Longueur et intégrale curviligne

Objectifs

Documents

  1. F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG, Analyse 2ième Année (Dunod).
  2. J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)

Guide

Longueur d'une courbe paramétrée

Longueur d'une courbe paramétrée

Exemple du segment
La longueur d'un segment paramétré par x=x i+ta i, y=y i+tb i pour t I=[t i,t i+1] est égale à
t i+1t i.v i=t i+1t i.(a i 2+b i 2) 1/2)
v i est le vecteur (a i,b i). Le vecteur v i est aussi le vecteur dérivé de la fonction t (x i+ta i,y i+tb i). Ainsi, la longueur du segment s'écrit aussi
Iv(t)dt
v(t) est le vecteur dérivé de la paramétrisation choisie du segment.

En général
Soit C=γ:I 2 une courbe paramétrée : {x=f(t) y=g(t) , pour t[a,b]. Prenons une subdivision de l'intervalle [ a,b] en n parties :
a=t 0<t 1<...<t n1<t n=b .

Soit γ t 0,...,t n la ligne polygonale passant par les points P i=γ(t i)=(f(t i),g(t i)) de la courbe C et notons L n=L(γ t 0,...,t n) la longueur de cette courbe.
Définition : On appelle longueur de la courbe C la borne supérieure (C) si elle existe des longueurs L n des lignes polygonales inscrites γ t 0,...,t n.
Dessin . . . . . .
Dans le dessin,
  1. le paramètre t parcourt la ligne verte qui est subdivisée en parties. Il est lié par un fil vert pointillé au point vert γ(t) de la courbe  ;
  2. La ligne polygonale est tracée en rouge et la courbe en bleu.
Exemple
Une courbe et plusieurs paramétrages

Exemple


. .
Dans le dessin,
  1. le paramètre t parcourt la ligne verte qui est subdivisée en 4 parties. Il est lié par un fil vert pointillé au point vert γ(t) de la courbe ;
  2. La ligne polygonale est tracée en rouge et la courbe en bleu.
Remarquer que
  • dans certains cas, cette ligne se confond presque avec la courbe,
  • dans d'autres cas, la courbe est en fait parcourue plusieurs fois,
  • enfin, il arrive que la ligne polygonale soit très éloignée de la courbe.
Vous pouvez choisir le nombre de subdivisions (mais pas la courbe !)
La ligne polygonale construite à partir de n points dépend non seulement de la courbe mais aussi du paramétrage. Voici encore quelques dessins pour s'en convaincre.

Une courbe et plusieurs paramétrages



Ici, ont été tracées des courbes paramétrées de paramètres t, t 1, t 2, t 3 dont la représentation graphique est la même mais avec des paramétrages différents. . . . . .
Les changements de paramétrage sont donnés en fonction du premier par t 1=5t+14t+1, t 2=3t21t, t 3=2arctan(t),

Propriétés simples de la longueur

Formule pour la longueur

Proposition : Si est une courbe C1, sa longueur existe et on a
ou en notant le vecteur vitesse,

Exercices :

Démonstration

Formule pour la longueur
Proposition : Si est une courbe C1, sa longueur existe et on a
ou en notant le vecteur vitesse,

Exercices :
  • Chemin en montagne
  • Longueur et projection
Redémontrons analytiquement l'inégalité que
.

Preuve
On a
.
Donc, par l'inégalité triangulaire,

Le premier terme est la longueur du segment , en faisant la somme sur i, on obtient

En particulier, l'ensemble des longueurs de lignes polygonales inscrites est un ensemble borné dont un majorant est .
La longueur existe à cause de la propriété fondamentale des réels
Toute partie majorée non vide de RR admet une borne supérieure.


Pour t in [a,b], soit la restriction de gamma à . Notons L(t) la longueur de . Nous allons montrer que L est dérivable et de dérivée , ce qui prouvera la proposition.
Proposition : Si est une courbe C1, sa longueur existe et on a
ou en notant le vecteur vitesse,

Exercices :
  • Chemin en montagne
  • Longueur et projection

Preuve
Si Mt et Mt+h sont les points et , L(t+h)-L(t) est la longueur de l'arc qui joint Mt et Mt+h. On a alors un encadrement de cette longueur
Comme les deux membres extrêmes ont pour limite ||gamma'(t)|| quand h tend vers 0, on obtient bien que L est dérivable et de dérivée .

Calculs en coordonnées polaires

Soit une courbe gamma donnée en coordonnées polaires par pour . En prenant theta comme paramètre, un paramétrage de C est donnée par
Le vecteur dérivé s'exprime dans la base orthonormée directe , :
,
sa norme vaut et on obtient la formule
ou encore
Exercices :

Abscisse curviligne

Définition : Un paramétrage d'une courbe est une abscisse curviligne si le vecteur vitesse relatif à cette paramétrisation est unitaire.

Ainsi, la courbe est paramétrée par un paramètre s, d'équations et on a f'(s)2+g'(s)2=1.
On dit alors que la courbe est paramétrée par son abscisse curviligne .
L'abscisse curviligne est aussi, à une constante près et au signe près, la longueur de la courbe d'un point fixé au point de paramètre s :
Propriété : Si s est une abscisse curviligne de la courbe paramétrée, la longueur de l'arc de courbe comprise entre le point de paramètre s et le point de paramètre s0 est égale à la valeur absolue de s-s0.

On doit donc avoir :

Exemple du cercle
Exemple : La mesure de l'angle au centre sur un cercle (en radian) est une abscisse curviligne du cercle. Cela signifie que la longueur de l'arc de cercle de rayon 1 correspondant à un angle u en radians est exactement u :
Par contre, le paramétrage du cercle donné par n'est pas une abscisse curviligne du cercle. La norme du vecteur dérivé est égale à . La longueur de l'arc de cercle compris entre les points de paramètre 0 et a est donnée par la formule .

Intégrale curviligne d'une fonction

On partage l'intervalle [a,b] en n parties égales a=t0< ... <tn=b, soit Pi=(xi,yi)= (f(ti), g(ti)) le point de paramètre ti et on note la longueur du segment Pi-1 Pi.
Définition : Soit C une courbe paramétrée et F une fonction définie sur C. L'intégrale curviligne de F le long de C est la limite si elle existe des
lorsque .

On la note alors
.

On démontre comme pour la longueur le théorème suivant :
Théorème : Si F est une fonction continue, la limite précédente existe et vaut
.
Exercices :

Utilisation en physique

L'interprétation physiques de l'intégrale curviligne d'une fonction le long d'une courbe dépend de l'interprétation de cette fonction. Voici quelques exemples :

Masse et centre de masse, moments d'inertie

Supposons qu'un fil suive une courbe C et que la fonction d(x,y) en un point (x,y,z) de C représente sa densité linéique. Si
sont des équations paramétriques de la courbe C qui définisse une injection de sur C, alors la masse totale du fil est donnée par

Le centre de masse (centre de gravité) se trouve au point G de coordonnées (xG,yG) avec

Les moments d'inertie d'un fil aussi s'expriment comme l'intégrale curviligne d'une fonction le long d'une courbe.
Exercices

Optique

Considérons un rayon lumineux dans un milieu ayant un indice de réfraction n(x,y) en un point (x,y). Soit v(x,y) la vitesse (absolue) de la lumière au point (x,y) (c'est-à-dire la norme du vecteur vitesse). Si c est la vitesse de la lumière dans le vide, on a la relation

On suppose que le rayon lumineux va de A à B en suivant une courbe CA B. Le temps que mettrait la lumière pour aller d'un point A à un point B en suivant la courbe C est donné par
s est un paramétrage de C par son abscisse curviligne sur C.
On appelle chemin optique la distance qu'aurait parcouru, pendant la même durée, le rayon lumineux s'il se propageait dans le vide : le chemin optique le long de CA B est donc donné par la formule

Ce chemin optique de même que le temps dépend du chemin pris par la lumière. Bien sûr, la lumière à moins qu'on ne l'y oblige ne prend pas n'importe quel chemin. Le trajet effectivement suivi par un rayon lumineux entre deux points A et B est la courbe CA B pour laquelle le chemin optique est extrémal parmi toutes les courbes allant de A à B.
On doit donc résoudre un problème d'extrémum sur l'espace de tous les chemins allant de A à B.
Exemple : si n(x,y) est constant égal à n : alors, le chemin optique suivant la courbe CA B est égal à
et est proportionnel à la longueur de CA B. On sait que le chemin de A à B de longueur minimale est le segment allant de A à B.

document sur la longueur de courbes et l'intégrale curviligne.
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