Déterminant

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Le texte suivant introduit les déterminants en en donnant une construction puis donne quelques propriétés. On espère compléter ultérieurement la partie déterminant et systèmes linéaires.

Déterminant des matrices

Définition de l'application déterminant

Soit M n,m(K) l'ensemble des matrices à coefficients dans un corps K (égal à RR ou CC) ayant n lignes et m colonnes, M n(K) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K. On note

Théorème : Il existe une unique application det:M n(K)K, appelée déterminant vérifiant les propriétés suivantes

La propriété (D 2) est vraie même si les colonnes ne sont pas à côté l'une de l'autre, nous le démontrons à partir des propriétés telles qu'elles ont été énoncés ici :

(D 2) s'il existe des indices j et k tels que A j=A k=B, det(A 1,...,B,..,B,...,A n)=0.

Conséquences immédiates de la définition

Petits cas

Pour n=1, on a nécessairement det (a)=a.

Pour n=2, on a nécessairement

det (a b c d)= det (a+0 b 0+c d)= det (a b 0 d)+ det (0 b c d)
= a det (1 b 0 d) + c det (0 b 1 d)
= a ( det (1 b 0 0) + det (1 0 0 d)) + c (det (0 b 1 0) +det (0 0 1 d))
= a(0+d) det (1 0 0 1) + c ( b det (0 1 1 0) + 0) = adbc

Développement par rapport à une colonne

Soit A ij la matrice extraite de A obtenue en enlevant la i-ième ligne et la j-ième colonne. Alors,
det A= i=1 n(1) i+ja ij det A ij.

Idée de la démonstration

Faisons la démonstration pour le développement par rapport à la première colonne. On écrit A 1= ia i1E i avec E i le vecteur colonne formé de 0 sauf à la i-ième ligne où il y a 1. On a grâce à (D 1)
det (A)= ia i1 det (E i,A 2,...,A n)

Regardons le terme

det (E i,A 2,...,A n).

Par exemple, ici i=6
0 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 0 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 0 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 0 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 0 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 1 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66
En faisant des manipulations sur les colonnes du type remplacer A k par A ka ikE i, on obtient que
det (E i,A 2,...,A n)= det (E i,A˜ 2,...,A˜ n)
A˜ k est la colonne A k où on remplace le i-ième élément par 0.
Exemple :
0 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 0 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 0 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 0 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 0 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 1 0 0 0 0 0
On remarque alors que l'application qui à une matrice B d'ordre n1 associe det (E i,B^ 1,...,B^ n1) avec B^ la matrice colonne obtenue à partir de B en rajoutant un 0 à la place i, vérifie les deux premières propriétés du déterminant et vaut (1) i+1 sur l'identité I n1. Donc
det (E i,A 2,...,A n)=(1) 1+ia i1 det A i1.

Exemple :

Dans l'exemple ci-dessus, par rapport à quelle colonne a-t-on développé ?

=

Démonstration de l'existence et de l'unicité

Supposons par récurrence que l'existence et l'unicité de det sont démontrés sur M n1(K) avec n>1. La fonction déterminant sur M n1(K) est notée en vert : det

Suposons l'existence de det sur M n(K) et montrons son unicité.

Démontrons l'existence de det sur M n(K).

Définissons une fonction sur M n(K) provisoirement appelée deti par la formule
deti A= j=1 n (1) i+ja ijdet A ij .

(développement par rapport à la i-ième ligne) :

pour i=2 :

a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44= (1) 2+1a 21 a 12 a 13 a 14 a 32 a 33 a 34 a 42 a 43 a 44 + (1) 2+2a 22 a 11 a 13 a 14 a 31 a 33 a 34 a 41 a 43 a 44 + (1) 2+3a 23 a 11 a 12 a 14 a 31 a 32 a 34 a 41 a 42 a 44 + (1) 2+4a 24 a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43
Elle vérifie (D 1) : justification
Soit k l'indice de la colonne où l'on a remplacé A k par aA k+bB k et A˜ ij la matrice extraite correspondant à la matrice (A 1,...,B k,...A n). Dans la somme définissant deti A, a ik est remplacé par a ik+b ik et A ik ne change pas ; par contre pour j différent de k, a ij ne change pas et det A ij est remplacé par det A ij + det A˜ ij en utilisant la propriété (D 1) pour det.

Elle vérifie (D 2) : justification

Soit l'indice k tel que les colonnes d'indice k et d'indice k+1 soient égales. Les matrices extraites A ij intervenant dans la formule ont toutes deux colonnes égales et sont donc nulles sauf les matrices extraites A ik et A ik+1 qui sont égales :
deti A= (1) i+ka ikdet A ik+ (1) i+k+1a ikdet A ik+1=0 .

Elle vérifie (D 3) : justification

deti I n=(1) j+j det I n1=1

L'unicité prouve de plus que les fonctions deti ainsi définies sont tous égales.

Matrice triangulaire

Si A est une matrice triangulaire inférieure, le déterminant de A est le produit de ses coefficients diagonaux a ii : on a
detA=a ii.

Démonstration

On raisonne par récurrence. On développe par rapport à la première colonne si la matrice est triangulaire supérieure et par rapport à la dernière colonne si la matrice est triangulaire inférieure.

Exemple : Le déterminant de

()
est égal à fois le déterminant de
().

Par récurrence, il vaut times times times times times

Matrice inversible et déterminant

Théorème : Le déterminant d'une matrice carrée A d'ordre n est nul si et seulement si le rang de A est strictement inférieur à n, c'est-à-dire si et seulement si A n'est pas inversible.

Démonstration :

  • Si rgA<n, un des vecteurs-colonne de A est combinaison linéaire des n1 autres. Donc det A=0.
  • Si rgA=n, alors A est inversible, on se ramène par des manipulations de colonnes (par la méthode des pivots) à une matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont tous non nuls. A chaque transformation, le déterminant est multiplié par un scalaire non nul. Donc, det A0.

Ainsi,

Théorème : Pour que n vecteurs d'un espace vectoriel de dimension n forment une base, il faut et il suffit que le déterminant de la matrice formée avec leurs composantes dans une base quelconque soit non nul.

La valeur absolue du déterminant d'une base a une interprétation géométrique si l'on utilise le produit scalaire naturels de l'espace vectoriel n comme volume du parallépipède construit à partir de la base.

Multiplicativité

Théorème : Si A et B sont deux matrices carrées d'ordre n;
det AB= detA detB.
En particulier, si A est inversible,
det(A 1)=( det A) 1.

Démonstration :

Si B n'est pas inversible, AB ne l'est pas non plus et on a bien 0=0. Si B est inversible, det(B) neq 0. L'application
F:M n(K) to K
définie par
F(A)= det AB det B
vérifie toutes les propriétés du théorème-définition (exercice). Par unicité, on a donc
F(A)= det A.

Transposition

Théorème : Si A t est la transposée
La transposée de la matrice ((a ij)) est la matrice ((a ji)). Par exemple, la transposée de () est la matrice ().
de la matrice A,
det A= det A t.

On peut ainsi développer le déterminant par rapport à une ligne et les propriétés du théorème-définition restent vraies si on remplace les colonnes par les lignes.

Exercices

Exercice : Des questions auxquelles il faut répondre très vite

Exercices :

Exercice : Déterminant et rang

Déterminant et vecteurs

Aire et déterminant

Théorème Dans le plan, l'aire du du parallélogramme formé à partir des vecteurs v 1 et v 2 est égale à la valeur absolue du déterminant de v 1 et v 2
Démonstration L'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs (a,b) et (c,d) est égale à | adbc | : calculons l'aire de la moitié de ce parallélogramme qui est un triangle T. Rappelons que l'aire d'un triangle ne change pas lorsqu'un des sommets se déplace sur une parallèle au côté opposé :

Il ne reste plus qu'à découper le triangle T en trois triangles et à déformer chacun d'entre eux sans en changer l'aire jusqu'à obtenir une figure remplissant la moitié d'un rectangle de côtés de longueur a et b (et donc d'aire ab) auquel on a enlevé un rectangle de côtés de longueur c et d donc d'aire cd. Magique !

Théorème : L'aire du parallélogramme formé à partir des vecteurs v 1 et v 2 est égale à la norme du produit vectoriel de v 1 et de v 2.

Démonstration :
Plaçons-nous dans le plan contenant les deux vecteurs v 1 et v 2. L'aire A à calculer est égale au produit de la longueur du vecteur v 1 et de la longueur h de la hauteur correspondante. Le vecteur w associé à cette hauteur est la projection de v 2 sur la droite perpendiculaire à v 1. Si w 1=(b,a) est le vecteur normal à v 1=(a,b) de même norme, on a donc

h=w=v 2w 1=det(v 1,v 2)

Théorème : Le volume du parallélépipède formé à partir des vecteurs v 1, v 2 et v 3 de 3 est égal à la valeur absolue du déterminant de v 1 et de v 2 et v 3 calculée dans une base orthonormée.

Démonstration : Le volume V est égal au produit de l'aire A du parallélogramme formé par les vecteurs v 1 et v 2 et de la longueur H de la hauteur du parallélépipède correspondante. Cette hauteur est par définition perpendiculaire au plan engendré par les vecteurs v 1 et v 2. Si w est le vecteur représentant cette hauteur, il est donc colinéaire à v 1w 2 et c'est la projection du vecteur v 3 sur la droite engendrée par v 1v 2. Ainsi, on a

H=v 3v 1v 2v 1v 2

A = v 1v 2

V=AH=v 3(v 1v 2)=det(v 1,v 2,v 3)

Déterminant et vecteurs

Soit E un espace vectoriel de dimension n et calB une base.

Définition : Soit (v 1,...,v n) n vecteurs. On appelle déterminant de (v 1,...v n) dans la base calB le déterminant de la matrice des composantes des v i dans la base calB . On le note det (v 1,...,v n).
Proposition : Le déterminant de n vecteurs dans une base dépend de la base : Si calB' est une autre base, si P est la matrice de passage de calB à calB', on a

det (v 1,...,v n)=det(P)det (v 1,...,v n)

Produit mixte

Considérons un espace vectoriel E de dimension n muni d'un produit scalaire. Choisissons 0 une base orthonormée.

Soit n muni du produit scalaire vv= i=14x ix iv=(x i), v=(x 1,...,x n). Dans ce cas, la base canonique (e 1,...,e n) est orthonormée, c'est-à-dire vérifie e ie j=1 si i=j et 0 sinon.

Théorème : Le déterminant de la matrice de passage d'une base orthonormée à une autre base orthonormée est égale à pm 1 .

Démonstration : la matrice de passage P vérifie PP t=Id. Donc on a det(P) 2=1.

Une fois choisie une base orthonormée 0, le déterminant sépare les bases orthonormées en deux sous-ensembles :

Définition : Soit E un espace vectoriel de dimension n muni d'un produit scalaire (euclidien) et d'une base orthonormée 0 de référence. On appelle produit mixte de n vecteurs v 1,...,v n (on note aussi (v 1,...,v n)) le déterminant de v 1,...,v n dans la base 0 ou ce qui revient au même dans toute base orthonormée directe.

Produit vectoriel

Soit un espace vectoriel E de dimension n muni d'un produit scalaire et d'une base orthonormée 0.

Définition : Soit n1 vecteurs v 1,...,v n1. On appelle produit vectoriel de v 1,...,v n1 l'unique vecteur noté v 1...v n1 tel que

det (v 1,...,v n1,w)=(v 1...v n1)w

pour tout vecteur w de E.

Un tel vecteur existe grâce au théorème suivant :

Théorème : Soit un espace vectoriel E de dimension n muni d'un produit scalaire. Soit f une forme linéaire de E dans RR. Alors, il existe une unique vecteur a dans E tel que f(v)=av.

Exemple : Prenons n=2 : le produit vectoriel de v est le vecteur déduit de v par une rotation d'angle π/2 : on doit en effet avoir det 0(v,w)=v w. Si les composantes de v, w et v dans la base 0 sont respectivement (a,b), (x,y) et (c,d), on doit avoir aybx=cx+dy pour tous x et y dans K. Donc les composantes de v sont (b,a).

Produit vectoriel : propriétés

Les propriétés suivantes se déduisent de la définition et des propriétés du déterminant :

Exercice : Retrouver toutes les propriétés du produit vectoriel que vous connaissez en dimension 3 comme conséquences des propriétés du déterminant.

Déterminant d'un endomorphisme

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et f un endomorphisme de E. Si calB est une base de E, on note Mat la matrice représentant f dans la base calB .
Définition Le scalaire det (Mat (f)) ne dépend pas de la base calB . On l'appelle le déterminant de f.

Démonstration : On applique la formule de changement de base : si P est la matrice de passage de la base à une base

Mat (f)=P 1Mat (f)P

Par multiplicativité du déterminant,

detMat (f)=det(P) 1detMat (f)det(P)=detMat

Théorème :

Déterminant et systèmes linéaires

Soit un système linéaire AX=B à n inconnues et n équations. La matrice A est donc une matrice carrée d'ordre n.

Définition : Si detA est non nul, le système est appelé système de Cramer.

Théorème : Un système de Cramer AX=B admet une solution unique donnée par les formules

x i=detB jdetA

avec B j la matrice obtenue à partie de A en remplaçant la j-ième colonne par la colonne B.

Démonstration : Le système linéaire peut s'écrire en introduisant les colonnes de A :

j=1 nx jA j=B

et on peut utiliser alors la formule

det(A 1,....,B,....A n)=x jdet(A i,....,A j,....A n)

Exemple : Si adbc neq 0, le système

{ax+by = u cx+dy = v

a une unique solution donnée par

x = u b v da b c d     y = a u c va b c d

On utilise aussi les déterminants dans le cas de systèmes linéaires qui ne sont pas de Cramer.

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