OEF Fonctions de plusieurs variables --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 13 exercices sur les fonctions de plusieurs variables.

Approximation linéaire

Soit la fonction de dans définie par

.

Donner l'approximation linéaire de au point .
Si elle n'existe pas, répondre non.

Approximation linéaire 2

Soit la fonction de dans définie par

.

Donner l'approximation linéaire de au point .

Champ scalaire 2D

Soit le champ scalaire donnant en un point de donné par

.

Calculer au point ( , ). Donner l'équation de la courbe de niveau de constante La région du plan où est est

Dérivées directionnelles

Soit une fonction de dans et et deux vecteurs de définis par

.

Connaissant les dérivées partielles et de dans les deux directions et au point , peut-on calculer la dérivée partielle de en dans n'importe quelle direction? Soit le vecteur défini par . Calculer la dérivée de dans la direction de , sachant que l'on a :

avec , .
En effet, ce n'est possible car les vecteurs et sont liés.
Est-il possible d'avoir , avec ?

Composition I, dérivées partielles

Soit une fonction de deux variables et de dans et la fonction de dans définie par

.

Calculer la dérivée partielle de selon .

(x,y)= ( , ) + ( , )


Dérivées partielles 1

Calculer les dérivées partielles de la fonction définie par
.

Dérivées partielles 2

Calculer pour la fonction définie par

.


Composition II Dérivées partielles

Soit une fonction de deux variables et de dans et la fonction de dans définie par

.

Calculer la dérivée seconde de selon .

= ( , ) +
+ +
+ = ( ) + ( , )
+ ( ) + ( )
+ = + ( )
+ ( , ) + ( )
+


Formule de Taylor (1)

Soit une fonction sur à valeurs réelles. Ecrire la formule de Taylor- à l'ordre 1 au point .

Si besoin, est un point convenable tel que , , est une fonction tendant vers 0 lorsque tend vers et tend vers .

Pour donner la réponse, ne pas faire preuve d'originalité et écrire les termes dans l'ordre standard !

En effet la formule de Taylor- à l'ordre 1 au point s'écrit

avec une fonction tendant vers 0 lorsque tend vers et tend vers où est un point convenable vérifiant ,

On suppose que

pour tout vérifiant , .

Avec ces renseignements, la formule de Taylor écrite est-elle utilisable pour donner une majoration de pour , ? Si oui, donner la meilleure majoration possible à partir des données. Sinon, répondre non


Formule de Taylor (2)

Soit une fonction sur à valeurs réelles. Ecrire la formule de Taylor- à l'ordre 2 au point (si besoin, est un point convenable tel que , , est une fonction tendant vers 0 lorsque tend vers et tend vers ) :

Pour donner la réponse, ne pas faire preuve d'originalité et écrire les termes dans l'ordre standard !
En effet la formule de Taylor- à l'ordre 2 au point s'écrit

avec une fonction tendant vers 0 lorsque tend vers et tend vers où est un point convenable vérifiant ,

Soit la fonction affine définie par

On suppose que

pour tout vérifiant , .

Avec ces renseignements, la formule de Taylor écrite est-elle utilisable pour donner une majoration de pour , ? Si oui, donner la meilleure majoration possible à partir des données. Sinon, répondre non


Variation d'une boîte II

La largeur , la longueur et la hauteur d'une boîte varient dans le temps. A un moment donné, les dimensions sont , et et la largeur à raison de , la longueur à raison de et la hauteur à raison de .

Déterminer la vitesse d'augmentation à cet instant.

On donnera l'unité.

Variation d'une boîte II

La largeur , la longueur et la hauteur d'une boîte varient dans le temps. A un moment donné, les dimensions sont , et et la largeur à raison de , la longueur à raison de et la hauteur à raison de .

Déterminer la vitesse d'augmentation à cet instant.

On donnera l'unité.

Variation de résistances I

Dans un circuit électrique, trois résistances , et sont en parallèle. Les trois résistances varient en fonction du temps. A un moment donné , elles valent ohms, ohms et ohms. Soit la fonction donnant la résistance équivalente en fonction du temps.

Donner l'expression de la dérivée de en = + + On a

= + +

En , à raison de ohms/s, à raison de ohms/s et à raison de ohms/s. Calculer la vitesse d'augmentation de la résistance équivalente à cet instant. (Pour la vitesse, on donnera l'unité.)

L'exercice a plusieurs étapes.


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