Calculs avec la loi normale

Introduction

Tous les calculs concernant la loi normale se font en utilisant la table fournie dans le formulaire du BTS.

La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite est notée Pi, et ses valeurs se lisent dans la table du formulaire.
Les calculs peuvent se répartir en deux catégories :

On cherche une probabilité

Lecture directe de la table

Si T est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite : calN(0,1), on a : Π(t)=P(Tt)
Loi normale centrée réduite ; calculs utilisant la lecture directe de la table
Les calculs concernant toutes les lois normales se font tous en se ramenant à la loi normale centrée réduite.
En effet, si X suit la loi calN(m,sigma), alors T=Xmσ suit la loi calN(0,1).
Loi normale ; calculs utilisant la lecture directe de la table

On connait une probabilité et on cherche autre chose...

Lecture inverse de la table

Loi normale centrée réduite ; calculs utilisant la lecture inverse de la table

Loi normale ; calculs utilisant la lecture inverse de la table

Synthèse

Exercice de type BTS

Lecture directe de la table

Valeurs positives

Lire dans la table la valeur de Π(2.15).
La valeur de Π(2.15) se trouve dans la table à l'intersection de la ligne 2.1 et de la colonne 0.05.
On trouve donc : Π(2.15)=0.9842

Valeurs négatives

On utilise la symétrie de la courbe de densité de la loi normale, ce qui donne : Π(t)=1Π(t)

Lire dans la table la valeur de Π(2.36).
Π(2.36)=1Π(2.36)

La valeur de Π(2.36) se trouve dans la table à l'intersection de la ligne 2.3 et de la colonne 0.06.

On trouve donc : Π(2.36)=1Π(2.36)=10.9909=0.0091
Exercice

Loi normale centrée réduite (calculs directs)

Formules à utiliser :

p(Ta) = Π(a)
p(Ta) = 1Π(a)
p(aTb) = Π(b)Π(a)
p(aTa) = 2Π(a)1
Π(a) = 1Π(a)

Exemples de calculs variés

T suit la loi calN(0 ; 1). Calculer p(0.66<T<1.37)
p(0.66<T<1.37)=Π(1.37)Π(0.66)=Π(1.37)(1Π(0.66))=0.6601
Exercice

Loi normale (calculs directs)

Principe de base :

On introduit la variable aléatoire T définie par :

T=Xmσ

qui suit la loi normale centrée réduite.

On traduit la question pour obtenir le calcul d'une probabilité concernant T, et on est donc ramené au cas précédent.

Exemples de calculs variés

X suit la loi calN(170 ; 3.9).
Calculer P(172.769<X<181.115)
X suit la loi calN(170 ; 3.9), donc la variable aléatoire T définie par :

T=Xmσ=X1703.9 suit la loi normale centrée réduite.
P(172.769 < X < 181.115) = P(0.71<T<2.85)=Π(2.85)Π(0.71)=0.2367

Exercice

Lecture inverse de la table

On cherche maintenant un nombre h tel que Π(h) soit égal à un nombre alpha donné (compris entre 0 et 1).
Il s'agit donc d'une lecture "inverse" de la table. Celle-ci se fait différemment selon que la valeur de Π(h)est comprise entre 0 et 0.5 ou entre 0.5 et 1.

Π(h)=α avec alpha compris entre 0.5 et 1

Déterminer la valeur de h telle que Π(h)=0.96.
On cherche le nombre 0.96 "à l'intérieur" de la table, et on lit h "en bordure".

On trouve dans la table : Π(NaN)=0.5 et Π(1)=0.8413.
0.96 est compris entre 0.5 et 0.8413, mais plus proche de 0.6915.
On prendra donc h=0.5.

Cas particulier : Déterminer la valeur de h telle que Π(h)=0.51.

On trouve dans la table : Π(NaN)=0.5 et Π(1)=0.8413.
0.51 est compris entre 0.5 et 0.8413, et est exactement au milieu entre ces deux nombres.
On prendra donc h=0.025.

Π(h)=α avec alpha compris entre 0 et 0.5

On utilise la symétrie de la courbe de densité de la loi normale, ce qui donne : Π(t)=1Π(t)

Déterminer la valeur de h telle que Π(h)=0.04.
Le nombre 0.04 ne se trouve pas "à l'intérieur" de la table, car il est inférieur à 0.5.
On cherche donc le nombre 10.04=0.96.

On a en effet : Π(h)=1Π(h)=0.96

On trouve dans la table : Π(NaN)=0.5 et Π(1)=0.8413.
0.96 est compris entre 0.5 et 0.8413, mais plus proche de 0.6915.
On prendra donc h=0.5, d'où h=0.5.

Exercice

Loi normale centrée réduite (calculs avec lecture inverse)

On sait que T suit la loi normale centrée réduite, on connait une probabilité du type P(T<a), P(T>a) ou P(a<T<a) et on cherche a.

Exemples de calculs variés

T suit la loi calN(0 ; 1). Déterminer a pour que : P(T>a)=0.8023

En appliquant la formule p(T>a) = 1Π(a), on obtient : 1Π(a)=0.8023. D'où Π(a)=0.1977

Comme 0.1977 < 0.5, on cherche dans la table en lecture inverse le nombre 10.1977=0.8023.
On lit : Π(0.85)=0.8023 et finalement a=0.85

Conclusion : P(T > -0.85) = 0.8023

Exercice

Loi normale (calculs utilisant la lecture inverse de la table)

On sait que X suit une loi normale, on connait une probabilité et on cherche soit une borne de l'intervalle, soit la moyenne, soit l'écart-type de la loi de X.

Exemple de calcul où on cherche une borne de l'intervalle (ou les deux)

Recherche d'une borne

La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne m=41 et d'écart-type σ=1.4.

Déterminer h pour que P(X>h)=0.77

X suit la loi normale de moyenne 41 et d'écart-type 1.4, donc T=X411.4 suit la loi normale centrée réduite.
D'après l'énoncé, P(X>h)=0.77
On obtient donc en soustrayant 41 puis en divisant par 1.4 : P(T>h411.4)=0.77.
Ceci donne 1Π(h411.4)=0.77, d'où Π(h411.4)=0.23

Par lecture inverse de la table, on obtient alors :
h411.4=0.5 et enfin : h=0.5×1.4+41=41.7

Conclusion : P(X>41.7)=0.77

Exemple de calcul où on cherche la moyenne de la loi de X

Recherche de la moyenne

La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne m et d'écart-type σ=1.

Déterminer m pour que P(X>24.5)=0.98

X suit la loi normale de moyenne m et d'écart-type 1, donc T=Xm1 suit la loi normale centrée réduite.
D'après l'énoncé, P(X>24.5)=0.98
On obtient donc en soustrayant m puis en divisant par 1 : P(T>24.5m1)=0.98.
Ceci donne 1Π(24.5m1)=0.98, d'où Π(24.5m1)=0.02

Par lecture inverse de la table, on obtient alors :
24.5m1=0.5

et enfin : m=0.5×124.5 d'où m=24

Conclusion : Si X suit la loi normale de moyenne m=24 et d'écart-type σ=1, on a P(X>24.5)=0.98

Exemple de calcul où on cherche l'écart type de la loi de X

Recherche de l'écart type

La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne m=36 et d'écart-type sigma.

Déterminer sigma pour que P(X>36.85)=0.65.

X suit la loi normale de moyenne 36 et d'écart-type sigma, donc T=X36σ suit la loi normale centrée réduite.
D'après l'énoncé, P(X>36.85)=0.65
On obtient donc en soustrayant 36 puis en divisant par sigma : P(T>36.8536σ)=0.65, c'est à dire P(T>0.85σ)=0.65.
Ceci donne 1Π(0.85σ)=0.65, d'où Π(0.85σ)=0.35

Par lecture inverse de la table, on obtient alors :
0.85σ=0.5 et enfin : 0.5×σ=0.85 d'où σ=1.7

Conclusion : Si X suit la loi normale de moyenne m=36 et d'écart-type σ=1.7, on a P(X>36.85)=0.65

Exercice

niveau BTS.
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