Gradient

Objectifs

Documents

J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)

Guide

Exemples concrets de fonctions de plusieurs variables

Dans la vie, ce sont les fonctions d'une variable qui sont rares et les fonctions de plusieurs variables fréquentes ! Pour se faciliter la vie, celui qui modélise prétend que certaines sont des paramètres et d'autres des variables. Ce qui "signifie" qu'il va faire comme si certaines des variables étaient constantes.

Donnons quelques exemples :

Exemples : la température, la pression comme fonction de la position sur une carte : fonction de deux variables x et y

l'altitude en un point d'une carte : fonction de deux variables x et y

la température, la pression en chaque point d'une pièce (en trois dimensions) : fonction de trois variables x, y et z

le volume d'une boîte en fonction de la hauteur, de la largeur et de la profondeur : fonction de trois variables H et L et l.

votre moyenne sur WIMS en fonction du temps et de la feuille d'exercice : fonction de deux variables t et n (mais ici heureusement la variable n est une variable dite discrète (un entier) et pas continue (dans RR)

On parle en physique de champ scalaire : scalaire vient du fait que l'image est contenue dans les scalaires RR, champ vient de ce que le domaine de définition est dans n.

Exercices : Champ scalaire

Dérivées partielles

Exercices de calcul de dérivées partielles

On notera les dérivées partielles d'une fonction d'une des manières suivantes : Si f est une fonction de deux variables (x,y), la dérivée partielle de f par rapport à x est notée indiféremment
fx=D 1(f)
De même,
fy=D 2(f)
Ensuite :
2fx 2=D 1,1(f) , 2fxy=D 1,2(f) , 2fy 2=D 2,2(f)

Avant de commencer, il faut savoir calculer des dérivées partielles, nous proposons donc d'abord ici des exercices de technique.

Exercices :

Gradient

Définition du gradient

Soit f:U 2 une fonction de 2 variables. On lui associe un champ de vecteurs appelé champ de gradient et noté grad f ou nabla f :
(x,y)f(x,y)=(fx(x,y),fy(x,y))

En posant M=(x,y) ,

grad f(M)=(fx(M),fy(M)).
Exercice

Autres notations :

Dérivée directionnelle

Soit u un vecteur de n et M 0 un point de n : on a alors
ddt f(M 0+tu) t=0=(gradf)(M 0)u
Ce qui donne une interprétation de grad f(M 0)u :

Soit u un vecteur unitaire de n. On appelle dérivée directionnelle de f dans la direction u au point M 0 (ou encore la dérivée partielle de f dans la direction u au point M 0) le nombre
f u(M 0)=(gradf)(M 0)u .

Si la direction est donnée par un vecteur qui n'est pas unitaire, il faut le rendre unitaire en le divisant par sa norme :

f u(M 0)=(gradf)(M 0)uu .
Propriété : La dérivée directionnelle est de norme maximale dans la direction du gradient et la direction dans laquelle la fonction f croît le plus vite est la direction du gradient.

Démonstration

Si u et v sont deux vecteurs d'angle s, on a l'égalité
uv=uvcos(s)
Ainsi,
uvuv
et l'égalité a lieu si et seulement si les vecteurs u et v sont colinéaires. En particulier, si u est un vecteur unitaire,
f u(M 0)grad(f)(M 0)
et f u(M 0) est égal à grad(f)(M 0) (et donc maximal) si u est colinéaire au gradient de f en M 0.

Exercices

Exercice : Dérivées directionnelles

Exercice : Gradient et croissance de la fonction

Approximation

Approximation linéaire

Définition : Soit f une fonction de deux variables (x,y) définie au voisinage d'un point M 0=(x 0,y 0). On dit que la fonction affine (x,y)a+bx+cy est une approximation linéaire ou plus exactement affine de f au point M 0=(x 0,y 0) si l'on peut écrire

f(x,y)(a+bx+cy)=(xx 0)ε 1(x,y)+(yy 0)ε 2(x,y)

avec des fonctions ε 1(x,y) et ε 1(x,y) tendant vers 0 lorsque (x,y)(x 0,y 0).
De manière équivalente, on peut aussi dire que la limite de f(x,y)(a+bx+cy)x 2+y 2 tend vers 0 lorsque (x,y)(x 0,y 0).

On dit que l'on a linéarisé f au voisinage de M 0 : pour certains problèmes, on "peut" remplacer f par son approximation linéaire.

Lorsqu'on regarde la surface S d'équation z=f(x,y), si a+bx+cy est l'approximation affine de f en M 0, l'équation z=a+bx+cy définit un plan dans 3 qui est le plan tangent à la surface S en M 0. Cela sera revu dans le chapitre sur les surfaces.

Exercice : Trouver l'approximation linéaire d'une fonction

Differentiabilité

Définition : Soit f une fonction de 2 variables (x,y) définie au voisinage d'un point M 0=(x 0,y 0). On dit que f est différentiable si f admet une approximation linéaire.

Théorème : Si f est une fonction de classe
On dit qu'une fonction définie sur un ouvert de 2 est de classe C 1 si elle est continue et admet des dérivées partielles premières continues
C 1 dans un voisinage de M 0, f est différentiable et son approximation linéaire est donnée par

f(M 0)+D 1(f)(M 0)(xx 0)+D 2(f)(M 0)(yy 0)

Autrement dit :

f(x,y)=fx(x 0,y 0)(xx 0)+fy(x 0,y 0)(yy 0) +(xx 0) 2+(yy 0) 2ε(x,y)

varepsilon est une fonction de (x,y) définie au voisinage de (x 0,y 0) telle que

lim (x,y)(x 0,y 0)ε(x,y)=0.

f(x,y)=fx(x 0,y 0)(xx 0)fy(x 0,y 0)(yy 0) +(xx 0)ε 1(x,y)+(yy 0)ε 1(x,y)

ε 1 et ε 2 sont des fonctions de (x,y) définies au voisinage de (x 0,y 0) telle que

lim (x,y)(x 0,y 0)ε 1(x,y)=0, lim (x,y)(x 0,y 0)ε 2(x,y)=0.

Avec des notations différentes que l'on utilisera par la suite,

f(x,y)=D 1(f)(x 0,y 0)(xx 0)+D 2(f)(x 0,y 0)(yy 0) +(xx 0) 2+(yy 0) 2ε(x,y)

varepsilon est une fonction de (x,y) définie au voisinage de (x 0,y 0) telle que

lim (x,y)(x 0,y 0)ε(x,y)=0.

f(M)=grad(f)(M 0)M 0M+M 0Mε(M)

varepsilon est une fonction de M définie au voisinage de M 0 telle que

lim MM 0ε(M)=0.

Estimation d'erreurs

On rencontre couramment en physique le problème suivant : On a une quantité A, fonction connue des quantités a,b... Ayant fait des mesures des quantités a,b, avec une certaine incertitude, on se demande avec quelle incertitude est connue A. Mathématiquement, on dispose des objets suivants On calcule Quelques exemples tirés de la physique :

Quelques exemples tirés de la physique

Calculs d'erreur

Exemple : La mesure du rayon d'un disque donne x=12±0.2 cm. Calculer la surface S du disque, ainsi que les incertitudes de la mesure (erreur absolue et erreur relative).

Solution

Plaçons nous dans le cadre mathématique : il s'agit de trouver la fonction qui est ici une fonction d'une variable
  • La fonction f=S définie par S(x)=πx 2
  • Le point M 0 : M 0=12
  • L' intervalle I : par exemple x12<0.2
  • Le point mesuré M 1 : un point x 1 de l'intervalle
  • L'approximation numérique au point M 0 : S(12)=452.38934
  • La majoration de l'erreur : il s'agit
    Soit f une fonction C 1 définie sur un intervalle I de RR centré en x 0, défini par xx 0<r 1. Alors, si x 1 est un point de I, on a la majoration suivante :
    f(x 1)f(x 0)sup xIf(x)(x 1x 0) Ar 1
    avec A un majorant de f(x) sur I.
    de majorer 2πx(x 112) sur l'intervalle I par exemple :
    2πx(x 112)2πx0.2 2π(12+0.2)0.215.4
La réponse est donc que la surface du disque est égale à 452.38cm 2 à ±15.4 cm 2 près et que l'erreur relative est de 15.4452.38934 qui est inférieure à 4 % .

Calculs d'erreur

Exemple : La mesure des côtés d'un rectangle donne x=11±0.5 cm et y=16±0.5 cm. Calculer la surface S du rectangle, ainsi que les incertitudes de la mesure (erreur absolue et erreur relative).

Solution

Plaçons-nous dans le cadre mathématique : il s'agit de trouver la fonction, le rectangle ...
  • La fonction f=S : définie par S(x,y)=xy
  • Le point M 0 : M 0=(11,16)
  • Le rectangle R : par exemple x110.5,y160.5
  • Le point mesuré M 1 : un point (x 1,y 1) du rectangle, c'est le point que l'on est en train de mesurer
  • L'approximation numérique au point M 0 : S(11,16)=176
  • La majoration de l'erreur : il s'agit
    Soit f une fonction C 1 définie sur un rectangle R de 2 centré en M 0, défini par xx 0<r 1, yy 0<r 2. Alors, si M 1 est un point de R, on a la majoration suivante :
    f(x 1,y 1)f(x 0,y 0) sup (x,y)RD 1(f)(x,y)(x 1x 0)+D 2(f)(x,y)(y 1y 0) Ar 1+Br 2
    avec A un majorant de D 1(f)(x,y) sur R et B un majorant de D 2(f)(x,y) sur R.
    de majorer y(x 111)+x(y 116) sur le rectangle R , par exemple :
    y(x 111)+x(y 116)y0.5+x0.5 (16+0.5)0.5+(11+0.5)0.58.9
La réponse est donc que la surface du rectangle est égale à 176cm 2 à ±8.9 cm 2 près et que l'erreur relative est de 1176×8.9 qui est inférieure à 6 % .

Calcul d'erreurs

Exemple : Un sac contient 1.3 kg ±10 g de bonbons. Pour estimer le nombre de bonbons présents dans le sac, on pèse un bonbon au hasard et on obtient 16 g ±3 g . On suppose que tous les bonbons sont identiques. Calculer le nombre total de bonbons avec l'incertitude absolue et relative.

Solution

Plaçons-nous dans le cadre mathématique : il s'agit de trouver la fonction, le rectangle ...
  • La fonction f=N : définie par N(x,y)=xy
  • Le point M 0 : M 0=(1300,16)
  • Le rectangle R : par exemple x130010,y163
  • Le point mesuré M 1 : un point (x 1,y 1) du rectangle, c'est le point que l'on est en train de mesurer
  • L'approximation numérique au point M 0 : N(1300,16)=81.25
  • les dérivées partielles de f : D 1f(x,y)=1y, : D 2f(x,y)=xy 2
  • La majoration de l'erreur : il s'agit
    Soit f une fonction C 1 définie sur un rectangle R de 2 centré en M 0, défini par xx 0<r 1, yy 0<r 2. Alors, si M 1 est un point de R, on a la majoration suivante :
    f(x 1,y 1)f(x 0,y 0) sup (x,y)RD 1(f)(x,y)(x 1x 0)+D 2(f)(x,y)(y 1y 0) Ar 1+Br 2
    avec A un majorant de D 1(f)(x,y) sur R et B un majorant de D 2(f)(x,y) sur R.
    de majorer 1y(x 11300)xy 2(y 116) sur le rectangle R par exemple :
    1y(x 11300)xy 2(y 116)1y10+xy 23 116310+1300+10(163) 2324.03
La réponse est donc que le nombre de bonbons est égale à 81.25 à pm 24.03 près et que l'erreur relative est de 24.0381.25 qui est inférieure à 30 % .

Calcul d'erreurs

Exemple : L'indice d'un milieu transparent à la lumière est n(i,r)=sinisinr. Calculer l'incertitude relative commise sur n en fonction de i, r et des incertitudes de mesures sur r et sur i pour i=64 degrés, r=21 degrés avec des incertitudes de mesure de 3 minutes d'angle.

Solution

Plaçons nous dans le cadre mathématique : il s'agit de trouver la fonction, le rectangle et il ne faut pas oublier de convertir les degrés et les minutes en radians.
  • La fonction f=n : définie par n(x,y)=sin(x)sin(y)
  • Le point M 0 : M 0=(1.117,0.366)
  • Le rectangle R : par exemple x1.1170.001,y0.3660.001
  • Le point mesuré M 1 : un point (x 1,y 1) du rectangle, c'est le point que l'on est en train de mesurer
  • L'approximation numérique au point M 0 : f(1.117,0.366)=2.5114039
  • Les dérivées partielles : D 1f(x,y)=cos(x)sin(y), D 2f(x,y)=sin(x)cos(y)sin 2(y)
  • La majoration de l'erreur : il s'agit
    Soit f une fonction C 1 définie sur un rectangle R de 2 centré en M 0, défini par xx 0<r 1, yy 0<r 2. Alors, si M 1 est un point de R, on a la majoration suivante :
    f(x 1,y 1)f(x 0,y 0) sup (x,y)RD 1(f)(x,y)(x 1x 0)+D 2(f)(x,y)(y 1y 0) Ar 1+Br 2
    avec A un majorant de D 1(f)(x,y) sur R et B un majorant de D 2(f)(x,y) sur R.
    de majorer cos(x)(x 11.117)sin(y)sin(x)cos(y)(y 10.366)sin 2(y) sur le rectangle R par exemple un majorant est (autour des points 1.117 et 0.366, la fonction sinus est croissante et la fonction cosinus est décroissante)
    0.001cos(1.1170.001)sin(0.3660.001)+0.001sin(1.117+0.001)cos(0.3660.001)sin 2(0.3660.001) leq 0.01 )
La réponse est donc que l'indice est égal à 1.998 à ±0.01 près et que l'erreur relative est de 0.011.998 qui est inférieure à 1 % .

Calculs d'erreurs

Exemple : Au minimum de déviation D m, l'indice n d'un prisme d'angle au sommet d'angle A est donné par n=sinD m+A2sinA2. Calculer l'incertitude relative de l'indice en prenant D m=70 degrés, A=24 degrés, incertitude sur D m = 0.03 degrés, incertitude sur A= 0.15 degrés.

Solution

Plaçons-nous dans le cadre mathématique : il s'agit de trouver la fonction, le rectangle ...
  • La fonction f=n : définie par n(x,y)=sin(12(x+y))sin(12y)
  • Le point M 0 : M 0=(1.221,0.418) : les angles en degrés sont convertis en radians.
  • Le rectangle R : par exemple x1.2210.001,y0.4180.003
  • Le point mesuré M 1 : un point (x 1,y 1) du rectangle, c'est le point que l'on est en train de mesurer
  • L'approximation numérique au point M 0 : f(1.221,0.418)=3.5222595
  • Les dérivées partielles :
    D 1f(x,y)=cos(12(x+y))2sin(12y), D 2f(x,y)=sin(y+12x)2sin 2(12y)
  • La majoration de l'erreur : il s'agit
    Soit f une fonction C 1 définie sur un rectangle R de 2 centré en M 0, défini par xx 0<r 1, yy 0<r 2. Alors, si M 1 est un point de R, on a la majoration suivante :
    f(x 1,y 1)f(x 0,y 0) sup (x,y)RD 1(f)(x,y)(x 1x 0)+D 2(f)(x,y)(y 1y 0) Ar 1+Br 2
    avec A un majorant de D 1(f)(x,y) sur R et B un majorant de D 2(f)(x,y) sur R.
    de majorer cos(12(x+y))(x 11.221)2sin(12y)+sin(y+12x)(y 10.418)2sin 2(12y) sur le rectangle R par exemple un majorant est (autour des points 1.221 et 0.418, la fonction sinus est croissante et la fonction cosinus est décroissante)
    cos((1.2210.001+0.4180.003)/2)2sin((0.4180.003)/2)0.03 +sin(0.418+0.003+(1.221+0.001)/2)2sin((0.4180.003)/2) 20.15 1.57
La réponse est donc que l'indice est égal à 3.522 à ±1.57 près et que l'erreur relative est de 1.573.522 qui est inférieure à 45 % .

Approximation numérique

Supposons que l'on connaisse l'approximation linéaire de la fonction f en (x 0,y 0). Pour calculer une approximation du nombre f(x 1,y 1) avec (x 1,y 1) proche de (x 0,y 0), on peut utiliser cette approximation linéaire A.

Exemple : L'approximation affine en (0,0) de la fonction définie par
f(x,y)=
est NaN+(NaN)x+(NaN)y. Une approximation de f(0.033,0.003) est donc NaN obtenue en évaluant en x=0.033 et y=0.003. La "vraie" valeur de f(0.033,0.003) ou plutôt une meilleure approximation est NaN.

Mais sans autre précision, on ne peut pas connaître l'erreur commise, c'est-à-dire une majoration de la différence (en valeur abolue) entre f(x 1,y 1) et A. Ce problème a déjà été rencontré dans le cas des fonctions d'une variable.

Dans ce cas là, cette erreur est majorée par sup xIf(x)2x 1x 0 2 pour I un intervalle contenant x 0 et x 1 (application de la formule de Taylor-Lagrange),

Dans le cas de deux variables, on utilise aussi une formule de Taylor-Lagrange qui fait intervenir les dérivées partielles d'ordre 2.
Soit f une fonction de classe C 2 sur une boule (ou un rectangle) B de centre M 0. Alors, si (x,y) est un point de B, il existe t[0,1] tel que
f(M)=f(M 0)+D 1(f)(M 0)(xx 0)+D 2(f)(M 0)(yy 0)+ 12D 1,1(f)(M 0+tM 0M)(xx 0) 2+ D 1,2(f)(M 0+tM 0M)(xx 0)(yy 0)+ 12D 2,2(f)(M 0+tM 0M)(yy 0) 2

Idée de la démonstration

La formule se montre à partir de la formule pour une fonction à une variable z[0,1] donnée par
g(z)=f(M 0+zM 0M)
On a alors g(0)=f(M 0) et g(1)=f(M).

On en déduit que

Soit f une fonction C 2 définie sur un rectangle B de 2 centré en M 0, défini par xx 0<r 1, yy 0<r 2. Alors, si a+bx+cy est l'approximation linéaire de f(M)=f(x,y) au point M 0, on a la majoration suivante et si M 1 est un point de B :
f(x 1,y 1)(a+bx 1+cy 1)12(Ur 1 2+Vr 1r 2+Wr 2 2)
avec U un majorant de D 1,1(f)(x,y) sur B, V un majorant de D 1,2(f)(x,y) sur B, W un majorant de D 2,2(f)(x,y) sur B.

Exemples

Gravitation et approximation

Cet exemple concerne en fait une fonction d'une variable. Reprenons un énoncé de physique :
Exercice : A la surface de la terre, la norme du champ de gravitation g est
g 0=g 0=GMR 2
G est la constante de gravitation, M la masse de la terre et R le rayon de la terre. A l'altitude z, on a
g(z)=GM(R+z) 2
Si z<<R, donner en fonction de z 0, z et R une expression approchée de g(z)=g(z) en utilisant un développement limité au second ordre en zR (ou plutôt la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2). Calculer l'erreur relative.

Une solution

Posons u=zR. On a

g(z)=GMR 2(1+u) 2
Le développement limité de (1+u) 2 à l'ordre 2 est
(1+u) 2=12u+3u 2+o(u 2)
Une expression approchée g app de g est
g appz=g 0(12zR+3(zR) 2)
Quelle erreur a-t-on fait ? Grossièrement, on peut dire qu'elle est de l'ordre de (zR) 3. Soyons précis. Montrons que si f(u)=(1+u) 2 et si u>0 ,
(1+u) 2(12u+3u 2)4u 3
Preuve

Par la formule de Taylor-Lagrange (ou par l'inégalité de Taylor-Lagrange), on a l'inégalité

(1+u) 2(12u+3u 2)u 3sup 0<v<rf (3)(v)/3!
avec f(u)=(1+u) 2. On calcule la dérivée troisième de f :
f(u)=2(1+u) 3,f(u)=6(1+u) 4, f (3)(u)=24(1+u) 5
Pour u>0 , on a (1+v) 51 et
(1+u) 2(12u+3u 2)4u 3

En revenant à notre problème initial, pour 0z<R

g(z)g app(z)g 04(z/R) 3
Si l'on considère l'approximation satisfaisante lorsque l'erreur relative est inférieure à 0.5%, l'altitude maximum admissible est h vérifiant 4(hR) 3<0.005 c'est-à-dire h<(14×0.005) 13R<688 km avec le rayon de la terre R égal à 6380 km.

Exercice : Approximation linéaire

Exercice : Trouver l'approximation linéaire d'une fonction

Courbes de niveau

Courbes de niveau

Définition : Soit f une fonction définie sur un ouvert U de 2. On appelle courbe de niveau de f associée au réel k l'ensemble des points (x,y) de U vérifiant f(x,y)=k. Cet ensemble est éventuellement vide.

Si l'on coupe la surface d'équation z=f(x,y) dans 3 par le plan "horizontal" z=k, et que l'on projette la courbe obtenue dans le plan xOy, on obtient la courbe de niveau k d'équation f(x,y)=k.

On dessine les courbes de niveau de f pour des valeurs de k de la forme k 0, k 0+s, k 0+2s, k 0+3s, ... On dit alors qu'elles sont équiréparties.

Un exemple : Courbes de niveau de la fonction f définie par f(x,y)= pour 5x,y5:
.

En utilisant l'outil Tracé de la surface , comparer le dessin en 3D avec le dessin des courbes de niveau. Vous pouvez aussi une fois la fenêtre de tracé ouverte rajouter l'équation du plan horizontal dont vous désirez voir la section avec la surface : z= ?

D'autres exemples

D'autres exemples plus compliqués

Exemples

Exemple : Courbes de niveau de la fonction f définie par
f(x,y)=
pour 5x,y5:
.

En utilisant l'outil Tracé de la surface , comparer le dessin en 3D avec le dessin des courbes de niveau. Vous pouvez aussi une fois la fenêtre de tracé ouverte rajouter l'équation du plan horizontal dont vous désirez voir la section avec la surface : z= ?

Courbes de niveau et surfaces

Courbes de niveau de la fonction
f(x,y)=(x 21)+(y 24)+(x 21)(y 24)(x 2+y 2+1) 2
pour 5x,y5:
.

En utilisant l'outil Tracé de la surface , comparer le dessin en 3D avec le dessin des courbes de niveau. Vous pouvez aussi une fois la fenêtre de tracé ouverte rajouter l'équation du plan horizontal dont vous désirez voir la section avec la surface : z= ?

Exercices

Exercices : Faire le lien entre représentation graphique d'une fonction de 2 variables (c'est-à-dire la représentation de la surface z=f(x,y)) et les courbes de niveau de f.

Dans les exercices suivants, la fonction est une fonction des coordonnées polaires du plan (r,θ). Cela arrive très naturellement. Par exemple, dans les problèmes de , chimie atomistique,
en fait, il s'agit alors de fonctions de trois variables exprimées en coordonnées sphériques
la fonction est même le produit d'une fonction de r par une fonction de θ : f(r,θ)=R(r)Θ(θ). On demande de faire le lien entre les courbes de niveau f(r,θ)=k, représentées dans le plan xOy et les fonctions R et Theta.

Exercice : Reconnaître une fonction par sa représentation graphique :

Tangente aux courbes de niveau

Théorème : Soit f une fonction C 1 sur un ouvert U de 2 et M 0 un point de U avec f(M 0)=k. On suppose que le gradient de f est non nul en M 0. La tangente en M 0 à la courbe d'équation f(x,y)=k a comme équation
grad f(M 0)M 0M=0
ou encore
D 1(f)(x 0,y 0)(xx 0)+D 2(f)(x 0,y 0)(yy 0)=0

Démonstration

Nous ne donnons ici qu'une idée de la démonstration en supposant que localement la courbe d"équation f(x,y)=0 peut être paramétrée, c'est-à-dire qu'il existe deux fonctions c 1 et c 2 d'un intervalle ouvert I contenant 0 dans U telles que
  • M 0=(c 1(0),c 2(0))
  • f(c 1(t),c 2(t))=0 pour tI
En dérivant l'équation f(c 1(t),c 2(t))=0 par rapport à t, on obtient
c 1(t)D 1(f)(c 1(t),c 2(t))+c 2(t)D 2(f)(c 1(t),c 2(t))=0
Prenons la valeur en t=0 :
c 1(0)D 1(f)(M 0)+c 2(0)D 2(f)(M 0)=0
Le vecteur grad f(M 0) est donc normal au vecteur (c 1(0),c 2(0)). Or ce vecteur est le vecteur dérivé de la courbe paramétrée (c 1,c 2) et appartient donc à la tangente à la courbe en M 0.

Exercice : Vérifier que si C est la courbe d'équation y=g(x), on retrouve l'équation usuelle de la tangente (prendre f(x,y)=yg(x)).

Exercice: Equation de la droite tangente à l'ellipse (x6) 2+2(y5) 2=1 au point M 0=(a,b) supposé appartenir à l'ellipse.

(a6)(xa)+2(b5)(yb)=0

Tangente, normale et gradient

Propriété : Les courbes de niveau d'une fonction f sont perpendiculaires au gradient de f.

Démonstration

La droite tangente à la courbe d'équation f(x,y)=k au point M 0=(x 0,y 0) avec f(x 0,y 0)=k admet comme équation
grad f(M 0)MM 0=0
lorsque grad (f)(M 0)0 ; autrement dit
fx(x 0,y 0)(xx 0)+fy(x 0,y 0)(yy 0)=0
et la tangente en M 0 est perpendiculaire au vecteur grad f(M 0) (c'est une droite affine à propos).

Exercice : Gradient, tangente et normale

Et lorsque le gradient est nul ?

Exemple : Courbes de niveau de la fonction f définie par
f(x,y)=
pour 5x,y5:
.

Lorsque k=0,
grad =(,)
est nul au point (0,0) et on ne peut donc pas définir de tangente à la courbe en ce point à l'aide du gradient.

Que peut-on faire ? On peut quand même deviner qu'il y a des tangentes à la courbe.

Supposons qu'il existe une courbe paramétrée C c=(c 1,c 2), C 1 définie sur un intervalle I ouvert contenant 0 et telle que f(c 1(t),c 2(t))=0 pour tI et M 0=(c 1(0),c 2(0)). Cherchons ce que l'on peut dire du vecteur tangent à C. En dérivant l'équation, on obtient

c 1(t)D 1(f)(c 1(t),c 2(t))+c 2(t)D 2(f)(c 1(t),c 2(t))=0
Prenons la valeur en t=0 : on obtient 0=0.

Dérivons-la de nouveau

c 1(t)D 1(f)(c 1(t),c 2(t))+c 2(t)D 2(f)(c 1(t),c 2(t))+ c 1(t) 2D 1,1(f)(c 1(t),c 2(t))+c 2(t) 2D 2,2 2(f)(c 1(t),c 2(t)) +2c 1(t)c 2(t)D 1,2(f)(c 1(t),c 2(t))=0
Prenons la valeur en t=0 :
c 1(0) 2D 1,1(f)(M 0)+c 2(0) 2D 2,2(f)(M 0)+2c 1(0)c 2(0)D 1,2(f)(M 0)=0
Ce qui donne une équation pour les composantes des vecteurs dérivés u=(u 1,u 2) possibles au moins si une des dérivées secondes est non nulle en M 0.
Ici, on obtient
D 1,1(f)= , D 1,2(f) =, D 2,2(f) = et NaNu 1 2+2NaNu 1u 2+NaNu 2 2=0

Pour mieux comprendre en appliquant :

Exercice sur les courbes paramétrées et les équations implicites de courbes

Gradient et courbes de niveau

Les variations de la norme du gradient peuvent se deviner sur le dessin des courbes de niveau équidistribuées. Ainsi, sur une carte géographique, les endroits pentus sont ceux où les lignes de niveau sont très rapprochées.

Exercice : comparaison du gradient en deux points

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