Calculs avec la loi normale
Introduction
La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite est notée
, et ses valeurs se lisent dans la table du formulaire.
Les calculs peuvent se répartir en deux catégories :
- On cherche à calculer une probabilité ; dans ce cas, on aura besoin, au cours du calcul, de faire une lecture directe de la table
- On connait une probabilité, et on cherche ... autre chose (très varié !) ; dans ce cas, ce sera une lecture inverse de la table.
On cherche une probabilité
Lecture directe de la tableSi
T est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite :
(0,1), on a :
Loi normale centrée réduite ; calculs utilisant la lecture directe de la table
Les calculs concernant toutes les lois normales se font tous en se ramenant à la loi normale centrée réduite.
En effet, si
X suit la loi
(m,
), alors
suit la loi
(0,1).
Loi normale ; calculs utilisant la lecture directe de la table
On connait une probabilité et on cherche autre chose...
Lecture inverse de la tableLoi normale centrée réduite ; calculs utilisant la lecture inverse de la table
Loi normale ; calculs utilisant la lecture inverse de la table
Synthèse
Exercice de type BTS
On utilise la symétrie de la courbe de densité de la loi normale, ce qui donne :
La valeur de
se trouve dans la table à l'intersection de la ligne 0.8 et de la colonne 0.04.
qui suit la loi normale centrée réduite.
On traduit la question pour obtenir le calcul d'une probabilité concernant T, et on est donc ramené au cas précédent.
suit la loi normale centrée réduite.
On trouve dans la table :
et
.
On trouve dans la table :
et
.
On utilise la symétrie de la courbe de densité de la loi normale, ce qui donne :
On a en effet :
On trouve dans la table :
et
.
En appliquant la formule p(T < a) =
Comme 0.1736 < 0.5, on cherche dans la table en lecture inverse le nombre
1 - 0.1736 = 0.8264.
Conclusion : P(T < -0.94) = 0.1736
Recherche d'une borne
Déterminer
h pour que
P(X > h) = 0.5
Par lecture inverse de la table, on obtient alors :
Conclusion :
P(X > 446.4) = 0.5
Lecture directe de la table
Valeurs positives
On trouve donc :
Valeurs négatives
Loi normale centrée réduite (calculs directs)
Formules à utiliser :
=
=
=
=
=
Exemples de calculs variés
(0 ; 1). Calculer
p(T > 0.26)
(0.26) = 0.3974
Loi normale (calculs directs)
Principe de base :
On introduit la variable aléatoire T définie par :
Exemples de calculs variés
(192 ; 3.3).
Calculer
P(186.423 < X < 187.842)
(192 ; 3.3), donc la variable aléatoire T définie par :
P(186.423 < X < 187.842) =
P(-1.69 < T < -1.26) = (-1.26) - (-1.69) = (1 - (1.26)) -(1 - (1.69)) = 0.0583
Lecture inverse de la table
donné (compris entre 0 et 1).
Il s'agit donc d'une lecture "inverse" de la table. Celle-ci se fait différemment selon que la valeur de
est comprise entre 0 et 0.5 ou entre 0.5 et 1.
avec
compris entre 0.5 et 1
0.86 est compris entre 0.5 et 0.8413, mais plus proche de 0.6915.
On prendra donc
h = 0.5.
0.88 est compris entre 0.5 et 0.8413, et est exactement au milieu entre ces deux nombres.
On prendra donc
h = 1.175.
avec
compris entre 0 et 0.5
On cherche donc le nombre
1 - 0.14 = 0.86.
0.86 est compris entre 0.5 et 0.8413, mais plus proche de 0.6915.
On prendra donc
- h = 0.5, d'où
h = - 0.5.
Loi normale centrée réduite (calculs avec lecture inverse)
Exemples de calculs variés
(0 ; 1). Déterminer
a pour que :
P(T < a) = 0.1736
(a), on obtient :
(a) = 0.1736.
On lit :
et finalement
a = -0.94
Loi normale (calculs utilisant la lecture inverse de la table)
Exemple de calcul où on cherche une borne de l'intervalle (ou les deux)
D'après l'énoncé,
P(X > h) = 0.5
On obtient donc en soustrayant 437 puis en divisant par 18.8 :
.
Ceci donne
, d'où
et enfin :
Exemple de calcul où on cherche la moyenne de la loi de
X