OEF Séries entières --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 9 exercices sur les séries entières.

Critères de d'Alembert et de Cauchy

Soit la suite définie par
.
et la série entière de rayon de convergence . Peut-on Le rayon de convergence est = .
S'il est infini, répondre infini.

Développement en série entière

On désire développer en série entière la fonction .

Son rayon de convergence est et on a dans le disque de convergence


Equations différentielles 1

On se donne l'équation différentielle
.
On suppose que la solution est une série entière de la forme . Ses coefficients vérifient une relation de récurrence.
On ordonnera les par indice décroissant : par exemple, et pas . Les coefficients doivent être des polynômes en et l'un d'entre eux doit être égal à 1.

Equations différentielles 2

Une série entière de la forme vérifie la condition de récurrence
.
Elle satisfait l'équation différentielle :
+ + + . + + .
On donnera des coefficients entiers, positifs et minimaux.

Rayon de convergence

Trouver le rayon de convergence du développement en série entière de la fonction .
Si le rayon est infini, répondre infini.

Rayon de convergence 2

Calculer le rayon de convergence du développement en série entière de .

Séries entières (comparaison)

Soit une suite de nombres complexes telle qu'il existe deux nombres réels et tels que
.
L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse?

Le rayon de convergence de la série entière est .


Rayon de convergence (séries entières)

Soit une suite de nombres complexes telle que L'affirmation suivante est-elle toujours vraie ?
Le rayon de convergence de la série entière vérifie .

Séries entières (rayon de convergence)

Le rayon de convergence de la série entière est .

Peut-on calculer exactement le rayon de convergence de la série ? :

Le rayon de convergence de la série entière est supérieur ou égal à


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