Formes quadratiques

Formes quadratiques


Ce cours s'adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d'une façon indissociable l'étude des concepts bilinéaires des formes quadratiques avec l'étude matricielle et géométrique. C'est un cours illustré par des exemples aléatoires et des exercices avec plusieurs réponses possibles ou des avertissements selon l'erreur ainsi que des exercices à étapes et utilisant des bases de données importantes.

I Formes quadratiques et formes polaires associées

II Orthogonalité

III Décomposition en carrés d'une forme quadratique

IV Formes quadratiques sur un espace euclidien

V Application: Coniques du plan affine euclidien

Vous trouverez ici une version pdf : docquadratic.pdf
Ce cours a été préparé dans le cadre du projet européen TEMPUS CD-JEP-31147-2003, intitulé "Mathématiques Assistées à l'Ordinateur et Modélisation" et qui entre dans la rubrique Multimédias dirigée par Marie-Claude David et Bernadette Perrin-Riou, enseignants-chercheurs à l'université Paris-Sud.

VI Tous les exercices WIMS utilisés

I Formes quadratiques et formes polaires associées

Formes quadratiques → I Formes quadratiques et formes polaires associées

I-1 Définitions

I-1-1 Forme quadratique, Forme polaire

Définition

On appelle forme quadratique de E toute application q:E telle que
  1. λ,xE,q(λx)=λ 2q(x).
  2. l'application
    b:E×E (x,y) 12[q(x+y)q(x)q(y)]
    est une forme bilinéaire symétrique.
La forme bilinéaire b est appelée la forme polaire de q.

Remarque

Si q est une forme quadratique de forme polaire b, alors
xE,q(x)=b(x,x).

Exemple


  • Soit E= n muni de son produit scalaire usuel noté <,>. L'application
    q:E x <x,x>
    est une forme quadratique sur E.
  • Soit E= 4, l'application
    q:E x x 2+y 2+z 2t 2
    est une forme quadratique bien connue en mécanique quantique.

Exemple
Soit l: 4, l'application définie pour v=(x,y,z,t) par
l(v)=,
alors l'application q: 4 définie par

q(v)=(l(v)) 2=

est une forme quadratique.

Exemple
Soit Q: 3, l'application définie pour v=(x,y,z) par
Q(v)=
Alors Q est une forme quadratique, sa forme polaire est définie pour v 1=(x 1,y 1,z 1) et v 2=(x 2,y 2,z 2) par

b(v 1,v 2)=.



I-1-2 Matrice d'une forme quadratique

Définition [Matrice d'une forme quadratique]

Soit une base de E. On appelle matrice de q relativement à la matrice de sa forme polaire b relativement à et on note
Mat(q,)=Mat(b,).
Soient x et y deux vecteurs de E, notons X et Y les matrices des composantes de x et de y dans la base . Alors
b(x,y)= tXM(b,)Y= tY tM(b,)X.
et
q(x)= tXM(q,)X.

Remarque

Mat(q,) est une matrice symétrique.

Exemple
Soit Q: 3, la forme quadratique définie pour v=(x,y,z) par
Q(v)=

Sa matrice dans la base canonique est donnée par

A=(1 3 1 3 0 1 1 1 3).



Définition [Effet de changement de bases]

Soient et deux bases de E, notons P la matrice de passage de à . Si q est une forme quadratique de E de forme polaire associée b, on a vu dans le chapitre précédent que la relation entre les matrices de la forme bilinéaire b dans les différentes bases est donnée par
Mat(b,)= tPMat(b,)P
et donc
Mat(q,)= tPMat(q,)P.

I-2 Expression analytique d'une forme quadratique

Formes quadratiquesI Formes quadratiques et formes polaires associées → I-2 Expression analytique d'une forme quadratique

I-2-1 Définition

Définition [Expression analytique]

Soit q une forme quadratique de E de forme polaire b et =(e 1,,e n) une base de E. Posons
M=Mat(q,)=(m i,j) 1i,jn.

Soit x= i=1 nx ie i, un élément de E. On a
q(x)=b(x,x)= i=1 n j=1 nm i,jx ix j.
Comme M est symétrique alors
q(x)= i=1 nm i,ix i 2+2 i<jm i,jx ix j

Ce polynôme homogène de degré 2 en x 1,,x n est appelé expression analytique de q.

I-2-2 Méthode de dédoublement d'indices et exemples La méthode de dédoublement d'indice permet de retrouver l'expression analytique de b à partir de celle de q :
dans l'expression analytique de q, on remplace les x i 2 par x iy i et les x ix j par 12(x iy j+x jy i) pour ij, on obtient ainsi celle de b.
Exemple

Soit Q: 3, la forme quadratique définie pour v=(x,y,z) par
Q(v)=
Sa forme polaire est définie pour v 1=(x 1,y 1,z 1) et v 2=(x 2,y 2,z 2) par

b(v 1,v 2)=.



Exercice

Formes Polaires

I-3 Rang et noyau d'une forme quadratique

Formes quadratiquesI Formes quadratiques et formes polaires associées → I-3 Rang et noyau d'une forme quadratique

Définition

  1. Soit q une forme quadratique de E et une base de E, M=Mat(q,). On appelle rang de q , noté rgq, le rang de la matrice M.
  2. On appelle noyau de q le sous-espace vectoriel de E :
    kerq={xE;yE,b(x,y)=0}.

Remarque

Remarquons que rgq ne dépend pas de la base choisie et le noyau de q est celui de sa matrice relativement à n'importe quelle base. En effet, si est une autre base de E et A=Mat(q,), alors A= tPMP et rgA= rgM, d'autre part, il est clair que kerM kerq, réciproquement, si x kerq alors
yE,b(x,y)= tXMY= tYMX=0
donc MX=0 et par conséquent, x kerM.

Exemple


Soit Q: 3, la forme quadratique définie pour v=(x,y,z) par

Q(v)=


Sa matrice dans la base canonique est

A=[].


Son rang est NaN.


I-4 Formes quadratiques non dégénérées

Formes quadratiquesI Formes quadratiques et formes polaires associées → I-4 Formes quadratiques non dégénérées

Définition

Soit q:E une forme quadratique de forme polaire b. On dit que
  1. q est non dégénérée si b est non dégénérée c'est-à-dire
    (yE,b(x,y)=0)x=0.
  2. q est positive si b est positive.
  3. q est définie positive si b est définie positive.
La proposition suivante donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une forme quadratique soit non dégénérée.

Proposition

Soit q une forme quadratique de E. Considérons une base de E. Les assertions suivantes sont équivalentes:
  1. q est non dégénérée.
  2. kerq={0}.
  3. La matrice M de q dans la base est inversible.

Démonstration
Par définition, q est non dégénérée si et seulement si son noyau est nul, on déduit d'après le théorème du rang que le rang de q est égal à la dimension de E ce qui est équivalent à rgM= rgq=n, c'est-à-dire à ce que la matrice M est inversible.
Fin de la démonstration

II Orthogonalité

Formes quadratiques → II Orthogonalité

II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique

Formes quadratiquesII Orthogonalité → II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique

II-1-1 Définitions et Remarques

Définitions

  1. Soit b une forme bilinéaire symétrique sur E. Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux par rapport à b si b(x,y)=0.
  2. Une base (v 1,...,v n) de E est dite orthogonale par rapport à b si
    b(v i,v j)=0ij,1i,jn.
  3. Si q est la forme quadratique associée à b. Deux vecteurs x et y sont dits orthogonaux par rapport à q s'ils sont orthogonaux par rapport à b.
  4. Pour tout sous-espace vectoriel F de E, on définit l'orthogonal de F pour b , noté F :
    F ={xE/b(x,y)=0,yF}.

Remarques

Soit b:E×E une forme bilinéaire symétrique.
  1. Une base B(v 1,,v n) de E est orthogonale par rapport à b si et seulement si Mat(b,) est diagonale.
  2. Soit une base de E et M=Mat(b,), trouver une base orthogonale par rapport à b revient à trouver PGL n() telle que tPMP soit diagonale.

Définition [Vecteur isotrope]

Un vecteur x est dit isotrope (pour q) si q(x)=0.

Remarques

  1. Il se peut qu'il existe des vecteurs isotropes non nuls. Par exemple, si E= 2 et
    b:E×E ((x 1,x 2),(y 1,y 2)) x 1y 1x 2y 2
    le vecteur (1,1) est isotrope pour q.
  2. Les vecteurs du noyau d'une forme quadratique sont isotropes mais la réciproque est fausse.
  3. Si tout vecteur de E est isotrope, alors la forme quadratique q est nulle.

II-1-2 Existence de bases orthogonales

Proposition

Soit b une forme bilinéaire symétrique de E, alors E possède au moins une base orthogonale par rapport à b.

Démonstration
Montrons ce résultat par récurrence sur n, la dimension de E. La propriété est triviale pour n=1. Supposons-la vraie pour tout -espace vectoriel de dimension n et soient E un -espace vectoriel de dimension finie n+1 et b une forme bilinéaire symétrique sur E×E.
Si b=0, alors toute base de E est orthogonale pour b et E admet au moins une base. Supposons donc b0. Si tout vecteur de E est isotrope, alors b est nulle.
Donc, il existe e 1E tel que q(e 1)0. Considérons F={e 1} et la restriction b de b à F×F.

Lemme

Soit e 1 un vecteur tel que q(e 1)0, alors les sous-espaces vectoriels e 1 et F={e 1} sont supplémentaires dans E.
[Démonstration du lemme] Soit xE. Pour tout (α,y) de ×E, on a
{x=αe 1+y yF{x=αe 1+y b(e 1,y)=0
{x=αe 1+y b(e 1,x)=αq(e 1) {α=b(e 1,x)q(e 1) y=xb(e 1,x)q(e 1)e 1
Ceci montre que tout élément x de E se décompose d'une façon unique sur e 1 et F, donc e 1 et F sont supplémentaires dans E. En particulier, dimF=n.
Fin de la démonstration
Revenons à la démonstration de la proposition. D'après l'hypothèse de récurrence, il existe une base (e 2,,e n+1) de F qui est orthogonale pour b. Notons =(e 1,,e n+1), on a :
  • est une base de E car e 1 et F sont supplémentaires.
  • 2jn+1, b(e 1,e j)=0 car e jF={e 1} .
  • 2i,jn+1, (ij(b(e i,e j)=0).
Ainsi, est une base de E orthogonale pour b.

Corollaire

Pour toute matrice symétrique S , il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telle que D= tPSP.
Démonstration
Soit S une matrice symétrique réelle et notons b la forme bilinéaire symétrique dont la matrice relativement à la base canonique de n est S. D'après la proposition précédente, il existe une base orthogonale par rapport à b, ainsi la matrice de b dans cette base est diagonale. D'après le théorème de changement de bases pour les formes bilinéaires symétriques, en notant P la matrice de passage de la base canonique à la base , on a D= tPSP.
Fin de la démonstration

Remarque

Attention, les éléments de la diagonale de D ne sont pas nécessairement les valeurs propres de S.

Corollaire

Toute forme quadratique q sur E est décomposable, d'au moins une façon, en une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes.
Démonstration
Soient q une forme quadratique sur E de forme polaire b, d'après ce qui précède, il existe une base orthogonale de E et la matrice D de q dans cette base est diagonale D= diag(d 1,,d n). Soit x un vecteur de E de composantes (x 1,,x n) dans la base . L'expression analytique de q s'écrit alors
q(x)=d 1x 1 2++d nx n 2.
En notant
i:E x x i
les i sont des formes linéaires, de plus la famille ( 1,, n) est libre car c'est la base duale de .
Fin de la démonstration

Exemple



Soit Q: 3, la forme quadratique définie pour v=(x,y,z) par
Q(v)=

Sa matrice est

A=[].


Une base orthogonale par rapport à Q est donnée par (v1, v2, v3). où
v 1=()
v 2=()
v 3=()

II-2 Signature d'une forme quadratique

Formes quadratiquesII Orthogonalité → II-2 Signature d'une forme quadratique

Théorème

Soit q:E une forme quadratique. Il existe (v 1,,v n) une base de E orthogonale par rapport à q et des entiers r et s vérifiant 0rr+sn tels que
q( i=1 nx iv i)=x 1 2+x 2 2++x r 2x r+1 2x r+s 2
Les entiers r et s ne dépendent que de q .
Le couple (r,s) s'appelle signature de q et le rang de q vaut r+s.

Démonstration
On va montrer l'existence et l'unicité de r et s.
  • Existence:
    Il existe (u 1,,u n) une base de E orthogonale par rapport à q. Quitte à réordonner ces vecteurs, on peut supposer qu'il existe r,s tels que 0rn, 0sn et r+sn vérifiant
    q(u i)>0 pour 1ir (r peut être nul) q(u i)<0 pour r+1ir+s (s peut être nul ) q(u i)=0 pour i>r+s (r+s peut être égal à n)

    Posons
    v i=u iq(u i) pour 1ir, v i=u iq(u i) pour r+1ir+s v i=u i pour i>r+s.

    B=(v 1,,v n) est une base de E orthogonale par rapport à q et on a
    M=Mat(q,)=(I r 0 0 0 I s 0 0 0 0)

    Comme rgq=rgM alors rgq=r+s.
  • Unicité:
    Supposons qu'il existe r et s dans et (v 1,,v n) une base de E orthogonale par rapport à q telle que
    q( i=1 nx iv i)=x 1 2++x r 2x r+1 2x r+s 2
    on a r+s= rgM=r+s.
    Vérifions que {v 1,v r,v r+1,v n} est un famille libre de E.
    Supposons que α 1v 1++α rv r+β 1v r+1++β nrv n=0
    On aura alors q( i=1 kα iv i)=q( i=1 nrβ iv r+i). On en déduit,
    α 1 2++α r 2=β 1 2β s 2.

    et par suite α 1==α r=β 1=β s=0. Comme {v r+s+1,v n} est une sous-famille d'une famille libre alors β s+1=β nr=0.
    La famille {v 1,v r,v r+1,v n} est donc libre. Par suite, son cardinal r+nr est majoré par la dimension de E alors on a rr.
    On montre de la même façon que rr on en déduit r=r puis s=s

Fin de la démonstration

Exemple




Soit Q: 3, la forme quadratique définie pour v=(x,y,z) par
Q(v)=

Sa matrice dans la base canonique est

A=[].


Sa signature est ().

Exercice

Signature et rang

La proposition suivante donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une forme quadratique soit non dégénérée.

Proposition

Soit q une forme quadratique de E de signature (r,s). Considérons une base de E. Alors, q est non dégénérée si et seulement si r+s=n

Démonstration
Par définition, q est non dégénérée si et seulement si son noyau est nul, on déduit d'après le théorème du rang que le rang de q est égal à la dimension de E ce qui est équivalent à r+s=n.
Fin de la démonstration

Proposition

Soient q:E une forme quadratique de signature (r,s).
  1. q est positive s=0
  2. q est définie positive r=n

III Décomposition en carrés d'une forme quadratique

Formes quadratiques → III Décomposition en carrés d'une forme quadratique

III-1 Méthode de Gauss

III-2 Exemples

III-3 Décomposition dans une base de vecteurs propres

III-4 Formes quadratiques équivalentes

III-1 Méthode de Gauss

Formes quadratiquesIII Décomposition en carrés d'une forme quadratique → III-1 Méthode de Gauss
Le but de cette méthode est d'écrire une forme quadratique comme une somme de carrés.

Théorème

Soit q une forme quadratique non nulle de E alors il existe 1,, p des formes linéaires indépendants de E et α 1,,α p des réels non nuls tels que
q= i=1 pα i i 2
en outre, on a
rgq=p
et
kerq={x n/ 1(x)= 2(x)== p(x)=0}

Démonstration
On raisonne par récurrence sur la dimension de E.
pour n=1. Soit (e 1) une base de E, tout vecteur xE s'écrit x=x 1e 1, donc q(x)=q(e 1)x 1 2 et alors q(e 1)=α0 car q0. On choisit dans ce cas
1:E x 1e 1 x 1
Soit n2, supposons le résultat vrai pour toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension pn1 et soit q une forme quadratique de E.Soit B=(e 1,e 2,,e n) une base de E, on sait que
xE,q(x)= i=1 na i,ix i 2+2 1i<jna i,jx ix j
  • Premier Cas :
    S'il existe i 0 tel que a i 0,i 00 : pour fixer les idées, supposons que a 1,10.
    Le principe est de regrouper tous les termes contenant x 1 et faire apparaître un début de carré.
    q(x)=a 1,1x 1 2+2 j=2 na 1,jx 1x j+ i=2 na i,ix i 2+2 2i<jna i,jx ix j.

    Notons q 1(x 2,,x n)= i=2 na i,ix i 2+2 2i<jna i,jx ix j. Remarquons que c'est une forme quadratique en x 2,,x n.
    On a
    q(x) = a 1,1(x 1 2+2a 1,1 j=2 na 1,jx 1x j)+q 1(x 2,,x n) = a 1,1(x 1+ j=2 na 1,jx ja 1,1) 2 1a 1,1( j=2 na 1,jx j) 2+q 1(x 2,,x n).

    Soit alors a 1=a 1,1 et 1:(x 1,,x n)x 1+ j=2 na 1,jx ja 1,1.
    q 2:(x 2,,x n)q 1(x 2,,x n)1a 1,1( j=2 na 1,jx j) 2
    est une forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension n1, on lui applique alors l'hypothèse de récurrence. Les formes linéaires récupérées en utilisant l'hypothèse de récurrence sont nécessairement libres avec 1 vu qu'elles n'ont pas de composantes suivant x 1.
  • Deuxième Cas :
    Cas où tous les a i,i sont nuls, la forme quadratique s'écrit alors sous la forme q(x)=2 1i<jna i,jx ix j,xE. Sans perte de généralité, supposons que a 1,20.
    L'idée est de regrouper tous les termes contenant x 1 et x 2.
    q(x)=2a 1,2x 1x 2+2 j=3 na 1,jx 1x j
    +2 j=3 na 2,jx 2x j+2 3i<jna i,jx ix j.

    Posons,
    φ(x) = j=3 na 1,jx j, ψ(x) = j=3 na 2,jx j θ(x) = 2 3i<jna i,jx ix j
    Remarquons que theta est un polynôme homogène de degré 2 en x 3,,x n.
    Une fois que c'est fait, on regroupe ces formes de la façon suivante:
    q(x) = 2a 1,2x 1x 2+2x 1φ(x)+2x 2ψ(x)+θ(x) = 2a 1,2[a 1,2 2x 1x 2+a 1,2x 1φ(x)+a 1,2x 2ψ(x)]+θ(x) = 2a 1,2(a 1,2x 1+ψ(x))(a 1,2x 2+φ(x))2a 1,2φ(x)ψ(x)+θ(x)
    q 1:(x 3,,x n)θ(x)2a 1,2φ(x)ψ(x) est une forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension n2. En effet, le produit de deux formes linéaires est une forme quadratique.
    En utilisant la relation ab=14[(a+b) 2(ab) 2], on obtient
    q(x) = 12a 1,2[(a 1,2x 1+a 1,2x 2+ψ(x)+φ(x)) 2(a 1,2x 1a 1,2x 2+ψ(x)φ(x)) 2] + q 1(x 3,,x n).

    Posons a 1=12a 1,2, a 2=12a 1,2,
    1:(x 1,,x n)a 1,2x 1+a 1,2x 2+ψ(x)+φ(x)
    et
    2:(x 1,,x n)a 1,2x 1a 1,2x 2+ψ(x)φ(x).

    Les formes 1 et 2 sont deux formes linéaires indépendantes de n et q 1 est une forme quadratique à qui on applique l'hypothèse de récurrence.
Fin de la démonstration

Remarque

La démonstration du théorème précédent est la méthode pratique de réduction de Gauss.

Corollaire

Sous les hypothèses du théorème précédent, la signature de q est (r,s)
r=Card{a i>0,i=1,,p}
et
s=Card{a i<0,i=1,,p}.

Remarque utile
La décomposition de Gauss permet aussi de déterminer une base orthogonale par rapport à la forme quadratique.

III-2 Exemples

Formes quadratiquesIII Décomposition en carrés d'une forme quadratique → III-2 Exemples
Dans cette sous section, on donne trois exemples de réduction de Gauss d'une forme quadratique. Lire la preuve du théorème précédent en regardant les exemples.

III-2-1 Exemple 1: Forme quadratique avec carrés

Exemple

Soit E= 3 ,
q(x,y,z) = 2x 2y 24xy8yz = 2(x 22xy)y 28yz = 2(xy) 29y 28yz = 2(xy) 29(y 2+89yz) = 2(xy) 29(y+49z) 2+169z 2
Posons { 1(x,y,z)=xy 2(x,y,z)=y+49z 3(x,y,z)=zet{x=xy y=y+49z z=z
( 1, 2, 3) est une base de l'espace dual E * de E.
On a q(x,y,z)=2x 29y 2+169z 2 donc si PM 3() tel que
(x y z )=P 1(x y z )
alors les vecteurs de composantes les colonnes de P forment une base orthogonale par rapport à q. Une base orthogonale par rapport à q est donc (v 1,v 2,v 3)v 1=(1,0,0), v 2=(1,1,0) et v 3=(49,49,1)

Exemple

Soit E= 3 ,
q(x,y,z) = x 2+xy+xz = (x+12y+12z) 2(12y+12z) 2
Soit 1(x,y,z)=x+12y+12z 2(x,y,z)=12y+12z On choisit la forme linéaire 3 telle que la famille ( 1, 2, 3) soit une base de l'espace dual E * de E. Soit
3(x,y,z)=z.

Posons
{x=x+12y+12z y=12y+12z z=z
On a q(x,y,z)=x 2y 2 donc si PM 3() tel que
(x y z )=P 1(x y z ),
les vecteurs de composantes les colonnes de P forment une base orthogonale par rapport à q. Une base orthogonale par rapport à q est donc (v 1,v 2,v 3)v 1=(1,0,0), v 2=(1,2,0) et v 3=(0,1,1)

III-2-2 Exemple 2: Forme quadratique sans carrés

Exemple

Soit E= 4 ,
q(x,y,z) = xy+xz+yz+zt = (x+z)(y+z)z 2+zt = 14(x+2z+y) 214(xy) 2(z12t) 2+14t 2
Soient
{ 1(x,y,z,t)=x+2z+y 2(x,y,z,t)=xy 3(x,y,z,t)=z12t 4(x,y,z,t)=t
La famille ( 1, 2, 3, 4) est une base de l'espace dual E * de E. Posons
{x=x+2z+y y=xy z=z12t t=t

On a
q(x,y,z)=14x 214y 2z 2+14t 2
donc si PM 4() tel que
(x y z t )=P 1(x y z t )
les vecteurs de composantes les colonnes P forment une base orthogonale par rapport à q. Une base orthogonale par rapport à q est alors (v 1,v 2,v 3,v 4)
v 1=(12,1,0,0),
v 2=(12,1,0,0),
v 3=(12,12,1,0)
et
v 4=(12,12,1,1).

III-2-3 Exercices

Exercice

Réduction de Gauss

III-3 Décomposition dans une base de vecteurs propres

Formes quadratiquesIII Décomposition en carrés d'une forme quadratique → III-3 Décomposition dans une base de vecteurs propres

Proposition

Soient une base de E et q une forme quadratique sur E, notons M=Mat(q,), alors il existe une base orthogonale par rapport à q formée par des vecteurs propres de M.

Démonstration
Soit B=(e 1,,e n) une base de E. On sait que M=Mat(q,) est symétrique réelle, donc il existe PO(n) telle que P 1MP= tPMP soit diagonale. Alors (Pe 1,,Pe n) est une base orthogonale par rapport à q.
Fin de la démonstration

Corollaire

Soit q:E une forme quadratique de signature (r,s) et une base de E. Si M=Mat(q,), alors r est le nombre de valeurs propres positives de M et s est le nombre de valeurs propres négatives de M.

Exemple




Soit Q: 3, la forme quadratique définie pour v=(x,y,z) par
Q(v)=

Sa matrice dans la base canonique est

A=[].


Sa signature est ().

Exercice

Signature d'une forme quadratique

Exercice

Rang d'une forme quadratique

Proposition

Soit q:E une forme quadratique de signature (r,s).
  1. q est positive Longleftrightarrow toutes les valeurs propres de M sont positives.
  2. q est définie positive Longleftrightarrow toutes les valeurs propres de M sont strictement positives.

III-4 Formes quadratiques équivalentes

Formes quadratiquesIII Décomposition en carrés d'une forme quadratique → III-4 Formes quadratiques équivalentes

Définition

Deux formes quadratiques q 1 et q 2 de E sont dites équivalentes s'il existe un automorphisme u:EE tel que q 2=q 1u.

Remarque

La relation binaire "équivalente" est une relation d'équivalence.

Proposition

Soient une base de E, q 1 et q 2 deux formes quadratiques de E de matrices respectives relativement à la base , A 1 et A 2. Alors, q 1 et q 2 sont équivalentes si et seulement s'il existe une matrice P inversible telle que A 2= tPA 1P.

Démonstration
Les formes quadratiques q 1 et q 2 sont équivalentes si et seulement s'il existe un automorphisme u de E tel que q 2=q 1u. Notons P=Mat(u,), soient xE et X la matrice des composantes de x dans . On a alors
q 2(x)=q 1(u(x)) tXA 2X= t(PX)A 1PX= tX( tPA 1P)X A 2= tPA 1P
Fin de la démonstration

Nous admettons ce résultat qui caractérise deux formes quadratiques équivalentes.

Théorème

Deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont la même signature.

Exercice

Formes quadratiques équivalentes

IV Formes quadratiques sur un espace euclidien

Formes quadratiques → IV Formes quadratiques sur un espace euclidien

IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint

IV-2 Bases orthonormées, orthogonales par rapport à une forme quadratique

IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint

Formes quadratiquesIV Formes quadratiques sur un espace euclidien → IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint
Soit E un espace euclidien dont le produit scalaire est noté <,>.

Proposition

Soit u un endomorphisme de E. Alors l'application
b:E×E (x,y) <u(x),y>
est une forme bilinéaire sur E. De plus b est symétrique si et seulement si u est autoadjoint.

Théorème

Soit q une forme quadratique sur E. Alors, il existe un unique endomorphisme autoadjoint u de E tel que q(x)=<u(x),y> pour tout xE et la matrice de u dans une base orthonormée est celle de q dans la même base.

Démonstration
  1. Existence: Soit une base orthonormée de E, notons M=Mat(q,) et b la forme polaire de q. Pour tous x et y de E, si X et Y désignent leurs matrices des composantes respectives on a,
    b(x,y)= tXMY= t(MX)Y
    car M est symétrique. l'endomorphisme u de E de matrice M dans la base , est autoadjoint En effet, sa matrice dans une base orthonormée est symétrique. et on a b(x,y)=<u(x),y>.
  2. Unicité: Supposons qu'il existe deux endomorphismes autoadjoints u et u vérifiant
    b(x,y)=<u(x),y>=<u(x),y>
    (x,y)E×E. Par conséquent,
    u(x)u(x)E =0xE.
    D'où,
    u=u.
Fin de la démonstration

IV-2 Bases orthonormées, orthogonales par rapport à une forme quadratique

Formes quadratiquesIV Formes quadratiques sur un espace euclidien → IV-2 Bases orthonormées, orthogonales par rapport à une forme quadratique

Théorème

Soit q une forme quadratique de E. Il existe une base orthonormée de E orthogonale par rapport à q.

Démonstration
Soit u l'endomorphisme autoadjoint associé à q. On sait que u est diagonalisable et il existe une base orthonormée de E formée par des vecteurs propres de u. La matrice de u dans la base , qui est aussi d'après la remarque précédente la matrice de q dans la même base, est diagonale, d'où est orthogonale par rapport à q.
Fin de la démonstration

Remarque importante

Soient q une forme quadratique de E et une base orthonormée de E, notons M=Mat(q,). Pour déterminer une base orthogonale par rapport à q et orthonormée par rapport au produit scalaire <,>, il faut absolument considérer une base orthonormée de vecteurs propres de la matrice M. Par contre, pour avoir juste une base orthogonale par rapport à q, on peut utiliser la réduction de Gauss.

Exemple



Soit Q: 3, la forme quadratique définie pour v=(x,y,z) par
Q(v)=

Sa matrice est

A=[].


Une base orthogonale par rapport à Q et orthonormée par rapport au produit scalaire usuel de 3 est donnée par (v1, v2, v3), où
v 1=() est un vecteur propre pour 3
v 2=() est un vecteur propre pour 3
v 3=() est un vecteur propre pour 1


Exercice

Bases orthogonales

V Application: Coniques du plan affine euclidien

Formes quadratiques → V Application: Coniques du plan affine euclidien
Dans cette partie on va donner aux coniques qui sont bien connues géométriquement, un aspect algébrique et on va les définir à partir des formes quadratiques.
Une conique est la courbe obtenue en coupant un cône par un plan.

V-1 Définitions

V-2 Forme réduite d'une équation de conique

V-3 Centre de symétrie d'une conique

V-4 Classification des coniques

V-5 Tableaux récapitulatifs

V-6 Exemples et exercices

V-1 Définitions

Formes quadratiquesV Application: Coniques du plan affine euclidien → V-1 Définitions
Soit (,E) un espace affine euclidien de dimension 2 muni d'un repère orthonormé R=(O,i,j). On note X=(x y ) la matrice des coordonnées d'un point M de .

Définition

Une conique de est le sous-ensemble C de défini dans R par une équation du type
ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0
(a,b,c) 3{(0,0,0)}etd,e,f. On note q la forme quadratique sur E définie par
q(OM)=q(xi+yj)=ax 2+bxy+cy 2
A sa matrice
(a b2 b2 c)
et psi la forme linéaire sur E
ψ(xi+yj)=dx+ey
de matrice B=(d,e) La conique admet donc pour équation
q(OM)+ψ(OM)+f=0.
L'équation de la conique s'écrit aussi
tXAX+BX+f=0.

V-2 Forme réduite d'une équation de conique

Formes quadratiquesV Application: Coniques du plan affine euclidien → V-2 Forme réduite d'une équation de conique
Soit u l'endomorphisme autoadjoint de E tel que
vE,ϕ(v)=<u(v),v>
Comme u est autoadjoint, il est diagonalisable dans une base (v 1,v 2) orthonormée de vecteurs propres associés aux valeurs propres respectives lambda et mu de u. Dans le repère R=(O,v 1,v 2), on note (x,y) les composantes de M, alors il existe β 1,β 2,f tel qu'une équation de C dans R soit
λx 2+μy 22β 1x2β 2y+f=0.
Cette forme d'équation est appelée réduite de la conique C.
Exemple
L'équation donnée par
=0
est une équation réduite pour le cercle de centre (3,3) et de rayon 3.


V-3 Centre de symétrie d'une conique

Formes quadratiquesV Application: Coniques du plan affine euclidien → V-3 Centre de symétrie d'une conique

Définition

Soit ω et S ω la symétrie centrale de de centre omega, on dit que omega est centre de symétrie de C , si pour tout point M de C, M=S ω(M) appartient à C.
Nous allons donner maintenant une condition nécessaire et suffisante pour qu'un point du plan soit le centre de symétrie d'une conique.

Proposition

Soit omega un point de coordonnées X 0=(x 0 y 0 ) dans R. Les assertions suivantes sont équivalentes
  1. omega est centre de symétrie de C
  2. AX 0=tB2
  3. (S) {2ax 0+by 0+d = 0 bx 0+2cy 0+e = 0

Démonstration
Soit R 0 le repère (ω,i,j), un point M de coordonnées X dans R a pour coordonnées Y=XX 0 dans R 0. On détermine une équation de C dans R 0 ainsi:
MC tXAX+BX+f=0 t(X 0+Y)A(X 0+Y)+B(X 0+Y)+f=0 tYAY+(2 0 tXA+B)Y+ tX 0AX 0+BX 0+f=0
Donc une équation de C dans R 0 est
tYAY+(2 0 tXA+B)Y+ tX 0AX 0+BX 0+f=0
D'autre part, M=S ω(M) a pour coordonnées Y=Y dans R 0. On a donc
tYAY+(2 tX 0A+B)Y+ tX 0AX 0+BX 0+f
= tYAY(2 tX 0A+B)Y+ tX 0AX 0+BX 0+f

Si de plus MC alors
tYAY+(2 tX 0A+B)Y+ tX 0AX 0+BX 0+f=0
ce qui est équivalent à
(2 tX 0A+B)Y=0
Donc, dans ce cas omega est centre de symétrie de C si et seulement si M appartient à C si et seulement si AX 0=tB2, c'est-à-dire coordonnée par coordonnée
{2ax 0+by 0+d = 0 bx 0+2cy 0+e = 0
Fin de la démonstration

Remarque

  • Il existe un unique centre de symétrie de la conique C si et seulement si A est de rang 2, c'est-à-dire si q est non dégénérée.
  • Dans le cas où q est dégénérée, le système (S) n'est pas de Cramer et la conique C n'a pas nécessairement un centre de symétrie.

Proposition [Equation réduite de C]

  1. Il découle immédiatement de la proposition précédente que omega est centre de symétrie de C si et seulement si l'équation de C dans R 0 est
    tYAY+ tX 0AX 0+BX 0+f=0.
  2. On note (x,y) les composantes de M dans le repère R=(ω,v 1,v 2), alors l'équation de C dans R a l'une des deux formes suivantes:
    λx 2+μy 2+h=0ouλx 22β 2y+h=0.
Sans perte de généralité, on suppose que λ0 dans tout ce qui suit.

V-4 Classification des coniques

Formes quadratiquesV Application: Coniques du plan affine euclidien → V-4 Classification des coniques

Soit C une conique d'équation Eq3 dans un repère R=(ω,v 1,v 2), omega est donc le centre de symétrie de C. On note q la forme quadratique λX 2+μY 2.
Nous allons classifier les coniques suivant le rang de la forme quadratique associée ou encore suivant lambda, mu, β 1 et β 2.

Théorème

  1. Si le rang de q est égal à 2 alors C est une ellipse ou une hyperbole ou la réunion de deux droites.
  2. Si le rang de q est égal à 1 alors C est une parabole ou la réunion de deux droites ou un point.

Démonstration
  • Premier Cas:
    Cas où la forme quadratique q est non dégénérée c'est-à-dire rgq=2.
    Comme q est non dégénérée alors le produit des deux valeurs propres lambda et mu est non nul. Soit ω(β 1λ,β 2μ), le centre de symétrie de C. Dans le repère R=(ω,v 1,v 2),l'équation de C est
    λX 2+μY 2+h=0.
    D'où,
    C:X 2hλ+Y 2hμ+hh=0

    en posant a 2=hλ et b 2=hμ, on obtient l'équation équivalente
    X 2a 2+εY 2b 2+ε=0
    avec ε,ε{1,1}.
  • Deuxième Cas:
    Dans le cas où le rang de la forme quadratique q est 1.
    On a λμ=0. Supposons λ0 et μ=0. L'équation de C dans le repère R sera alors
    λX 22β 2Y2β 1X+f=0.

    Dans le repère R 0 l'équation de C sera
    λ(X 22β 1X2λ)2β 2Y+f=0.

    Soit ω(β 1λ,0) ; dans le repère R=(ω,v 1,v 2), l'équation de C est
    λX 22β 2Y+h=0
Fin de la démonstration

Les résultats géométriques du théorème précédent sont récapitulés dans les tableaux suivants.

V-5 Tableaux récapitulatifs

Formes quadratiquesV Application: Coniques du plan affine euclidien → V-5 Tableaux récapitulatifs
Les tableaux suivant récapitulent les différentes formes réduites dégénérées et non dégénérées de la conique qui a pour équation
λX 2+μY 2+h=0.

V-5-1 Cas d'une ellipse C'est le cas où λμ>0

λh>0                                  C=.
h=0 C=ω
λh<0 C est une ellipse d'équation x 2a 2+y 2b 21=0, de centre omega et d'axes (ω,v 1) et   (ω,v 2.)
Ellipse d'équation: x 29+y 236=1.


V-5-2 Cas d'une hyperbole C'est le cas où λμ<0.


λh>0 C est une hyperbole d'équation   x 2a 2y 2b 21=0, de centre omega et  d'axes (ω,v 1) et   (ω,v 2).
Hyperbole d'équation : x 216y 249=1.
h=0 C est la réunion de deux droites passant par   ω et d'équations y=±λμx.
Réunion de deux droites d'équations: y=1.75xety=1.75x
λh<0 C est une hyperbole d'équation   y 2a 2x 2b 21=0, de centre omega et  d'axes (ω,v 1) et   (ω,v 2). Hyperbole d'équation : y 216x 249=1.



V-5-3 Cas d'une parabole Dans ce cas la conique a pour équation λX 22β 2Y+h=0


β 2=0 λh>0 C=.
λh0 C est la réunion de deux droites parallèles à l'axe des y et d'équations y=±hλ. Droites d'équations y = -1.2909944 et y = 1.2909944
β 20   C est une parabole de sommet S(0,h2β 2), d'axe principal (ω,u) et a pour équation x 2=2β 2λ(yh2β 2) Parabole d'équation : x 28y=0


V-6 Exemples et exercices

Formes quadratiquesV Application: Coniques du plan affine euclidien → V-6 Exemples et exercices

Exemple

Dans l'espace affine euclidien usuel 2, on considère la conique C d'équation
9x 210xy+4y 2=36.

Soit la forme quadratique
q(x,y)=9x 210xy+4y 2.
On a
q(x,y)=9(x59y) 2+119y 2
donc la signature de q est (2,0) et alors C est une ellipse.
L'endomorphisme autoajoint u de 2 tel que
q(v)=<u(v),v>v 2
a pour matrice dans la base canonique
(9 5 5 4 ).
Les valeurs propres de varphi sont
λ=13+552 et μ=13552
et
u 1=(2 15)
et
u 2=(2 1+5)
sont des vecteurs propres associés à lambda respectivement mu Les axes de symétrie de C sont les droites passant par l'origine de vecteurs directeurs respectifs u 1 et u 2.

Exercice

Invariants d'une conique

VI Tous les exercices WIMS utilisés

Formes quadratiques → VI Tous les exercices WIMS utilisés
Les exercices suivants se trouvent aussi au cours du texte.
  • Formes Polaires
  • Signature et rang
  • Réduction de Gauss
  • Signature d'une forme quadratique
  • Rang d'une forme quadratique
  • Formes quadratiques équivalentes
  • Bases orthogonales
  • Invariants d'une conique
  • Formes Polaires
  • Signature et rang
  • Réduction de Gauss
  • Signature d'une forme quadratique
  • Rang d'une forme quadratique
  • Formes quadratiques équivalentes
  • Bases orthogonales
  • Invariants d'une conique

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