OEF champ de vecteurs --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 10 exercices sur les champs de vecteurs.

Champ de gradients

Soit la fonction à valeurs réelles donnée par
C'est une fonction de variables et le champ de gradient de est une fonction de RR dans RR Définissez le champ de gradient de explicitement :

Champ linéaire I

Voici un champ de vecteurs (sur le dessin, la longueur des vecteurs a été multipliée par un coefficient constant). Le champ est de la forme
.
Calculer les coefficients manquants (ce sont des entiers).
xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black

Champ linéaire II

Voici un champ de vecteurs (la longueur des vecteurs a été multipliée par un coefficient constant). Le champ est de la forme
.
Calculer les coefficients manquants (ce sont des entiers).
xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black

Champ linéaire III

animate 7,0.5,1 xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black ellipse 0,0, animstep,animstep,magenta
Voici un champ de vecteurs de la forme
(la longueur des vecteurs a été multipliée par un coefficient constant). On sait de plus que Calculer les coefficients , , et (ce sont des entiers).

Champ linéaire, divergence, rotationnel

animate 7,0.5,1 xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black ellipse 0,0, animstep,animstep,magenta
Voici un champ de vecteurs de la forme
(la longueur des vecteurs a été multipliée par un coefficient constant).

Champ linéaire et rotationnel

Voici deux champs de vecteurs de la forme
(la longueur des vecteurs a été multipliée par un coefficient constant). Le rotationnel de ces champs est une fonction constante. Pour lequel le rotationnel est-il de norme la plus ?
animate 7,0.5,1 xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black ellipse 0,0, animstep,animstep,magenta animate 7,0.5,1 xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black ellipse 0,0, animstep,animstep,magenta

Champ linéaire et divergence

Voici deux champs de vecteurs de la forme
(la longueur des vecteurs a été multipliée par un coefficient constant). La divergence de ces champs est une fonction constante. Pour lequel la divergence est-elle de norme la plus ?
animate 7,0.5,1 xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black ellipse 0,0, animstep,animstep,magenta animate 7,0.5,1 xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black ellipse 0,0, animstep,animstep,magenta

Divergence, rotationnel, gradient

Soit un défini sur , c'est donc une application d'un ouvert de dans . L'expression a-t-elle un sens ? En effet, l'expression a un sens et c'est une application de à valeurs dans .

Divergence, rotationnel, gradient 2

Soit un défini sur , c'est donc une application d'un ouvert de dans . L'expression ( F) a-t-elle un sens ? L'expression ( F) est en effet définie et c'est une application de à valeurs dans RR . Dans l'expression ( F), c'est l'opérateur de qui n'est pas défini.

Gradient et rotationnel

On considère le champ vectoriel sur donné par
où est un paramètre. Calculer le rotationnel de .
Le rotationnel de est en effet égal à . Donner les valeurs du paramètre pour lesquelles est un champ de gradients.


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