oef vecteurs
--- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 10 exercices simples sur les vecteurs, et leur utilisation en physique, sur les sujets suivant:

Calcul des coordonnées d'un vecteur dont on connait la norme et la direction - Décomposition d'une force suivant des directions perpendiculaires.
Combinaison linéaire de vecteurs
Utilisation du produit scalaire de vecteurs (angle entre vecteurs, travail d'une force)
Produit vectoriel de vecteurs unitaires othogonaux : Système de coordonnées direct ou indirect

Les réponses numériques sont demandées avec un nombre de chiffres significatifs bien précisé. Pour familiariser vos élèves avec cette notion , un exercice ("Chiffres significatifs") vous est proposé.
Dans la plupart des exercices, des suggestions ou rappels de cours sont donnés soit par lien direct dans l'énoncé (rappel), soit au bas de l'énoncé (indication)

Chiffres significatifs

Arrondir un résultat numérique en ne gardant qu'un nombre de chiffres significatifs imposés.
( )

Ecrire le nombre: avec :
puis avec chiffres significatifs:
Ecrire le nombre: avec :
puis avec chiffres significatifs:
Ecrire le nombre: avec :
puis avec chiffres significatifs:
Ecrire le nombre: avec :
puis avec chiffres significatifs:

Relation entre trois vecteurs

Déterminer la relation correcte entre les vecteurs:

xrange -200,200 yrange -200,200 arrow -50+,0+,50+,0+,10,red text red,,-10,large, arrow 0+,-50+,0+,50+,10,blue text blue,+10,,large, arrow -50+,-50+,50+,50+,10,green text green,+10,,large, xrange -200,200 yrange -200,200 arrow -50+,-50+,50+,50+,10,red text red,,-10,large, arrow 50+,-50+,-50+,50+,10,blue text blue,+10,+20,large, arrow ,-100+,,100+,10,green text green,+10,,large, xrange -200,200 yrange -200,200 arrow -50+,50+,50+,-50+,10,red text red,-30,,large, arrow -50+,-50+,50+,50+,10,blue text blue,+10,,large, arrow -100+,,100+,,10,green text green,,-10,large,

Mobile en rotation

Un mobile décrit un cercle de rayon R= m (représenté en jaune sur la figure), à vitesse uniforme V= m/s. A un instant donné, la position du mobile, , est représentée par le vecteur bleu , et sa vitesse, , par le vecteur rouge.

Calculer les coordonnées cartésiennes de et R_y(m) =
Calculer les coordonnées cartésiennes de et V_y(m) =

(On donnera les réponses avec 3 chiffres significatifs).

xrange -1.5,1.5 yrange -1.5,1.5 arrow -1.5,0,1.5,0,10,black arrow 0,-1.5,0,1.5,10,black text black,1.4,-0.1,large,x text black,0.1,1.4,large,y text black,-0.1,-0.1,large,0 linewidth 2 circle 0,0,167,yellow fcircle cos(/180*3.1416),sin(/180*3.1416),12,black arrow 0,0,cos(/180*3.1416),sin(/180*3.1416),14,blue arrow cos(/180*3.1416),sin(/180*3.1416),1.22*cos((+35)/180*3.1416),1.22*sin((+35)/180*3.1416),14,red linewidth 1 arc 0,0,1.2,1.2,0,,blue text blue,cos(/2/180*3.1416),sin(/2/180*3.1416),large, text blue,cos(/2/180*3.1416)+0.3,sin(/2/180*3.1416)+0.05,small,O

Angle entre deux vecteurs (<90°)

Deux vecteurs unitaires ,

(représenté en )
et (représenté en ),

ont pour coordonnées cartésiennes les valeurs suivantes:

a_x = et a_y =
b_x = et b_y =

A l'aide du produit scalaire, déterminer l'angle entre ces deux vecteurs. On donnera la réponse arrondie au degré le plus proche.
= deg

xrange -100,100 yrange -100,100 arrow -100,0,100,0,10,black arrow 0,-100,0,100,10,black text black,92,-10,large,x text black,10,95,large,y text black,-10,-10,large,0 arrow 0,0,80*,80*,14, arrow 0,0,80*,80*,14, arc 0,0,40,40,,,red text red,50*cos((+/2)/180*3.1416),50*sin((+/2)/180*3.1416),large,?

Angle entre deux vecteurs (>90°)

Deux vecteurs unitaires ,

(représenté en )
et (représenté en ),

ont pour coordonnées cartésiennes les valeurs suivantes:

a_x = et a_y =
b_x = et b_y =

A l'aide du produit scalaire, déterminer l'angle entre ces deux vecteurs. On donnera la réponse arrondie au degré le plus proche.
= deg

Projection d’un vecteur

Deux vecteurs , (représenté en bleu ) et (représenté en vert ) , ont pour coordonnées catésiennes les valeurs suivantes: A_x = cm et A_y = cm B_x = cm et B_y = cm

Quelle est la norme du vecteur ?
A= cm
A l'aide du produit scalaire, déterminer la longueur du segment OH, projection de sur la direction de .
OH = cm

On donnera les réponses avec 3 chiffres significatifs.

xrange -100,100 yrange -100,100 arrow -100,0,100,0,10,black arrow 0,-100,0,100,10,black text black,92,-10,large,x text black,10,95,large,y text black,5,-6,large,0 arrow 0,0,,,14,blue arrow 0,0,,,14,green dline ,,,,red text red,,,large,H

Combinaison de vecteurs

xrange -150,+150 yrange -150,+150 parallel -150,-150,150,-150,0,15,20, grey parallel -150,-150,-150,150,15,0,20, grey hline 0,0,black vline 0,0,black arrow 0,0,,,10,blue text blue,1.2*,1.2*,large,A arrow 0,0,,,10,green text green,1.2*,1.2*,large,B dline ,,,,blue dline ,,,,green arrow 0,0,,,10,red text red,1.1*,1.1*,large,C

Deux vecteurs et de même module ont servi à construire le vecteur où et sont deux entiers compris entre -3 et +3 que l'on déterminera:
p=
q=

Travail d'une force

Les forces constantes:
et
(les coordonnées des forces sont exprimées en Newton
et , et sont les vecteurs unitaires dans les directions et )
agissent ensemble sur une particule pendant un déplacement allant (les coordonnées des points sont exprimées en mètre) :

du point A(,,)
au point B(,,)

Quel est le travail total fourni à la particule par ces deux forces ?
(J)=

Bloc sur un plan incliné

Un bloc de masse m= kg est tiré sur un plan incliné par une force parallèle à la pente et d'intensité N.
Le plan fait un angle de avec l'horizontale.

Calculer les travaux W_F et W_P des forces et (poids de la masse m) lorsque le bloc a été déplacé de L= m le long du plan incliné.
Prendre g=9.81 m.s^-2 et donner le résultat en kJ, avec 3 chiffres significatifs.

W_F (kJ) =
W_P (kJ) =

xrange -1,10 yrange -1,10 line -1,0,10,0,black line 0,0,10*cos(*3.1416/180),10*sin(*3.1416/180),black arc 0,0,3,3,0,,red text red,2*cos((/2)/180*3.1416),3*sin((/2)/180*3.1416),large, text red,0.7+2*cos((/2)/180*3.1416),0.4+3*sin((/2)/180*3.1416),small,o fpoly blue,,,,,,,, linewidth 2 arrow ,,,-3,10,black copy +0.5,-2,-1,-1,-1,-1,P.gif arrow ,,+3*sin(*3.1416/180)*cos(*3.1416/180),+3*sin(*3.1416/180)*sin(*3.1416/180),10,black copy +0.3,+1.8,-1,-1,-1,-1,F.gif linewidth 1 dline ,,,,black

Système de coordonnées direct /indirect

Déterminer les systèmes de coordonnées directs: xrange 0,800 yrange 0,200 --------------------------------------------------------- arrow 100-*50,100,100+*50,100,10, text ,100+*50,95,large, arrow 100,100-*50,100,100+*50,10, text ,110,100+*50,large, darrow 100-*30,100-*30,100+*30,100+*30,10, line 70,70,100,100, text ,100+*30,100+*30,large, text black, 95,25,large,(a) ------------------------------------------------------------ arrow 300-*50,100,300+*50,100,10, text ,300+*50,95,large, arrow 300,100-*50,300,100+*50,10, text ,310,100+*50,large, darrow 300-*30,100-*30,300+*30,100+*30,10, line 270,70,300,100, text ,300+*30,100+*30,large, text black, 295,25,large,(b) ------------------------------------------------------------------- arrow 500-*50,100,500+*50,100,10, text ,500+*50,95,large, arrow 500,100-*50,500,100+*50,10, text ,510,100+*50,large, darrow 500-*30,100-*30,500+*30,100+*30,10, line 470,70,500,100, text ,500+*30,100+*30,large, text black, 495,25,large,(c) ------------------------------------------------------------------- arrow 700-*50,100,700+*50,100,10, text ,700+*50,95,large, arrow 700,100-*50,700,100+*50,10, text ,710,100+*50,large, darrow 700-*30,100-*30,700+*30,100+*30,10, line 670,70,700,100, text ,700+*30,100+*30,large, text black, 695,25,large,(d)

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