappels sur conditions nécessaire, condition suffisante :
et sont des
propriétés (assertions),
est une condition nécessaire de si
est vraie lorsque est vraie est une condition suffisante de
si est vraie lorsque est vraie
Contraposée
Contraposée
La contraposée de
l'implication P
Q
est l'implication non Q
non P . C'est une
assertion équivalente à l'implication.
Pour démontrer qu'une implication est vraie, il suffit de démontrer que sa
contraposée
implication l'est. Il arrive souvent que la
propriété contraposée soit plus "évidente''
à l'intuition que la propriété elle même.
Par exemple :
Pour montrer que l'implication
Contraposée et réciproque
Il ne faut pas confondre la contraposée d'une implication avec l'
implication réciproque : Contraposée et réciproque : pièges de la vie courante
Et en fait dans la vie courante de même que ce qui n'est pas dit est souvent sous-entendu, on confond très souvent contraposée et réciproque : par exemple, si on vous dit
Raisonnements
Règles de raisonnement
Il y a trois règles (principes) suivants qui s'appliquent tout le temps :
Q vraie,
alors l'assertion Q est vraie.
Q vraie, si Q
R est vraie,
alors R est vraie.
Raisonnement par l'absurde
Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer
le contraire de ce
que l'on veut démontrer, puis par des déductions logiques (utilisant
l'hypothèse) à aboutir à une absurdité.
est vraie,
, et on se dit en contradiction avec mais ne nous a pas
servi. Il n'y a donc pas de contradiction mais une simple contraposée.Raisonnement par disjonction des cas
Pour montrer une propriété par disjonction des cas, on la prouve dans un nombre fini de cas,
ces cas couvrant tous les cas possibles.
Il est peu probable que le premier cas se produise et il ne se produit même pas, mais nous n'avons pas eu besoin de le montrer.
Un scénario de Lewis Carrol
Considérons le problème suivant sachant que
chacune des assertions
suivantes est vraie :
Un problème
par
f(x)= x3+1.
L'implication