Couple de variables aléatoires discrètes --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 17 exercices sur les vecteurs aléatoires prenant un nombre fini ou dénombrable de valeurs. La plupart des exercices portent sur les couples de variables aléatoires prenant un nombre fini de valeurs.

Le paramètre "complexité des questions" ci-dessous n'est utilisé que pour les exercices "Séquence aléatoire I", "Séquence aléatoire II", "Tirage de deux numéros I" et "Propriétés de la loi d'un couple de v.a."


Lois conditionnelles et loi du couple

On considère deux variables aléatoires et à valeurs entières : Le premier tableau décrit la loi conditionnelle de sachant { } pour tout { } :

Le second tableau ci-dessous décrit la loi de .

t
  1. Déterminer la probabilité que le couple ( , ) prenne la valeur (, ) :
  2. Déterminer la loi de t

    Lois marginales et lois conditionnelles

    On considère une variable aléatoire à valeurs dans et une variable aléatoire à valeurs dans . Le tableau ci-dessous donne la valeur de pour et et donc caractérise la loi du couple .
    Par exemple, et = .

    1. Déterminer la loi de .

    t
    1. Déterminer la loi de .
    Bonne réponse : la loi de est bien donnée par le tableau suivant :
    t
    2. Déterminer maintenant la loi .

    t

    Lois marginales

    On considère une variable aléatoire à valeurs dans et une variable aléatoire à valeurs dans . Le tableau ci-dessous donne la valeur de pour et et donc caractérise la loi du couple .
    Par exemple, et = .

    Déterminer la loi de .

    t
    1. Déterminer la loi de .
    Bonne réponse : la loi de est bien donnée par le tableau suivant :
    t
    2. Déterminer maintenant la loi .

    t

    Evénement défini par deux v.a.

    On considère une variable aléatoire à valeurs dans et une variable aléatoire à valeurs dans . Le tableau ci-dessous donne la valeur de pour et et donc caractérise la loi du couple .
    Par exemple, et .
    Calculer la probabilité de l'événement { }.
    P( ) = .

    Calcul d'une loi dépendant des deux v.a.

    On considère deux variables aléatoires et à valeurs entières, étant à valeurs dans et étant à valeurs dans .
    1. Déterminer les valeurs possibles pour la variable aléatoire , c'est-à-dire les valeurs qui peuvent être prises avec une probabilité strictement positive (on séparera les valeurs par des virgules) :
    .
    Bonne réponse : les valeurs possibles pour sont bien .
    Le tableau ci-dessous donne la valeur de pour et et donc caractérise la loi du couple .

    Par exemple, et .

    2. Déterminer la loi de la variable aléatoire .

    Covariance entre deux v.a.

    On considère une variable aléatoire à valeurs dans et une variable aléatoire à valeurs dans . Le tableau ci-dessous donne la valeur de pour et et donc caractérise la loi du couple .
    Par exemple, et .
    Calculer : .
    NB : la réponse peut être écrite sous forme d'une fraction ou sous forme décimale avec au moins 3 chiffres significatifs.

    Indépendance de deux v.a.

    On considère une variable aléatoire à valeurs dans et une variable aléatoire à valeurs dans . Le tableau ci-dessous donne la valeur de pour et et donc caractérise la loi du couple .
    Par exemple, et .
    Les variables et sont-elles indépendantes ? .

    Espérance conditionnelle

    On considère deux variables aléatoires et à valeurs entières :
    • est à valeurs dans ;
    • est à valeurs dans .
    Le tableau décrit la loi conditionnelle de sachant { } pour tout { } :
    1. Déterminer l'espérance conditionnelle de sachant que { } pour
    t
    1. Déterminer l'espérance conditionnelle de sachant que { } pour in { } :
    t
    Bonne réponse !
    2. Le tableau ci-dessous décrit la loi de .
    t
    P( = )
    Déterminer l'espérance de

    Propriétés de la loi d'un couple de v.a.

    Soit et deux variables aléatoires définies sur un espace de probabilité ( , , ) à valeurs dans .
    1. L'affirmation suivante est-elle toujours vraie ?
      Si , alors
    2. L'affirmation suivante est-elle toujours vraie ?
      Si , alors

    Un exemple de couple de v.a.

    On dispose d'un sac contenant boules blanches, boules noires et boules rouges indiscernables au toucher. On note le nombre de boules blanches et le nombre de boules noires que l'on obtient en tirant au hasard deux boules différentes.
    Compléter le tableau en y mettant les valeurs de pour et 2, afin que le tableau décrive la loi du couple 1 2 Par exemple, la case en bas à gauche doit contenir la valeur de .

    Séquence aléatoire I

    Une source émet une suite de lettres choisies indépendamment les unes des autres parmi les lettres suivant la loi de probabilité suivante :
    Quelle est la probabilité pour que, dans une telle suite, ?

    Séquence aléatoire II

    Une source émet une suite de lettres choisies indépendamment les unes des autres parmi les lettres suivant la loi de probabilité suivante :
    1. Quelle est la probabilité que, dans une telle suite, ?
      Bonne réponse ! La probabilité que, dans une telle suite, est
    2. On vous dit que dans la suite de lettres émise par la source, . Quelle est la probabilité pour que, dans cette suite, ?

    Sommation et couple de v.a. 1

    Soit un couple de variables aléatoires à valeurs entières. On considère l'ensemble défini par
    = { tels que et }
    Compléter l'expression ci-dessous de la probabilité de l'événement { in } :
    left2 right2
    = =

    Sommation et couple de v.a. 2

    On considère un couple de variables aléatoires à valeurs dans {1, ..., } x {1, ..., }.

    Compléter la formule ci-dessous afin d'exprimer la probabilité de l'événement A défini par : A : { }, en fonction uniquement des probabilités ( et ) pour et left2 right2

    NB : on écrira min(a,b) pour désigner le minimum entre deux réels a et b et max(a,b) pour désigner le maximum entre a et b. On n'utilisera pas de sommes de la forme avec .

    Sommation et couple de v.a. 3

    On considère un couple de variables aléatoires à valeurs dans les entiers positifs ou nuls. L'objectif est d'exprimer la probabilité de l'événement
    { }
    uniquement à l'aide des probabilités pour et .
    1. Pour cela, vous avez besoin d'une :
    2. Pour faire ce calcul, on a besoin d'une . on a besoin d'une . on peut exprimer la probabilité de cet événement soit à l'aide d'une , soit à l'aide d'une .
    3. Complétez la formule ci-dessous :
      )
      =
      et Y = j )
      =
      left2 right2
      = =
      NB : on écrira
      • inf pour désigner ,
      • max(a,b) pour désigner la maximum entre les réels a et b,
      • min(a,b) pour désigner le minimum entre les réels a et b.

    Tirage de deux numéros I

    choisit au hasard un numéro entier entre 1 et . choisit au hasard un numéro entier entre 1 et .

    Notons la variable aléatoire désignant le numéro tiré par et la variable aléatoire désignant le numéro tiré par .

    1- Compléter l'écriture suivante de l'événement
    A :
    en utilisant les variables aléatoires et de la façon la plus simple possible :
    A : { }
    NB : on pourra utiliser les fonctions min, max et abs en mettant les arguments de ces fonctions entre parenthèses, séparés par une virgule s'il y en a deux. Par exemple, min(a,b) désigne le minimum entre les deux nombres a et b.
    1- Compléter l'écriture suivante de l'événement
    A : ,
    en utilisant les variables aléatoires et de la façon la plus simple possible.
    Bonne réponse ! l'événement s'écrit : { }
    2- Calculer maintenant la probabilité pour que : = .

    Tirage de deux numéros II

    choisit au hasard un numéro entier entre 1 et . choisit au hasard un numéro entier entre 1 et .
    1. Calculer la probabilité pour que .
    2. Bonne réponse ! la probabilité pour que est
    3. Sachant que , quelle est la probabilité pour ?


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