DOC Equations différentielles ordre1

Plan du chapitre

Dans les exemples du cours, en cliquant sur rechargez , vous obtiendrez un nouvel exemple avec d'autres valeurs numériques.

Dans le cours et les exemples, y est une fonction de la variable t. Dans les exercices, la variable peut être soit t, soit x.

Remarque concernant l'écriture des réponses aux exercices : entre k et e il faut écrire le signe * de multiplication, ou laisser un espace.
Pour donner la réponse ke 3t, on écrira : k*e^(3t) ou k e^(3t), ou encore k exp(3t), mais pas ke^(3t).

Introduction
  • I. Equations différentielles de la forme y=λy
    1. Solution générale de l'équation y=λy
    2. Solution vérifiant une condition initiale

  • II. Equations différentielles de la forme ay+by=g(t)
    1. Théorème fondamental
    2. Vérification qu'une fonction donnée est une solution particulière
    3. Recherche d'une solution particulière de forme donnée
    4. Résolution de l'équation "avec second membre"
    5. Conditions initiales

  • III Equations différentielles de la forme a(t)y+b(t)y=g(t)
    1. Solution générale de a(t)y+b(t)y=0
    2. Exemples complets

    Introduction

    Une équation différentielle du premier ordre est une équation dont l'inconnue est une fonction, et où intervient la dérivée de cette fonction.
    Dans ce cours l'inconnue sera une fonction y de la variable t, et sa dérivée sera donc notée y.

    Pour savoir si une fonction donnée f est solution ou non d'une équation différentielle (E), il suffit donc de remplacer y par f(t) et y par f(t) dans le premier membre de l'équation différentielle et de voir, après simplification, si on retrouve le second membre.

    Un exemple :

    La fonction h définie par h(t)= est-elle solution de l'équation différentielle : = .
    La dérivée de h(t)= est h(t)=.

    On a donc : = = .

    On retrouve bien le second membre de l'équation différentielle = .

    Ceci prouve que la fonction h définie par h(t)= est une solution de = .

    Première partie

    Equations différentielles de la forme y=λy

    1. Solution générale de l'équation y=λy

    Théorème :
    L'équation différentielle y=λy admet comme solutions les fonctions y définies par :
    y(t)=ke λt
    k est une constante réelle quelconque.
    Il y a donc une infinité de solutions à cette équation.

    Remarque importante : ce théorème permet également de résoudre toutes les équations différentielles de la forme ay+by=0

    Un exemple :

    y désigne une fonction de la variable t

    Résoudre l'équation différentielle : y=10y.

    L'équation y=10y est équivalente à y=y.
    L'équation différentielle y=y est de la forme y=λyλ=.
    Les solutions de y=10y sont donc les fonctions y=, où k est une constante réelle.

    Exercice

    2. Condition initiale

    Une équation différentielle de la forme y=λy admet une infinité de solutions dépendant d'une constante k. Parmi celles-ci, il en existe une et une seule qui vérifie une condition initiale de la forme f(t 0)=y 0 .

    Un exemple :

    Résoudre l'équation différentielle : y=10y, puis déterminer sa solution f qui vérifie f(8)=3.

    Les solutions de y=10y sont les fonctions y définies par y(t)=ke 10t, où k est une constante réelle.

    f est une solution de cette équation, donc f(t)=ke 10t.
    La condition f(8)=3 s'écrit donc ke 10×8=3. On en déduit ke 80=3, puis k=3e 80=3e 80.

    Donc f(t)=3e 80e 10t=

    Exercice

    Deuxième partie

    Equations différentielles de la forme ay+by=g(t)

    1. Théorème fondamental

    Théorème : y désigne une fonction de la variable t
    Soit (E):ay+by=g(t) une équation différentielle
    et (E 0):ay+by=0 l'équation différentielle homogène associée à (E)

    La solution générale de l'équation (E) est la somme d'une solution particulière de (E) et de la solution générale de (E 0)


    La méthode pour trouver la solution générale de (E 0) a été étudiée dans la partie I de ce cours.

    Selon les sujets, la recherche de la solution particulière peut se présenter sous deux formes :

    2. Vérifier qu'une fonction donnée est une solution particulière

    Pour vérifier que la fonction h est une solution particulière de l'équation différentielle (E):ay+by=g(t) :

    On commence par calculer la dérivée de h(t) c'est à dire h(t) (et on la simplifie, si possible).
    On calcule ensuite ah(t)+bh(t) , on le simplifie au maximum et ... on retrouve comme par miracle g(t) .

    On en déduit alors que h est une solution particulière de (E)

    Un exemple :

    Vérifier que la fonction h définie par h(t)= est solution de l'équation différentielle : = .
    La dérivée de h(t)= est h(t)=.

    On a donc : = = .

    On retrouve bien le second membre de l'équation différentielle = .

    Ceci prouve que la fonction h définie par h(t)= est une solution particulière de = .

    3. Déterminer une solution particulière de forme donnée

    Pour trouver une solution particulière h de l'équation différentielle (E):ay+by=g(t) quand la forme de la fonction h(t) est donnée :

    On commence par calculer la dérivée de h(t) : h(t) (et on la simplifie, si possible).

    On calcule ensuite ah(t)+bh(t) , on le simplifie au maximum en regroupant les termes pour ressembler au maximum à g(t) .

    On identifie alors les coefficients entre le résultat trouvé pour ah(t)+bh(t) et g(t) . On obtient ainsi un système permettant de trouver les paramètres cherchés. On les remplace enfin dans l'expression de h(t) pour conclure.

    Un exemple :

    Déterminer une fonction h de la forme h(t)=ate 2t qui soit une solution particulière de l'équation différentielle : = .
    La dérivée de h(t)=ate 2t est h(t)==.

    On a donc : = =

    On identifie avec le second membre de l'équation différentielle = .
    En résolvant le système obtenu, on trouve [a=4].
    La fonction h(t)= est donc une solution particulière de = .

    Exercice

    4. Résolution de l'équation ay' + by = g(t)

    Etapes pour résoudre (E):ay+by=g(t) : Un exemple :

    Résoudre l'équation différentielle (E) : = , sachant qu'elle admet une solution h de la forme h(t)=ae 5t.

    Résolution de l'équation homogène associée

    L'équation homogène associée à (E):= est : (E 0):=0 .
    (E 0) est équivalente à : y=()y
    Les solutions de (E 0 ) sont donc les fonctions y=ke , où k est une constante réelle.

    Recherche d'une solution particulière de (E)

    La dérivée de h(t)=ae 5t est h(t)=.

    On a donc : = =

    On identifie avec le second membre de l'équation différentielle = .
    En résolvant le système obtenu, on trouve [a=4].
    La fonction h(t)= est donc une solution particulière de = .

    Solution générale

    On ajoute la solution générale de l'équation homogène (E 0), c'est à dire y=ke et une solution particulière de (E), c'est à dire h(t)= .

    La solution générale de (E) est donc définie par : y(t)=+ke .


    Exercice

    5. Résolution avec condition initiale

    Comme dans le cas d'une équation homogène, une équation différentielle de la forme ay+by=g(t) admet une infinité de solutions dépendant d'une constante k. Parmi celles-ci, il en existe une et une seule qui vérifie une condition initiale de la forme f(t 0)=y 0 .

    En écrivant cette condition, on obtient une équation du premier degré d'inconnue k.

    Un exemple :

    Résoudre l'équation différentielle (E) : = , sachant qu'elle admet une solution h de la forme h(t)=a .

    Déterminer ensuite la solution f de (E) qui vérifie la condition initiale f(3)=1

    Résolution de l'équation homogène associée

    L'équation homogène associée à (E):= est : (E 0):=0 .
    (E 0) est équivalente à : y=()y
    Les solutions de (E 0 ) sont donc les fonctions y=ke , où k est une constante réelle.

    Recherche d'une solution particulière de (E)

    La dérivée de h(t)=a est h(t)=.

    On a donc : = =

    On identifie avec le second membre de l'équation différentielle = .
    En résolvant le système obtenu, on trouve [a=5].
    La fonction h(t)= est donc une solution particulière de = .

    Solution générale

    On ajoute la solution générale de l'équation homogène (E 0), c'est à dire y=ke et une solution particulière de (E), c'est à dire h(t)= .

    La solution générale de (E) est donc définie par : y(t)=+ke .

    Solution f qui vérifie la condition initiale f(3)=1

    Puisque f est une solution de (E), on peut dire qu'il existe une constante k telle que f soit définie par f(t)=+ke .
    La condition f(3)=1 s'écrit donc :
    , d'où k = 1.
    On en déduit k =, puis k =.

    En remplaçant k par sa valeur dans l'expression de f, on obtient :


    Exercice

    III. Equations de la forme a(t) y' + b(t) y = g(t)

    La seule différence de méthode de résolution entre les équations différentielles de la forme et celles de la forme est la résolution de l'équation homogène .

    Tout le reste est similaire.

    Méthode de résolution de l'équation homogène

    1. Solution générale de a(t) y' + b(t) y = 0

    Théorème :
    L'équation différentielle a(t) y' + b(t) y = 0 admet comme solutions les fonctions y définies par :
    ,
    k est une constante réelle quelconque et où G désigne une primitive de .

    Remarque importante : on doit utiliser cette formule dès que les coefficients de y' et de y ne sont pas tous les deux constants.

    Un exemple :

    Résoudre l'équation différentielle : -4t y = -4y'.

    Les coefficients de y et de y' ne sont pas tous les deux constants.

    L'équation (E) est équivalente à -4y' +4t y = 0.

    On cherche une primitive de .

    Une primitive de est : G(t) =
    ce qui donne comme solutions de (E) les fonctions y définies par: où k désigne une constante réelle quelconque.

    Exercice

    Parmi ces solutions, il en existe une et une seule qui vérifie une condition de la forme f(t0) = y0
    Exercice

    2. Exercice complet (avec étapes)

    Exercice

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