OEF systèmes différentiels physiques. --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 10 exercices sur la modélisation de problèmes physiques par des systèmes différentiels linéaires.

Solutions salines en cascade

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d'une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant .

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Am , xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0, ?
Calculer l'instant où le premier récipient contient la même quantité de sels que le récipient numéro où la quantité de sels est maximale dans le récipient numéro (si dépasse , rentrer ).

Solutions salines en circuit circulaire

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d'une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant .

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Am , xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0, Calculer un vecteur propre non nul de la matrice A à coefficients entiers pour la valeur propre 0. Sachant que la limite de est ..., calculer les limites des autres concentrations.

Solutions salines et oscillations

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d'une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant .

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Am , xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,

Solutions salines et vecteurs propres

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d'une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant .

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Am , xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0, Calculer un vecteur propre non nul de la matrice A à coefficients entiers pour la valeur propre 0. Sachant que la limite de est ..., calculer les limites des autres concentrations.

Solutions salines en circuit fermé

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d'une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant .

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Am , xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,

Solutions salines

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d'une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant .

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Am , xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0, Calculer les dérivées des fonctions en .

Mélange de solutions (modélisation)

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d'une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant .

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Mélange de solutions (modélisation) II

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d'une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant .

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Solution à volume constant

xrange -1.1,3 yrange -1.1,3 polyline black, 2,0,0,0,0,2,2,2,2,0 segment 0,1.5,2,1.5,black fill 1,1,skyblue segment 0.9,2,0.9,2.5,black segment 1.1,2,1.1,2.3,black segment 1.1,2.3,3,2.3,black segment 0.9,2.5,3,2.5,black segment 1.1,0,1.1,-1,black segment 1.3,0,1.3,-0.8,black segment 1.3,-0.8,3,-0.8,black segment 1.1,-1,3,-1,black fill 2.3,2.4,skyblue fill 1.5,-0.9, skyblue text black,0.9,0.9,medium, m^3 text black,1.8,2.8,medium, g/m^3 text black,1.8,2.2,medium, m^3/s text black,1.8,-0.4,medium, m^3/s arrow 2.3,2.4,1.5,2.4,20,black arrow 1.5,-0.9,2.3,-0.9,20,black
Un bidon contient à l'instant un volume de liquide de . Il est alimenté avec un débit de d'un mélange contenant de sels. Il sort en même temps du mélange supposé homogène. On note la quantité de sels en grammes dans le bidon à l'instant .

Quelle quantité de sels en entre-t-il à l'instant t ? Quelle quantité de sels en sort-il à l'instant t ?
En effet, il entre et il sort de sels à l'instant t. L'équation différentielle vérifiée par est
= -

Solution et EDO

xrange -1.1,3 yrange -1.1,3 polyline black, 2,0,0,0,0,2,2,2,2,0 segment 0,1.5,2,1.5,black fill 1,1,skyblue segment 0.9,2,0.9,2.5,black segment 1.1,2,1.1,2.3,black segment 1.1,2.3,3,2.3,black segment 0.9,2.5,3,2.5,black segment 1.1,0,1.1,-1,black segment 1.3,0,1.3,-0.8,black segment 1.3,-0.8,3,-0.8,black segment 1.1,-1,3,-1,black fill 2.3,2.4,skyblue fill 1.5,-0.9, skyblue text black,0.9,0.9,medium, m^3 text black,1.8,2.8,medium, g/m^3 text black,1.8,2.2,medium, m^3/s text black,1.8,-0.4,medium, m^3/s arrow 2.3,2.4,1.5,2.4,20,black arrow 1.5,-0.9,2.3,-0.9,20,black
Un bidon contient à l'instant un volume de liquide de . Il est alimenté avec un débit de d'un mélange contenant de sels. Il sort en même temps du mélange supposé homogène. On note la quantité de sels en grammes dans le bidon à l'instant .

Quelle quantité de sels en entre-t-il à l'instant t ? Quelle quantité de sels en sort-il à l'instant t ?
En effet, il entre et il sort de sels à l'instant t. L'équation différentielle vérifiée par est
= -
À l'instant , la concentration de sels dans le bidon est nulle et le bidon a un volume de . Calculer l'instant où le bidon est plein. . Calculer l'instant où le bidon s'est vidé de moitié. Quelle est alors la concentration de sels ?


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